陳華林

所謂問題驅(qū)動，是指通過對某個現(xiàn)象或?qū)ο蟮挠^察，并由淺入深地探究進而揭示現(xiàn)象或?qū)ο蟮谋举|(zhì)。數(shù)學(xué)作為自然界的抽象反映，它與其他自然科學(xué)一樣，也是圍繞問題展開的，通過提出問題、分析問題、解決問題最終形成一整套理論。問題既是自然科學(xué)研究的源動力，也是數(shù)學(xué)研究的源動力。因此，我們的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)該是由問題驅(qū)動的活動過程。

一、以問題驅(qū)動數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的基本理念

在數(shù)學(xué)教學(xué)中運用問題驅(qū)動有利于培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動機，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。當(dāng)學(xué)生懷著強烈的問題意識進行學(xué)習(xí)、探究時，可以從具有挑戰(zhàn)性的創(chuàng)造中獲得積極愉悅的感情體驗，有助于強化求知欲，增強學(xué)習(xí)的內(nèi)在動機，改變學(xué)生過分依賴教師、書本的學(xué)習(xí)習(xí)慣，實現(xiàn)教學(xué)過程中主體作用的發(fā)揮，為發(fā)展創(chuàng)新能力奠定基礎(chǔ)。

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認為只有進入學(xué)生認知場域并被其意識到的問題，才能促進其積極思考，進而形成自己的認識或解答，用本原性問題驅(qū)動數(shù)學(xué)課堂教學(xué)就是要抓住師生間互動的認知場域，形成普遍的共識或解答。它有助于學(xué)生問題意識的提高，有助于合作意識和探究能力的提高，也有助于創(chuàng)新意識和實踐能力的加強。

下面結(jié)合我去年的一個具體教學(xué)案例《直線與橢圓的位置關(guān)系》，來談?wù)剬σ詥栴}驅(qū)動數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實踐與思考。

二、以問題驅(qū)動《直線與橢圓的位置關(guān)系》課堂教學(xué)實踐

（1）內(nèi)容解析

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重點和難點，其中直線和橢圓的位置關(guān)系，是圓錐曲線中最基本、最重要內(nèi)容之一，其研究方法是研究直線與其他圓錐曲線位置關(guān)系的基礎(chǔ)。學(xué)生之前已經(jīng)接觸過直線和圓的位置關(guān)系，所以運用類比的方法研究直線和橢圓的位置關(guān)系，讓學(xué)生思考，自己提出以直線和橢圓為載體，會提出什么樣的問題。讓學(xué)生在“做”和“思”的過程中收獲更多的知識、體驗和感悟。

（2）教學(xué)過程

問題1 我們以前學(xué)過直線和圓，還記得直線和圓的位置關(guān)系有幾種？他們的位置關(guān)系怎樣判斷呢？

生：有三種，相交、相切、相離，利用圓心到直線的距離和半徑比較。

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧如何判斷直線和圓的位置關(guān)系，并追問：還有其他辦法嗎？

生：聯(lián)立直線和圓的方程，得到一元二次方程，利用方程解的個數(shù)，判斷直線與圓的位置關(guān)系。

師：我們又學(xué)了一種新的和圓非常類似的曲線——橢圓，直線和橢圓的位置關(guān)系有哪幾種？

生：相交、相切、相離。

師：他們的位置關(guān)系又如何來判斷呢？

生甲：利用橢圓中心到直線的距離。

師追問：利用橢圓中心到直線的距離和誰作比較？

生甲猶豫中發(fā)現(xiàn)自己回答有問題。

經(jīng)過討論交流，大家都發(fā)現(xiàn)了生甲的問題所在。

生乙：類比直線和圓的位置關(guān)系那樣，聯(lián)立直線和橢圓的方程，得到一元二次方程，利用方程解的個數(shù)，判斷直線與橢圓的位置關(guān)系。

設(shè)計意圖：以學(xué)生熟悉的直線和圓的位置關(guān)系入手，運用類比的方法得出如何判斷直線和橢圓的位置關(guān)系。

例1：已知橢圓■+■=1，直線l：4x-5y+k=0. 問：k取何值時，直線與橢圓相交？

由前面的鋪墊和啟發(fā)，學(xué)生都意識了第二種方法適用，聯(lián)立直線和圓的方程，得到一元二次方程，方程有兩個不等解，則直線和橢圓相交。

設(shè)計意圖：給學(xué)生時間，做出最終結(jié)果，讓學(xué)生體會解析幾何的核心是“用代數(shù)方法研究幾何問題”，并歸納出判斷直線和橢圓的位置關(guān)系的一般方法。

問題2 大家覺得給出直線和橢圓相交會出什么類型的問題？

師：已知橢圓■+■=1，直線l：4x-5y+k=0.

學(xué)生有些手足無措。

師：大家想一下直線和圓相交會出什么類型的問題？

生：求弦長。

師：那直線和橢圓相交，可以求弦長嗎？

生（思考之后）：好像不行，圓的弦長是利用垂徑定理，但橢圓不具備這個性質(zhì)。

師：那我們要想其他辦法了，弦長本質(zhì)就是兩點間距離，怎么求呢？

生：用兩點間距離公式■。

一段時間過后，大家就沒耐心做下去了，也聽到有同學(xué)在下面說，不求出x1、 x2，利用韋達定理來求（x1-x2）2，可是（y1-y2）2怎么辦呢，再化成關(guān)于y的方程？

師：剛才的思路理論上可以，但計算量太大，有同學(xué)說可以利用韋達定理來求（x1-x2）2，但（y1-y2）2沒辦法解決，我們來看下兩者有沒聯(lián)系。

生：由圖可知，利用斜率公式=k（準(zhǔn)確講是 | k |），所以， （y1-y2）2=k2（x1-x2）2。

師：很好，我們剛才是從圖形上找到二者的聯(lián)系，還有其它方法嗎？x1、 x2和y1、 y2并不是孤立的。

生：y1=kx1+b，y2=kx2+b，兩式相減，則y1-y2=k（x1-x2），推導(dǎo)出弦長公式：| AB |。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生自己類比直線與圓，設(shè)計問題，推導(dǎo)出弦長公式，體驗知識生成的過程，尋求解決問題的方法，并體驗取得成功的喜悅。

問題3 把上面的問題改為動直線，已知橢圓，直線l：4x-5y+n=0和橢圓相交，以此為背景，還可以出什么問題？

生：可以求弦長的最值。

師（追問）：怎么求？

生：弦長是關(guān)于n的式子，可以看成關(guān)于k的函數(shù)，利用函數(shù)知識來解決。

師：還有其它問題嗎（沒人響應(yīng)）？這是一組斜率相同的直線，會不會有些規(guī)律，比如一些特殊的點的軌跡。

生：中點，橢圓、圓（大家回答五花八門）。

師：（幾何畫板演示）中點的軌跡是線段，問題是怎么證明（學(xué)生有些手足無措）？

師：中點的變化是由誰引起的？

生：n的變化引起的？

師：直線和誰對應(yīng)？

生：二元一次方程。

師：中點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都和n有關(guān)，那么……

生：消掉n，得到x和y的等式。

通過學(xué)生的獨立自主運算，得到了相交弦中點的軌跡方程。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生自己得到直線與橢圓相交，得到相交弦的中點軌跡問題。并自己解決這個問題。

問題4 已知橢圓，直線l：4x-5y+k=0和橢圓相離，以此為背景，可以出什么問題？

生：可以求橢圓上的點到直線的最近距離和最遠距離。

師：怎么求？

生：平移直線，最先接觸橢圓的點為最近距離，最后接觸的點為最遠距離。

師：你們所說的最先接觸的點和最后接觸到的點又如何來刻畫呢？

生：利用相切，找到平行于已知直線的切線即可。

學(xué)生通過獨立自主的演算，得到了距離的最值。

（3）反思

建構(gòu)主義教學(xué)理論指出，學(xué)習(xí)者不是空著腦袋走進教室的，在以往的生活、學(xué)習(xí)和交往活動中，他們逐步形成了自己對各種現(xiàn)象的理解和看法，而且，他們具有利用現(xiàn)有知識經(jīng)驗進行推論的智力潛能。因此問題的設(shè)計要接近學(xué)生現(xiàn)有的認知結(jié)構(gòu)。

在“問題驅(qū)動”的這節(jié)課教學(xué)實施中，我們以直線和圓的知識為載體，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、探索，解決直線與橢圓的關(guān)系以及由此所衍生出來的問題。心理學(xué)中的“宜家效應(yīng)”是指人們購買了宜家家具后，回到家需要花很多力氣把它組裝起來。看到親手組裝的家具，喜愛程度就會超過同等品質(zhì)的其他家具。人們自己制作產(chǎn)品時，會產(chǎn)生對這一產(chǎn)品的依戀感和自豪感。應(yīng)用到教學(xué)中，教師要讓學(xué)生在課堂這一舞臺上充分展示自我，讓學(xué)生經(jīng)歷實驗、猜測、交流、反思、合作等理性思維的過程，讓學(xué)生參與其中，成為學(xué)習(xí)的主人。

數(shù)學(xué)問題的產(chǎn)生主要有兩個來源。一是教師在備課過程中精心設(shè)計的反映該數(shù)學(xué)主題實質(zhì)的問題；二是在課堂教學(xué)活動過程中，由學(xué)生所提出的涉及該數(shù)學(xué)主題實質(zhì)的關(guān)鍵問題。前者意味著教師要把實質(zhì)性的數(shù)學(xué)問題“教學(xué)法化”，讓數(shù)學(xué)實質(zhì)能夠被學(xué)生觸及和逐步理解；后者意味著教師在充滿不確定性的課堂里發(fā)現(xiàn)本原性數(shù)學(xué)問題，能及時抓住學(xué)生的那些反映數(shù)學(xué)思想實質(zhì)的樸素想法并加以發(fā)展。由此不難得出，數(shù)學(xué)問題具有自然生成、預(yù)設(shè)下的原發(fā)性和多角度對話的品性等特征。

以問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是學(xué)生主體、師生互動的生成性教學(xué)，是學(xué)生認知場域和教師認知場域之間的碰撞、交流、拓展、提升的動態(tài)過程。由于“問題”是師生在教學(xué)互動中自然產(chǎn)生的自己的問題，具有較大的開放度和一定的難度，由此勢必要求師生共同合作、相互探究，有利于學(xué)生合作和探究能力的提升，有利于學(xué)生創(chuàng)新精神的養(yǎng)成和實踐能力的加強，這正是數(shù)學(xué)新課程所追求的理念和價值。

參考文獻

[1]楊玉東，李傳峰. 用本原性問題驅(qū)動數(shù)學(xué)概念教學(xué)[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2006（1）.

[2]何勇，曹廣福. 以問題驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014（7）.

[3]張署青，曹廣福. 以問題驅(qū)動對數(shù)概念教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014（7）.

（作者單位：廣州市培正中學(xué)）

責(zé)任編輯 黃佳銳