王恒昌

[摘 要] 蘇州市平江中學(xué)校數(shù)學(xué)組在“以生為本、精講精練、注重思維、發(fā)展?jié)撃堋钡恼n改理念下，依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科“工具品格”和“文化品格”的特點，認真開展數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的融合研究，逐步形成了“思練結(jié)合，學(xué)教融評”課堂范式.

[關(guān)鍵詞] HPM；課堂文化；課堂教學(xué)范式

數(shù)學(xué)是人類文明的一個重要組成部分，是幾千年來人類智慧的結(jié)晶. 著名數(shù)學(xué)家華羅庚精辟地敘述了“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁等各方面，無處不有數(shù)學(xué)的貢獻”的觀點. 而以落實數(shù)學(xué)課程目標(biāo)為己任的數(shù)學(xué)教育，應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢，了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展的作用，特別是在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面，具有不可替代的作用，能使學(xué)生逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀. 因而，把數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育之中顯得尤為重要.

筆者所在學(xué)校數(shù)學(xué)組在“以生為本、精講精練、注重思維、發(fā)展?jié)撃堋钡恼n改理念下，依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科“工具品格”和“文化品格”的特點，認真開展數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的融合研究，逐步形成了“思練結(jié)合，學(xué)教融評”的課堂范式，其基本結(jié)構(gòu)為：回看入境——探究生成——拓展提升——學(xué)情評價. 下面從“HPM”視角對筆者所在學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)科課改范式進行闡釋，進一步揭示數(shù)學(xué)史對豐富數(shù)學(xué)教育內(nèi)涵的重要意義，以期使教師能夠形成將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育融合的自覺，把HPM研究成果落實到教學(xué)實踐中，促進教師專業(yè)發(fā)展和學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.

“回頭看”，助學(xué)生前行更順？搖

“回看入境”是筆者所在學(xué)校課堂的第一個環(huán)節(jié). 利用課前5分鐘，通過一題、一問引導(dǎo)學(xué)生對前認知進行自我診斷，建立新舊知識間的關(guān)聯(lián)，有效推進新課的學(xué)習(xí). “回頭看”的內(nèi)容可以與上一節(jié)課內(nèi)容關(guān)聯(lián)，也可以是前一階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容，其目的主要是使學(xué)生通過對重點知識的不斷溫習(xí)，解決知識遺忘問題，進而達到夯實“雙基”的目的. 在教學(xué)實踐中我們也發(fā)現(xiàn)，適時地將數(shù)學(xué)思想方法融入“回頭看”中，通過“錯時訓(xùn)練”，可以解決一些難以一步到位的認知問題，從而有效解決學(xué)生的層次差異問題和認知快慢問題. 同時，還可以使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要作用.

如學(xué)習(xí)了數(shù)軸后，學(xué)生雖然了解到“數(shù)形結(jié)合”思想，但理解顯然比較膚淺，不會感受到這種數(shù)學(xué)思想方法對今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所帶來的好處. 但學(xué)習(xí)了“字母表示數(shù)”后，設(shè)計如下的回看練習(xí)，就可以使學(xué)生在問題解決中體會數(shù)學(xué)思想方法的重要作用.

（1）已知a<0，-b>0，ac<0，且b

（2）已知-a

可以看出，這兩道題綜合了相反數(shù)、絕對值及有理數(shù)大小的比較等知識，屬于較復(fù)雜的代數(shù)問題. 解決問題時，學(xué)生往往是先確定a，b，c，d的正負，然后比較絕對值，但這種做法很抽象，學(xué)生不易理解，解題時也容易做錯. 如果引導(dǎo)學(xué)生運用“數(shù)形結(jié)合”思想方法，在數(shù)軸上標(biāo)出相關(guān)的點，便可迅速得到結(jié)果. 通過“以形助數(shù)”，能使原本比較抽象的代數(shù)概念及復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系直觀化、簡單化.

再如，學(xué)完圓的相關(guān)知識后，可安排如下回看練習(xí)：如圖1，點C為線段AB的中點，四邊形BCDE是以BC為一邊的正方形，以點B為圓心、BD的長為半徑的圓與線段AB及其延長線相交于H，K兩點，試證明：AH·AK=2AC2.

本題一般采用幾何方法來證明，但如果引導(dǎo)學(xué)生借助代數(shù)方法通過“以數(shù)助形”來解決這個幾何問題，會形成更加新穎的解題思路，盡顯數(shù)形結(jié)合的神奇，解法如下：設(shè)BC=x，則AC=x，BD=x. 因為AK=2x+x，AH=2x-x，所以AH·AK=2x2=2AC2.

探究學(xué)習(xí)助學(xué)生潛能激發(fā)

“探究生成”是筆者所在學(xué)校課堂教學(xué)的第二個環(huán)節(jié). 感知、理解概念是教學(xué)的主要任務(wù)，將數(shù)學(xué)史融入此環(huán)節(jié)，可以借助數(shù)學(xué)史知識使學(xué)生明白概念、定理、公式的由來和產(chǎn)生的背景，體會研究數(shù)學(xué)問題的一般方法，了解數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值和文化價值，逐步形成基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，并從活動中感受到探究之美.

1. 恰當(dāng)設(shè)計學(xué)習(xí)活動

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生自主建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的活動，在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生需要通過觀察、操作、比較、概括、猜想、推理、交流等多種形式，產(chǎn)生數(shù)學(xué)思考，因而需要教師創(chuàng)設(shè)一定的問題情境，使學(xué)生能夠興趣盎然地在問題情境下進行探究、思考.

如，勾股定理是數(shù)學(xué)史上最古老的定理，也是貫穿初中數(shù)學(xué)的核心定理，其證明方法有四百余種. 進行勾股定理教學(xué)時，如果能夠展示幾種有代表性的證法，特別是中國人用聰明智慧創(chuàng)造的“割補法”，并引導(dǎo)學(xué)生親自做一做、證一證，將會增強學(xué)生的民族自豪感，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望.

再如，研究同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系定理時，首先由學(xué)生利用三角板分別畫出60°，90°，120°的圓心角，并分別畫出同弧所對的圓周角，再利用三角板驗證其度數(shù)，從而使學(xué)生猜想同弧所對的圓周角與圓心角的關(guān)系；在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生任意畫出一個圓心角及同弧所對的圓周角，利用量角器度量它們的度數(shù)，進一步認定猜想的結(jié)論；最后師生合作，對猜想的結(jié)論進行推理論證. 這個問題情境的創(chuàng)設(shè)，遵循了從特殊到一般、從具體到抽象的認知規(guī)律，有利于學(xué)生在活動中獲得數(shù)學(xué)知識和活動經(jīng)驗.

2.引導(dǎo)學(xué)生積極探究

“導(dǎo)生制共同學(xué)習(xí)”是筆者所在學(xué)校近年來推行的教學(xué)方式，它是聚焦群體學(xué)習(xí)和社會文化場景學(xué)習(xí)的一種形式. 通常情況下，進入“探究生成”環(huán)節(jié)后，由導(dǎo)生（在學(xué)生學(xué)習(xí)共同體中能夠起到引領(lǐng)、指導(dǎo)和評價作用的優(yōu)秀學(xué)生）帶領(lǐng)本組同學(xué)根據(jù)教師創(chuàng)設(shè)的問題情境開展探究活動，發(fā)現(xiàn)新知，獲得新的經(jīng)驗；對于綜合性強、思維含量較高的問題，還可以通過組間協(xié)作學(xué)習(xí)與組間對話的方式來解決. 對教師而言，一是要適時精講和點撥導(dǎo)生解決不了的共性問題；二是要進行有效的教學(xué)調(diào)控，確保探究活動“活而不亂”. 當(dāng)然，探究活動中，有時從表面上看課堂顯得凌亂，但如果學(xué)生在積極思維、觀點碰撞、踴躍表達，說明學(xué)生真正進入了合作探究的狀態(tài)，這不正是我們老師想看到的教學(xué)場景嗎？

圖2為筆者所在學(xué)校數(shù)學(xué)課堂常采用的“243”組織架構(gòu)，采用三級合作模式：基礎(chǔ)級——解決基礎(chǔ)知識、基本技能方面的探究性問題，由兩人小組合作解決；進階級——解決中等難度的探究性問題，由四人大組展開互動；挑戰(zhàn)級——解決綜合性、探究性問題，先由“鐵三角”合作探究，然后向四人大組輻射. 這種合作模式不僅僅局限于“探究生成”環(huán)節(jié)，它可以貫穿課堂教學(xué)始終，當(dāng)然也可以拓展到課外學(xué)習(xí)活動中.

數(shù)學(xué)思想方法助學(xué)生思維發(fā)展

的沃土更潤

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，又是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁. 只有運用數(shù)學(xué)思想方法，才能使學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，才能把數(shù)學(xué)知識與技能轉(zhuǎn)化為分析問題和解決問題的能力. 正是基于這一認識，我們把課堂的第三個環(huán)節(jié)即“拓展提升”定位為：在已有認知基礎(chǔ)上總結(jié)提升，運用數(shù)學(xué)思想方法，遵循“用好變式、激活思維、解決問題”的原則，強化對學(xué)生的思維訓(xùn)練，并使學(xué)生在問題解決的過程中能夠體會到思想方法的魅力. 因此，本環(huán)節(jié)是本課學(xué)習(xí)的高級階段，內(nèi)化與運用概念、把握規(guī)律和形成思想是本階段的主要任務(wù).

教師設(shè)計教學(xué)內(nèi)容時，一般會從1～2個典型題目入手（稱之為“母題”），根據(jù)教學(xué)目標(biāo)有針對性地進行拓展與變式，這樣雖然有時涉及的知識點會很多，但都與“母題”有根本性的關(guān)聯(lián)，能做到“形散而神不散”. 現(xiàn)舉例如下.

例題 把兩塊全等的含45°角的直角三角尺ABC和DEF如圖3所示疊放在一起，使三角尺DEF的銳角頂點D恰好是三角尺ABC斜邊的中點， 若AB=4，則AP·BC=______.

變式 把兩塊全等的含45°角的直角三角尺ABC和DEF如圖4所示疊放在一起，使三角尺DEF的銳角頂點D恰好與三角尺ABC斜邊中點O重合，其中AB=4. 把三角尺ABC固定不動，讓三角尺DEF繞點O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q.

（1）如圖4，當(dāng)射線DF經(jīng)過點B，即點Q與點B重合時，試證明△APD∽△CDQ，此時AP·CQ=______.

（2）將三角尺DEF由圖4所示的位置繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，且0°<α<90°，則AP·CQ的值是否改變？試說明你的理由.

（3）在（2）的條件下，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式. （圖5、圖6供解題用）

顯然，變式題是對例題的深化，是一道操作類問題. 雖然此題綜合性強，但學(xué)生一方面因為有基礎(chǔ)而會很自信，另一方面，因為有深度而會產(chǎn)生登高望遠之樂趣. 學(xué)生會從熟悉的題目出發(fā)，不斷地探索，產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)，并在這個過程中感受到特殊和一般的關(guān)系，學(xué)會用類比的方法思考問題. 當(dāng)然，在探究過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生運用運動變化的觀點，緊緊抓住△APD∽△CDQ這個關(guān)鍵，使學(xué)生在探究的過程中體悟“動中求靜”“形變而其本質(zhì)不變”等思想和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，使思維進一步升華，形成解決動態(tài)型問題的基本思維方法.

再如，教學(xué)“用加減消元法解二元一次方程組”時，當(dāng)師生共同提煉出解題基本思想與解題步驟后，教師出示了一道題：解方程組x-2y=-4，x ∶ 2=y ∶ 3. 通過共同學(xué)習(xí)，各小組展示了幾種不同的做法：

方法一，先將方程x ∶ 2=y ∶ 3變形為3x=2y，再化為3x-2y=0，這樣就可以用今天所學(xué)的加減消元法來解方程組了. （常規(guī)思路）

方法二，將方程x ∶ 2=y ∶ 3變形為3x=2y后，可把2y看作整體直接代入x-2y=-4中消去y， 從而求出方程組的解. （利用“整體”思想）

方法三，利用小學(xué)里學(xué)過的比例知識，把x ∶ 2=y ∶ 3的比值看作k， 就可以得到 x=2k，y=3k， 然后代入方程x-2y= -4中，解出k的值后，就可得出x，y的值. （“設(shè)參數(shù)法”）

學(xué)生對這么豐碩的成果無疑是欣喜的，教師不失時機的題后小結(jié)更使得學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)思想方法的魅力：解上述題目時，無論是采用代入消元法、加減消元法，還是“設(shè)參數(shù)法”，都運用了化歸的數(shù)學(xué)思想方法，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，這其實就是一個化歸的過程. 在今后的學(xué)習(xí)中，還會遇到化歸思想在解方程（組）中的應(yīng)用，如把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程、把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程、把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程等.

實踐表明，無論是以能力立意設(shè)計漸進式問題串或變式題的形式，還是探究一題多解或多題一解問題，只要有數(shù)學(xué)思想方法的融入和支持，都能使學(xué)生的思考逐步深入，并且探究欲望會持久地保持，學(xué)生學(xué)習(xí)也會漸入佳境，思維會得到逐步拓展和深入，并達到一定的深度和廣度. 探究過程可使學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)活動充滿探索與創(chuàng)造，激發(fā)創(chuàng)新靈感，使不同層次的學(xué)生都能從活動中獲得成就感. 同時，能通過活動培養(yǎng)學(xué)生克服困難、勇于探索的意志，形成良好的意志品質(zhì)和思維品質(zhì).

學(xué)習(xí)評價助學(xué)生自我反思意識

更強

“學(xué)情評價”是筆者所在學(xué)校課堂的最后一個環(huán)節(jié). 通過一組檢測題的解答以及學(xué)生的表達交流，使得教師和學(xué)生對本堂課的學(xué)習(xí)情況做評價，為后續(xù)知識的學(xué)習(xí)和方法的改進提供依據(jù). 評價學(xué)情時，教師除了引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識與技能外，更要關(guān)注本堂課所獲得的活動經(jīng)驗和所運用到的數(shù)學(xué)思想方法. 有時，還可以根據(jù)需要引進數(shù)學(xué)家的故事和數(shù)學(xué)小典故，教育學(xué)生把數(shù)學(xué)家所具有的科學(xué)精神、拼搏精神和奉獻精神進行傳承，引導(dǎo)學(xué)生在思維的縝密性、深刻性和批判性等思維習(xí)慣以及學(xué)習(xí)中所展現(xiàn)出的頑強精神、合作精神等意志品質(zhì)方面進行自我評價，形成自我反思的意識和反思能力. 例如，很多學(xué)生在解題時，雖然思路正確，但往往由于忽視題目中的隱含條件或在多種可能性的情況下出現(xiàn)分類不全面的問題，造成解答錯誤，這些都屬于思維縝密性不夠的具體表現(xiàn)，需要不失時機地加以引導(dǎo).

結(jié)語

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育是時代的呼喚，也是課改的要求. 隨著課改的推進，數(shù)學(xué)史的價值已被越來越多的一線教師所重視，并且在課堂教學(xué)中積極進行數(shù)學(xué)史融入的實踐，這將給數(shù)學(xué)課堂帶來新的生機和活力. 為了進一步發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教育價值，數(shù)學(xué)教師還應(yīng)注意以下幾個方面的問題.

1. 積極轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)觀和教學(xué)觀，要從提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的角度去認識數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育融合的意義，從而增強自己研究數(shù)學(xué)史的意識，不斷豐富自己的數(shù)學(xué)史知識，并成為數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育融合的實踐者和促進者.

2. 要注重數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的科學(xué)性. 選取數(shù)學(xué)史料時，一定要與數(shù)學(xué)知識密切相關(guān)，不能把數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)知識割裂開來，同時選取的內(nèi)容切忌過多過濫，否則雖然學(xué)生受到了數(shù)學(xué)文化的熏陶，也活躍了課堂氣氛，但學(xué)生的關(guān)注點可能已偏離數(shù)學(xué)知識本身，這樣反而降低了學(xué)習(xí)效率，影響了教育價值.

3. 數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育不能局限于課堂，可以適時延伸到課外，引導(dǎo)學(xué)生開展自主學(xué)習(xí). 教師可以根據(jù)需要先確定主題，讓學(xué)生通過閱讀圖書、上網(wǎng)查詢等方法自主收集一些資料，然后采用課堂展示、講故事或數(shù)學(xué)小報評比等方式進行交流，從中感悟數(shù)學(xué)家的勵志故事、數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的原始背景和數(shù)學(xué)思想方法形成的過程，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情.