夏國(guó)祥

[摘 要] 熟悉高中數(shù)學(xué)概念的特征才能更好地促進(jìn)學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念，有效的概念教學(xué)應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，應(yīng)該關(guān)注整個(gè)概念體系的結(jié)構(gòu)，應(yīng)該借助于變式訓(xùn)練來(lái)強(qiáng)化訓(xùn)練，提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；概念；構(gòu)建

概念學(xué)習(xí)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，如何組織有效的概念教學(xué)呢？應(yīng)該從數(shù)學(xué)概念的特征出發(fā)優(yōu)化高中概念學(xué)習(xí)的形式，監(jiān)控?cái)?shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的過(guò)程，最大限度地優(yōu)化教學(xué).

高中數(shù)學(xué)概念的特征分析

要實(shí)現(xiàn)概念教學(xué)有效性的提升，并監(jiān)控學(xué)生的概念學(xué)習(xí)過(guò)程，我們首先對(duì)高中數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)要有所了解，下面筆者根據(jù)實(shí)踐和經(jīng)驗(yàn)將其特點(diǎn)做以下小結(jié)：

1. 數(shù)學(xué)概念的抽象性

在數(shù)量關(guān)系和空間表現(xiàn)形式上數(shù)學(xué)概念是抽象的，形式化和符號(hào)化是概念所用的專業(yè)語(yǔ)言表示，對(duì)象的物質(zhì)性質(zhì)往往與其沒(méi)有關(guān)聯(lián)，抽象性很強(qiáng)，因?yàn)檫@個(gè)特點(diǎn)，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)概念的領(lǐng)域才更加廣泛.

2. 數(shù)學(xué)概念的相對(duì)具體性

從概念體系這個(gè)層面來(lái)看，數(shù)學(xué)概念體系的構(gòu)成是逐層深入的，高層次概念構(gòu)成的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)對(duì)象和低層次概念. 但從另一層面來(lái)說(shuō)，相對(duì)于數(shù)學(xué)判斷和推理來(lái)講概念是知識(shí)體系中實(shí)在的具體知識(shí).

3. 數(shù)學(xué)概念的邏輯聯(lián)系性

各個(gè)概念在邏輯上都有著很強(qiáng)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，以邏輯定義后才能建立新的概念，從概念體系的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)邏輯體系需要各個(gè)相互關(guān)聯(lián)的概念.

數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)有哪些形式

通過(guò)理論性研究和實(shí)踐操作，我們不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律始終是其特性，有意義構(gòu)建概念有“概念形成”與“概念同化”兩種形式.

1. 概念形成的含義

在例證中運(yùn)用“歸納”這一方法把同一類數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性進(jìn)行提煉繼而形成新的概念的過(guò)程叫作概念形成.

2. 概念同化的含義

學(xué)生在概念陳述時(shí)主動(dòng)運(yùn)用定義的形式并借助于頭腦中的認(rèn)知表象，將新舊知識(shí)進(jìn)行有意義的聯(lián)系、作用的過(guò)程叫作概念的同化，我們通常把其學(xué)習(xí)方法叫作“邏輯法”，學(xué)生原有概念體系的牢固與否，以及學(xué)生遷移和邏輯思維能力是決定學(xué)生學(xué)習(xí)效率的關(guān)鍵性因素.

高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略研究

1. 關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，因此我們?cè)诟拍罱虒W(xué)時(shí)必須從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，感性材料、問(wèn)題的設(shè)置都應(yīng)該從學(xué)生熟悉的情境或原有的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，通過(guò)有效問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)來(lái)激活學(xué)生的思維，將學(xué)生帶入數(shù)學(xué)知識(shí)探究活動(dòng)中來(lái).具體而言，有如下幾種方法：

（1）教師要善于挖掘新、舊概念之間的關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)概念具有其特有的邏輯性與整體性且自成體系，所以，我們要注重挖掘新、舊概念之間的關(guān)聯(lián).

比如，教師可以把“并集”和“交集”的聯(lián)系挖掘出來(lái)并進(jìn)行正方向的概念聯(lián)結(jié)；也可以把“橢圓”和“圓”建立聯(lián)結(jié)展開(kāi)學(xué)習(xí)，“雙曲線”和“橢圓”建立聯(lián)結(jié)展開(kāi)學(xué)習(xí).

（2）關(guān)注數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程

數(shù)學(xué)概念是如何形成的？關(guān)注形成過(guò)程，即帶領(lǐng)學(xué)生一起追本溯源，回顧數(shù)學(xué)史，通過(guò)這個(gè)過(guò)程讓學(xué)生感受到生活與數(shù)學(xué)之間、數(shù)學(xué)概念體系內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和發(fā)展脈絡(luò)，繼而實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)逐漸地深化.

例如，“復(fù)數(shù)”概念的師生共學(xué)中，與學(xué)生回憶“實(shí)數(shù)”概念的發(fā)展史成為筆者第一時(shí)間做的事情. 繼而用問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)：“如何解決實(shí)數(shù)集中對(duì)負(fù)數(shù)開(kāi)偶數(shù)次方不能實(shí)施這一問(wèn)題呢？” 引進(jìn)一種“新數(shù)”在數(shù)的發(fā)展角度層面也就很自然了，那么這種新數(shù)又應(yīng)該符合哪些條件呢？在學(xué)生建立各運(yùn)算方法均能運(yùn)用的認(rèn)知以后，教師適時(shí)引進(jìn)虛數(shù)單位i，學(xué)生在心理上有了適應(yīng)，復(fù)數(shù)概念也就得到了真正的落實(shí).

2. 關(guān)注數(shù)學(xué)問(wèn)題涉及的概念“本源”

概念學(xué)習(xí)效果最終是通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決來(lái)檢驗(yàn)的，我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中應(yīng)該借助于數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生一起探尋問(wèn)題所涉及的概念的本源.

例題：曲線C是平面內(nèi)與定直線x= -2和定點(diǎn)F（2，0）的距離之積等于4的點(diǎn)的軌跡，根據(jù)上述條件，你能得到以下哪些結(jié)論是正確的？

（1）曲線C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；（2）x軸是曲線C的對(duì)稱軸；（3）y軸與曲線C存在3個(gè)交點(diǎn)；（4）對(duì)于曲線C上的一點(diǎn)M，有MF≥2（ -1）.

那么這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題能不能在我們數(shù)學(xué)教材中找到與之有關(guān)的概念原型呢？只有找到了原型，才能將正確的方法遷移過(guò)來(lái). 如果我們有這方面的思考，很自然地會(huì)將學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)引向“曲線對(duì)應(yīng)的幾何性質(zhì)”中去，繼而找到模型，如焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程，學(xué)生的思維切換到此類問(wèn)題的解法，所涉及的概念也就自然浮現(xiàn)于腦海之中，有：橢圓上的點(diǎn)（x，y）的坐標(biāo)取值范圍；橢圓的頂點(diǎn)；橢圓的對(duì)稱性；橢圓上的點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)之間距離的最值問(wèn)題. 在找到數(shù)學(xué)概念本源后，下面問(wèn)題的解決就顯得有序了.

首先，“曲線C是平面內(nèi)與定直線x=-2和定點(diǎn)F（2，0）的距離之積等于4的點(diǎn)的軌跡”這個(gè)條件我們應(yīng)怎么處理？設(shè)曲線C上的任意一點(diǎn)M（x，y），我們可以將這個(gè)文字表達(dá)轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言 ·x+2=4，從該方程出發(fā)對(duì)題目中所給的4個(gè)結(jié)論進(jìn)行辨析.

對(duì)于（1），我們可以將“橢圓頂點(diǎn)”的求解方法遷移過(guò)來(lái). 曲線C是否經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)？可以將原點(diǎn)的坐標(biāo)代入前面得到的方程 ·x+2=4，等式成立則說(shuō)明結(jié)論（1）是正確的.

對(duì)于（2），我們可以將“橢圓的對(duì)稱性”判斷的方法遷移過(guò)來(lái). x軸是否是曲線C的對(duì)稱軸？可以令-y代換方程 ·x+2=4中的y，結(jié)果發(fā)現(xiàn)方程沒(méi)有發(fā)生改變，說(shuō)明結(jié)論（2）是正確的.

對(duì)于（3），我們可以將“橢圓頂點(diǎn)”的求解方法遷移過(guò)來(lái). 令 ·x+2=4中x=0，可得2 =4，y2=0，y=0，由此可見(jiàn)y軸與曲線C只存在1個(gè)交點(diǎn)，結(jié)論（3）是錯(cuò)誤的.

對(duì)于（4）我們可以將“橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)取值范圍”、“橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)間距離的最值”這兩個(gè)問(wèn)題的求解方法遷移過(guò)來(lái). 對(duì)于曲線C上的一點(diǎn)M，則有MF= ，結(jié)合曲線方程 ·x+2=4可得MF= ，如何求其最小值？將問(wèn)題直接引向如何確定x的取值范圍，由方程 ·x+2=4可知y2= -（x-2）2≥0，且x≠-2，即 ≥0（x≠-2），得16-（x2-4）2≥0，（x2-4）2≤16，-4≤x2-4≤4，解得-2 ≤x≤2 （x≠2），所以當(dāng)x=2 時(shí)，MF= 取最小值，最小值為2（ -1），結(jié)論（4）是正確的.

3. 加強(qiáng)變式訓(xùn)練

從接觸概念到學(xué)生吸收內(nèi)化概念的整個(gè)過(guò)程中，變式和比較這兩種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中慣常所用的方式對(duì)于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)概念本質(zhì)特征是有利的.

（1）加強(qiáng)變式訓(xùn)練應(yīng)用

“變式”教學(xué)有利于概念本質(zhì)特征的突出，能夠借力于概念正向變化使得學(xué)生輕松排除跟概念沒(méi)有關(guān)系的特征.

比如，“復(fù)數(shù)”學(xué)習(xí)時(shí)，2+3i，-5i， -4i等例子可能使得學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的認(rèn)知，繼而把b≠0看成為a+bi（a，b∈R）的本質(zhì)特征，因此，教師在這幾個(gè)例子之外還應(yīng)補(bǔ)充2-3 等例子，使得學(xué)生輕松排除與之無(wú)關(guān)的特征，使得復(fù)數(shù)這個(gè)概念得以順利構(gòu)建.

（2）加強(qiáng)比較練習(xí)應(yīng)用

正向例子之間以及正反兩向例子之間的比較都是存在的，共同本質(zhì)特征在正向比較中獲得，而對(duì)于本質(zhì)和非本質(zhì)特征的深度理解則可以從后者的比較中獲得.

比如，點(diǎn)、線、面各個(gè)不同空間距離的知識(shí)體系中，筆者曾經(jīng)梳理了不同空間“距離”概念的比較，整個(gè)知識(shí)梳理涵蓋了共性和區(qū)別的比較，有效促進(jìn)了學(xué)生對(duì)這個(gè)知識(shí)體系中各個(gè)概念的理解，也使得空間距離這個(gè)整體概念得以順利、完整地構(gòu)建.

如果要使學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的掌握比較牢固且運(yùn)用靈活，強(qiáng)化訓(xùn)練也是必需的. 到了學(xué)習(xí)的一定程度，歸納、分類、概括、提高等都是促進(jìn)學(xué)生深層次思考的強(qiáng)化手段，為了促進(jìn)學(xué)生知識(shí)的內(nèi)化吸收，反復(fù)強(qiáng)化是必不可少的. 不斷重復(fù)、有針對(duì)性的強(qiáng)化練習(xí)也使得學(xué)生真正系統(tǒng)地掌握了學(xué)過(guò)的概念，并做到融會(huì)貫通.

對(duì)于高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)而言，我們?cè)诮虒W(xué)資源的選擇、情境的選擇時(shí)都應(yīng)該從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，只有重視學(xué)生的學(xué)習(xí)心理特點(diǎn)和原有的認(rèn)知基礎(chǔ)，學(xué)生才能將現(xiàn)學(xué)的數(shù)學(xué)概念與原有的概念有效聯(lián)結(jié)形成結(jié)構(gòu)化的、整體的概念體系. 我們的概念教學(xué)應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注概念的形成過(guò)程，和學(xué)生一起追溯數(shù)學(xué)問(wèn)題的本源，只有這樣才能豐富學(xué)生的過(guò)程體驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生的過(guò)程目標(biāo)和情感目標(biāo)的有效達(dá)成，此外，還必須強(qiáng)化變式訓(xùn)練，借此提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念理解的穩(wěn)固度.