呂一品,熊天紅,易文俊,吳錦濤

(南京理工大學(xué) 瞬態(tài)物理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇 南京 210094)

基于二維分岔的超空泡航行體非線性動(dòng)力學(xué)特性分析

呂一品,熊天紅,易文俊,吳錦濤

(南京理工大學(xué) 瞬態(tài)物理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,江蘇 南京 210094)

基于二維分岔圖,利用相軌圖、時(shí)域仿真圖、Lyapunov指數(shù)譜等動(dòng)力學(xué)分析工具分析了超空泡航行體復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,探討了超空泡航行體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨尾翼偏轉(zhuǎn)角反饋控制增益及空化數(shù)的變化規(guī)律,確定了航行體穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的條件和參數(shù)范圍。結(jié)果表明:隨著參數(shù)的變化,超空泡航行體的動(dòng)力學(xué)行為中存在分岔、混沌、周期窗等豐富的非線性物理現(xiàn)象;合理調(diào)整尾翼偏轉(zhuǎn)角,能夠有效抑制航行體的振蕩與沖擊。研究結(jié)果對(duì)超空泡航行體控制器的設(shè)計(jì)具有重要的指導(dǎo)意義。

超空泡航行體;非線性動(dòng)力學(xué);二維分岔圖;尾翼偏轉(zhuǎn)角;空化數(shù)

超空泡是由氣泡形成的、幾乎能完全包繞水下運(yùn)動(dòng)物體的氣穴空腔。當(dāng)水下航行體與周圍水體之間發(fā)生高速相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí),由于靜壓力急速下降,航行體表面附近發(fā)生空化,迅速形成覆蓋航行體大部分甚至全部表面的超空泡,大大降低了航行體的阻力系數(shù),提高了航行體的運(yùn)動(dòng)速度和距離[1-3]。然而,航行體在水下高速航行時(shí),浮力主要作用在與水接觸的頭部空化器和尾翼上,空化器和尾翼的偏轉(zhuǎn)角影響超空泡的尺寸及阻力的大小,進(jìn)而影響航行體運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。同時(shí),尾部與空泡壁接觸時(shí)會(huì)產(chǎn)生復(fù)雜的非線性滑行力,滑行力將導(dǎo)致航行體在運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生有害的振動(dòng)、沖擊、甚至混沌振蕩等非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象[4-5]。

為了有效控制超空泡航行體的運(yùn)動(dòng)姿態(tài),減少航行體與空泡壁碰撞產(chǎn)生的沖擊,國(guó)內(nèi)外學(xué)者通常選擇頭部空化器偏轉(zhuǎn)角和尾翼偏轉(zhuǎn)角作為反饋控制律來保證航行體在水下的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)[6-8]。然而,超空泡航行體的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)受多個(gè)系統(tǒng)參數(shù)影響,空化數(shù)、空化器偏轉(zhuǎn)角、尾翼偏轉(zhuǎn)角等參數(shù)相互耦合和相互制約,這些系統(tǒng)參數(shù)變化所引起的非線性動(dòng)力學(xué)行為是超空泡航行體控制器設(shè)計(jì)的重要依據(jù)。近年來,國(guó)內(nèi)外已有相關(guān)研究成果發(fā)表,白濤[9]等為保證水下高速運(yùn)動(dòng)體在水中能穩(wěn)定地高速運(yùn)動(dòng),使用分叉法分析運(yùn)動(dòng)體的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性和穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的空化數(shù)取值區(qū)域;Lin[10]等研究了當(dāng)空化數(shù)在合適的范圍內(nèi)變化時(shí)超空泡航行體動(dòng)力學(xué)特性的變化規(guī)律;文獻(xiàn)[11]中呈現(xiàn)了當(dāng)空化器偏轉(zhuǎn)角變化時(shí)超空泡系統(tǒng)產(chǎn)生的動(dòng)力學(xué)行為。總體來說,有關(guān)尾翼偏轉(zhuǎn)角的變化對(duì)超空泡非線性動(dòng)力學(xué)特性影響的研究不多見。本文將以尾翼偏轉(zhuǎn)角和空化數(shù)為可變參數(shù)來探討水下超空泡航行體的非線性動(dòng)力學(xué)特性,為下一步超空泡航行體控制器的設(shè)計(jì)提供理論研究基礎(chǔ)。

基于超空泡航行體四維動(dòng)力學(xué)模型,利用二維分岔圖呈現(xiàn)了系統(tǒng)隨空化數(shù)和尾翼偏轉(zhuǎn)角反饋控制增益變化所產(chǎn)生的非線性物理現(xiàn)象,通過分岔圖、相軌圖、Lyapunov指數(shù)譜等非線性動(dòng)力學(xué)工具,分析空化數(shù)與尾翼偏轉(zhuǎn)角對(duì)超空泡航行體非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響,并對(duì)航行體在不同參數(shù)下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行仿真。

1 水下超空泡航行體特性

1.1 空化數(shù)的描述

空化數(shù)是空泡流的基本相似參數(shù),通過改變空化數(shù)的大小可以改變流場(chǎng)的空化狀態(tài),當(dāng)空化數(shù)降到小于起始空化數(shù)時(shí),流場(chǎng)就由非空化狀態(tài)變?yōu)榭栈癄顟B(tài),進(jìn)一步降低空化數(shù),在一定條件下流場(chǎng)就可能由氣泡空化狀態(tài)發(fā)展為局部附體空泡狀態(tài),繼而發(fā)展到超空泡狀態(tài)[3]。由此可知,空化數(shù)是超空化技術(shù)的重要技術(shù)指標(biāo)之一?？栈瘮?shù)σ是描述空化起始與狀態(tài)的一個(gè)無因次參數(shù),其表達(dá)式為

(1)

式中:p∞為外壓,pc為空泡內(nèi)壓,ρ為水的密度,v為航行體在縱平面內(nèi)頭部空化器的合速度[9]。

1.2 水下超空泡航行體受力分析

超空泡航行體的外形結(jié)構(gòu)及受力分析如圖1所示,航行體為回轉(zhuǎn)體,頭部為空化器,前部為截頭錐體,中部為柱體,尾部為擴(kuò)張圍裙式尾翼。

作用在航行體上的力主要有:空化器上的升力Fc、尾翼上的升力Ff、航行體質(zhì)心位置的重力G,以及滑行力Fp,航行體頭部空化器受力表達(dá)式[12]為

(2)

式中:Rn為空化器半徑;αc為航行體的攻角,即空化器偏轉(zhuǎn)角δc和航行體速度v的夾角;阻力系數(shù)Cx=Cx0(1+σ),Cx0=0.82。

同理可得,航行體尾翼所受的升力為[12]

(3)

式中:n為尾翼效率,即尾翼浸入水中的長(zhǎng)度與尾翼總長(zhǎng)度的比值;αf為尾翼偏轉(zhuǎn)角δe與航行體速度v的夾角。

當(dāng)航行體在超空泡的包裹下航行時(shí),由于航行體與空泡的相對(duì)位置發(fā)生變化,其尾部與空泡壁接觸時(shí)會(huì)產(chǎn)生復(fù)雜的非線性滑行力,從而導(dǎo)致航行體產(chǎn)生振動(dòng)與沖擊?；辛Ρ磉_(dá)式[13]為

(4)

式中:Rc為空泡半徑,R為航行體半徑,R′=Rc-R,如圖2所示,h為航行體尾部探出空泡的深度,稱作浸沒深度,其表達(dá)式為[13]

(5)

式中:wth=(Rc-R)v/L為臨界分界點(diǎn),L為航行體長(zhǎng)度。由式(5)可知,當(dāng)|w|>wth時(shí),h>0,尾部穿過空泡浸入了水中,產(chǎn)生了滑行力;|w|

航行體中心線與空泡中心線之間的幾何角為浸沒角α,表達(dá)式為[13]

(6)

1.3 水下超空泡航行體動(dòng)力學(xué)建模

建模選取的體坐標(biāo)系原點(diǎn)位于航行體頭部圓盤形空化器頂端面的圓心,x軸與航行體對(duì)稱軸重合指向前,z軸垂直x軸指向下。z軸方向的速度是w,v表示縱平面內(nèi)航行體空化器的合速度,θ為航行體俯仰角,q為體坐標(biāo)系下的俯仰角速度,航行體深度為z。上述變量有如下關(guān)系:

(7)

通過分析計(jì)算空化器和尾部的流體動(dòng)力,再考慮航行體的重力就可得到航行體全部外力和力矩,基于剛體動(dòng)力學(xué)理論可以推出[14]:

(8)

式中:η為模型平均密度與水密度的比值,C為常量,表達(dá)式為C=Cx(Rn/R)2/2;重力G可以簡(jiǎn)化為[12]

(9)

選取參數(shù)η=2,n=0.5,Rn=0.019 1m,R=0.050 8m,L=1.8m。以航行體的深度z、垂直速度w、俯仰角θ和俯仰角速度q為狀態(tài)變量,聯(lián)立式(7)～式(9),可得到以尾翼偏轉(zhuǎn)角反饋增益k和空化數(shù)σ為可變參數(shù)的規(guī)范的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程式:

(10)

式中:a22=0.198 2v(1+σ),a24=0.064vσ+1.064v,a42=-0.171 9v(1+σ),a44=-0.075 6v(1+σ),b21=5.998 7[1+(1/σ)],b22=27.442 8[1+(1/σ)],b41=-7.088 6[1+(1/σ)],b42=-21.913 0[1+(1/σ)],d2=-1.226 6,d4=1.449 2。

2 水下超空泡航行體的二維分岔分析

基于水下超空泡航行體的四維動(dòng)力學(xué)模型(10),保持其他參數(shù)取值不變,以k和σ為可變參數(shù),分析在空化數(shù)有效范圍σ∈[0.019 8,0.036 8]內(nèi)[10],尾翼偏轉(zhuǎn)角δe的反饋控制增益k對(duì)航行體動(dòng)力學(xué)的影響,隨機(jī)地選取初始條件,運(yùn)用Matlab軟件編程,依照Lyapunov穩(wěn)定性理論[15]將方程的穩(wěn)定解、周期解、混沌解用不同的顏色表示出來,給出了(σ,k)二維分岔圖。

在(σ,k)相空間上,系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為分布情況如圖3所示,水平切面是系統(tǒng)隨空化數(shù)σ變化的分岔圖;豎直切面是系統(tǒng)隨尾翼偏轉(zhuǎn)角控制增益k變化的分岔圖。利用二維分岔圖能夠確定超空泡航行體在不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下對(duì)應(yīng)的參數(shù)取值范圍。圖中淺灰色部分表示航行體的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)區(qū)域,在此區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)(σ,k),航行體在該點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)的作用下能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定航行;圖中深灰色部分表示航行體周期運(yùn)動(dòng)區(qū)域,參數(shù)在此范圍內(nèi)取值時(shí),航行體的運(yùn)動(dòng)則會(huì)出現(xiàn)周期振蕩;圖中黑色部分表示系統(tǒng)的混沌區(qū)域,在此范圍內(nèi)航行體則會(huì)出現(xiàn)劇烈的振動(dòng)與沖擊,進(jìn)而傾覆。

當(dāng)系統(tǒng)由穩(wěn)定狀態(tài)切換到周期狀態(tài)時(shí),會(huì)引發(fā)Hopf分岔[15],所以圖中淺灰色區(qū)域與深灰色區(qū)域的交界線即穩(wěn)定狀態(tài)與周期狀態(tài)的臨界切換線,被稱為Hopf分岔線。相應(yīng)地,深灰色區(qū)域與黑色區(qū)域的邊界表示周期狀態(tài)與混沌狀態(tài)的切換,在此邊界處存在切分岔或倍周期分岔等物理現(xiàn)象。

二維分岔圖較為完整地展現(xiàn)了超空泡系統(tǒng)隨參數(shù)變化的動(dòng)力學(xué)分布?？梢?σ∈[0.019 8,0.031 08]時(shí),在[-4.726,33.08]范圍內(nèi)調(diào)節(jié)k的取值均能夠有效實(shí)現(xiàn)超空泡航行體的穩(wěn)定航行,對(duì)其穩(wěn)定性控制具有指導(dǎo)意義。

3 水下超空泡航行體的非線性動(dòng)力學(xué)

由超空泡航行體的受力分析可知,只有滑行力Fp是關(guān)于垂直速度w的非線性力,其他都是線性力。復(fù)雜的非線性力Fp作用于航行體尾部,往往導(dǎo)致航行體的運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)振動(dòng)與沖擊,甚至傾覆。從非線性的角度對(duì)超空泡航行體系統(tǒng)進(jìn)行分析,探討在航行過程中產(chǎn)生的非線性物理現(xiàn)象,可以進(jìn)一步了解超空泡航行體的運(yùn)動(dòng)特性,為其穩(wěn)定性控制做好準(zhǔn)備工作。

目前用于刻畫非線性運(yùn)動(dòng)特征的方法通常有相軌圖、分岔圖、Lyapunov指數(shù)譜等。相軌圖是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡的記錄,反映出系統(tǒng)狀態(tài)的變化情況,是觀察系統(tǒng)中動(dòng)力學(xué)行為的最直接的方法[15]。分岔圖是當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí),其龐加萊映射在某一坐標(biāo)軸上的投影,在分岔圖中可以很清晰地描繪出系統(tǒng)性能隨參數(shù)變化的特征[15]。李雅普諾夫(Lyapunov)指數(shù)沿某一方向取值的正負(fù)和大小,表示長(zhǎng)時(shí)間系統(tǒng)在吸引子中相鄰軌道沿該方向平均發(fā)散或收斂的快慢程度[15]。

3.1 空化數(shù)對(duì)超空泡航行體非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響

觀察圖3可以發(fā)現(xiàn),在k=1處作水平切面可以得到同時(shí)具有穩(wěn)定、周期、混沌3種狀態(tài)的分岔圖。k=1時(shí),即δe=θ,δc=15z-30θ-0.3q時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)變量w隨空化數(shù)σ變化的分岔情況如圖4所示。

當(dāng)系統(tǒng)處于小空化數(shù)σ∈[0.019 8,0.023 83]時(shí),系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡被吸引到圖中加粗的穩(wěn)定平衡點(diǎn)上,在此范圍內(nèi),求解式(5)和式(10),航行體的垂直速度w總是大于臨界值wth,故浸沒深度h總是大于0,航行體尾部一直處于浸入水中的狀態(tài),由空化器的升力、尾翼的升力以及滑行力共同平衡航行體的重力,使之穩(wěn)定運(yùn)動(dòng);隨著σ的增加,σ=0.023 83時(shí)出現(xiàn)Hopf分岔,此時(shí)w=wth=(Rc-R)v/L=2.86 m/s,導(dǎo)致穩(wěn)定平衡點(diǎn)變成了不穩(wěn)定平衡點(diǎn),σ∈[0.023 83,0.031 79]時(shí),航行體平衡態(tài)失穩(wěn)產(chǎn)生周期振蕩;在σ=0.031 82處,出現(xiàn)了一個(gè)分岔,形成了周期3軌道,之后一系列倍周期分岔導(dǎo)致σ=0.032 66處出現(xiàn)了混沌現(xiàn)象。圖5是圖4在0.032 5<σ<0.033 0范圍的放大,展示了豐富多樣的分岔行為,σ=0.032 66時(shí),周期3軌道經(jīng)歷倍周期分岔后合并成一個(gè)巨大的混沌吸引子,這種行為被稱為混沌危機(jī)[13];在σ=0.032 72處,混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)變到周期狀態(tài),發(fā)生切分岔,切分岔引起陣發(fā)混沌,形成了周期6窗,并在σ=0.032 73處,窗口結(jié)束,又突變到混沌狀態(tài)。當(dāng)σ=0.032 77時(shí),系統(tǒng)再由混沌狀態(tài)突變到周期軌道,形成了周期5窗,在σ=0.032 79處,窗口結(jié)束,次級(jí)混沌帶與不穩(wěn)定的周期軌道相遇,再次引發(fā)混沌危機(jī),突變?yōu)榛煦鐚拵?。?0.032 84時(shí),該混沌寬帶又突變成周期2軌道。由圖4所示,系統(tǒng)在σ=0.033 37處由周期2軌道跳變到周期1軌道,而后沿著該軌道作周期運(yùn)動(dòng)。

令k=1,即控制律為δe=θ,δc=15z-30θ-0.3q,選擇σ=0.022,保持航行體其他參數(shù)均不變,圖6(a)為此時(shí)超空泡航行體的相軌在w-q平面上的投影,狀態(tài)變量初始時(shí)刻的值較大,在反饋控制律的作用下逐漸被吸引到一個(gè)平衡點(diǎn)上,此點(diǎn)為穩(wěn)定平衡點(diǎn),系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)動(dòng);圖6(b)為隨時(shí)間變化的Lyapunov指數(shù)譜,4個(gè)Lyapunov指數(shù):Ly1=-14.67,Ly2=-15.23,Ly3=-25.63,Ly4=-26.21,均小于0。根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論[15],可判斷系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。該情況對(duì)應(yīng)于圖3中淺灰色穩(wěn)定區(qū)域的點(diǎn)(0.022,1),同時(shí)也驗(yàn)證了在穩(wěn)定范圍σ∈[0.019 8,0.023 83]時(shí)的分岔分析。

保持k=1,選擇σ=0.030,此時(shí)系統(tǒng)軌跡在相平面w-q上的投影為極限環(huán),如圖7(a)所示,這表明系統(tǒng)處于周期振蕩的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。圖7(b)為相對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)譜,Ly1=0.192 3,Ly2=-13.75,Ly3=-16.41,Ly4=-37.51,其中,Ly1近似零值,Ly2,Ly3,Ly4均為負(fù)值,根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論[15],系統(tǒng)周期振蕩。該情況對(duì)應(yīng)于圖3中深灰色周期區(qū)域的點(diǎn)(0.03,1),同時(shí)也驗(yàn)證了在圖4中σ∈[0.023 83,0.031 79]范圍的分岔分析。

保持k=1,選擇σ=0.032 7,系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為如圖8所示。系統(tǒng)相軌跡在平面w-q上的投影為混沌吸引子,如圖8(a)所示,此時(shí)航行體具有復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為。

圖8(b)為對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)譜,Ly1=11.1,Ly2=-1.772,Ly3=-24.67,Ly4=-37.75,可以發(fā)現(xiàn),Ly1>0,其他3個(gè)Lyapunov指數(shù)均小于0,根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論[15],系統(tǒng)處于混沌狀態(tài),航行體運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)。該情況對(duì)應(yīng)于圖3中黑色混沌區(qū)域的點(diǎn)(0.0327,1),同時(shí)也驗(yàn)證了圖4在σ∈[0.032 66,0.032 84]范圍的分岔分析。

3.2 尾翼偏轉(zhuǎn)角對(duì)超空泡航行體非線性動(dòng)力特性的影響

將空化數(shù)σ=0.032 6代入式(10),可得到以尾翼偏轉(zhuǎn)角反饋控制增益k為可變參數(shù)的超空泡航行體動(dòng)力學(xué)方程,基于該方程研究尾翼偏轉(zhuǎn)角對(duì)超空泡航行體非線性動(dòng)力學(xué)的影響。

當(dāng)σ=0.0326,控制律為δe=kθ,δc=15z-30θ-0.3q時(shí),w隨k變化的分岔情況如圖9所示,表現(xiàn)出了豐富多樣的分岔行為,k∈[-100,-71.5]時(shí),3條穩(wěn)定的周期軌道說明系統(tǒng)處于周期運(yùn)動(dòng)的狀態(tài),接著3條軌道在k=-71.8附近分別發(fā)生了分岔,一個(gè)形成了周期3軌道,一個(gè)沒有形成穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)軌道,另一個(gè)形成了周期2軌道,隨著k值的增大,這些軌道在k=-50.5附近均發(fā)生分岔,形成了各自的混沌帶,混沌帶在k=-48.1處發(fā)生切分岔,形成了2個(gè)周期3窗和一個(gè)周期1窗,之后在k=-45.9附近由倍周期分岔進(jìn)入混沌狀態(tài),短暫的混沌狀態(tài)結(jié)束后,又突變到周期2軌道,當(dāng)k=-21.2時(shí),周期2軌道發(fā)生分岔,一個(gè)軌道分岔形成一條穩(wěn)定的周期軌道,另一條軌道分岔形成2條穩(wěn)定的周期軌道,這3條軌道在k=-14.6附近發(fā)生倍周期分岔并分別形成各自的混沌帶,混沌帶在k=-7.8附近突變到周期2軌道。隨著k的進(jìn)一步增大,在k=-0.5處,系統(tǒng)由周期狀態(tài)進(jìn)入混沌狀態(tài),當(dāng)k=0.6時(shí),發(fā)生切分岔,形成了周期3窗,之后在k=7.1處突變成混沌狀態(tài),緊接著又回到了周期軌道,直到k=22.6時(shí)系統(tǒng)發(fā)散。

當(dāng)σ=0.032 6時(shí),選擇k=5,即系統(tǒng)控制律為δe=5θ,δc=15z-30θ-0.3q,圖10(a)為此時(shí)系統(tǒng)的相軌,形成了極限環(huán),航行體的運(yùn)動(dòng)處于周期振蕩狀態(tài)。圖10(b)為此時(shí)對(duì)應(yīng)的Lyapunov指數(shù)譜,分別為L(zhǎng)y1=0.216 9,Ly2=-25.84,Ly3=-28.11,Ly4=-31.74,Ly1近似零值,Ly2，Ly3,Ly4均為負(fù)值,根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論[15],航行體周期振蕩。該情況對(duì)應(yīng)于圖3中黑色周期區(qū)域的點(diǎn)(0.032 6,5),同時(shí)也驗(yàn)證了上述分岔分析。

保持σ=0.032 6,令k=7.1,此時(shí)系統(tǒng)的相軌圖和Lyapunov指數(shù)譜對(duì)應(yīng)于圖11(a)和圖11(b)。

如圖11(a)所示,形成了一個(gè)混沌吸引子,航行體的運(yùn)動(dòng)具有復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為;如圖11(b)所示,Ly1=10.92,Ly2=-2.29,Ly3=-24.28,Ly4=-38.62,其中Ly1>0,其他3個(gè)均小于0,根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論[15],系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。該情況對(duì)應(yīng)于二維分岔圖中黑色混沌區(qū)域的點(diǎn)(0.032 6,7.1),同時(shí)也符合上述分岔分析的結(jié)果。

4 超空泡航行體運(yùn)動(dòng)特性分析

由上節(jié)的分析討論可知,當(dāng)空化數(shù)σ=0.022,尾翼偏轉(zhuǎn)角的控制增益k=1時(shí),航行體穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)。此時(shí)時(shí)域響應(yīng)情況如圖12所示,縱向深度z、垂直速度w、俯仰角θ和俯仰角速度q在控制律的作用下被吸引到平衡點(diǎn)S1(0.080 3,3.336 6,0.038 1,0)上。由式(5)可知,wth=2.82 m/s,如圖12(a)所示,w=3.25 m/s,w>wth,h>0。圖12(c)顯示超空泡航行體尾部伸出空泡長(zhǎng)度為0.036 3 m,相應(yīng)的滑行力Fp=16.68 N,浸沒深度h符合要求,滑行力穩(wěn)定。此時(shí)超空泡航行體在空泡內(nèi)的位置和姿態(tài)固定,頭部的空化器和尾部的滑行力共同維持航行體的平衡,航行體處于小攻角斜向運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定航行狀態(tài)。

由上節(jié)的分析討論可知,當(dāng)σ=0.032 6,k=5或σ=0.03,k=1時(shí),系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的相軌跡圖均為極限環(huán),航行體均處于周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。以σ=0.03,k=1為例,系統(tǒng)各個(gè)變量的時(shí)域響應(yīng)情況如圖13所示,縱向深度z、垂直速度w、俯仰角θ和俯仰角速度q以平衡點(diǎn)(0.048 4,1.679 3,0.022 4,0)為中心周期振蕩;浸沒深度h時(shí)而等于0,時(shí)而突變到0.095 6 m,產(chǎn)生的滑行力Fp在[0,73.64]之間周期振蕩,此現(xiàn)象是由于航行體受重力的影響,尾部下端穿過空泡伸入水中,產(chǎn)生滑行力,接著在滑行力的作用下尾部又被彈回空泡中,如此反復(fù),該現(xiàn)象被稱為“尾擊現(xiàn)象”[13]。由此也表明此時(shí)航行體處于周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

由上節(jié)的分析討論可知,當(dāng)σ=0.032 6,k=7.1或σ=0.032 7,k=1時(shí),系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的相軌跡圖均為混沌吸引子。以σ=0.032 6,k=7.1為例,時(shí)域響應(yīng)情況如圖14所示,超空泡航行體發(fā)射后,狀態(tài)變量z,w,θ和q隨著時(shí)間變化發(fā)生了劇烈的非周期振蕩,航行體的運(yùn)動(dòng)將會(huì)失穩(wěn)。由圖14(c)可知,由于“尾擊現(xiàn)象”的出現(xiàn),h和Fp也在隨時(shí)間不斷變化,h最高達(dá)到了0.22 m,該長(zhǎng)度超過了航行體的直徑,對(duì)應(yīng)的Fp接近200 N,在實(shí)際運(yùn)動(dòng)中,航行體將失去穩(wěn)定進(jìn)而傾覆,因此必須進(jìn)行有效的控制以避免這種情況發(fā)生。

5 結(jié)束語(yǔ)

基于二維分岔分析,利用多種非線性動(dòng)力學(xué)分析工具,分析了尾翼偏轉(zhuǎn)角和空化數(shù)對(duì)超空泡航行體非線性動(dòng)力學(xué)的影響,得到以下結(jié)論:①運(yùn)用時(shí)域仿真、相軌圖、分岔圖等動(dòng)力學(xué)分析工具可以準(zhǔn)確地分析超空泡系統(tǒng)在參數(shù)影響下的動(dòng)力學(xué)行為;②超空泡航行體的運(yùn)行軌跡有著復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為,隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化,出現(xiàn)了混沌、分岔和周期窗等非線性現(xiàn)象;③二維分岔圖能夠確定航行體在不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下對(duì)應(yīng)的參數(shù)范圍,根據(jù)二維分岔圖可以設(shè)置合適的控制參數(shù),從而有效控制航行體尾翼的偏轉(zhuǎn),實(shí)現(xiàn)超空泡航行體的穩(wěn)定航行,為航行體控制器的設(shè)計(jì)提供理論研究基礎(chǔ)。

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Nonlinear Dynamic Characteristics of Supercavitating Vehicle Based on Two-dimensional Bifurcation

LV Yi-pin,XIONG Tian-hong,YI Wen-jun,WU Jin-tao

(National Key Laboratory of Transient Physics,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,China)

Based on two-dimensional bifurcation diagram,the complex dynamic behaviors of supercavitating vehicles were analyzed by using dynamic analysis tools,such as phase track diagram,time-domain simulation diagram,Lyapunov exponent spectrum.The motion of supercavitating vehicle changing with feedback control gain of the tail deflection angle and cavitation numbers was explored,and the conditions and ranges of variable parameters for the stable motion of vehicle were determined.The results show that some rich nonlinear phenomena varying with variable parameters,such as bifurcations,period windows and chaos can be found.Vibrations and shocks can be suppressed effectively by reasonably adjusting the tail deflection angle.The research result has an important guiding significance to the design of the controller of supercavitating vehicle.

supercavitating vehicle;nonlinear dynamics;two-dimensional bifurcation diagram;tail deflection angle;cavitation number

2017-01-14

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11402116,11472136);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助(30910612203)

呂一品(1993- ),女,博士研究生,研究方向?yàn)槌张莺叫畜w非線性動(dòng)力學(xué)特性與穩(wěn)定控制研究。E-mail:YipinLv623@126.com。

熊天紅(1977- ),女,講師,博士,研究方向?yàn)槌张轀p阻技術(shù)實(shí)驗(yàn)與理論研究。E-mail:xiongtianhong688@163.com。

TV131.2;O322

A

1004-499X(2017)02-0039-08