◇顧衛(wèi)華

用歷史名題推開數(shù)學文化的窗
——“雞兔同籠”賞析課教學實踐

◇顧衛(wèi)華

數(shù)學文化是指人類在數(shù)學行為活動的過程中所創(chuàng)造的物質(zhì)產(chǎn)品和精神產(chǎn)品。物質(zhì)產(chǎn)品指數(shù)學命題、數(shù)學方法、數(shù)學問題和數(shù)學語言等知識性成分；精神產(chǎn)品指數(shù)學思想、數(shù)學意識、數(shù)學精神和數(shù)學美等觀念性成分。以此定義審視現(xiàn)在的課堂，很明顯我們對“物質(zhì)產(chǎn)品”一直非常重視，長抓不懈；但對于“精神產(chǎn)品”還是有點“虛”，不夠扎實。

“雞兔同籠”出自《孫子算經(jīng)》，該題雖不具有實際意義，卻可以成為一類問題的數(shù)學模型。同時，題目情節(jié)有趣但不簡單，解答有挑戰(zhàn)但不艱澀，成為歷史名題實至名歸，實在是體會數(shù)學文化的極好載體。在蘇教版教材中，此題被安排在六年級下冊“解決問題的策略”單元的“你知道嗎”中，僅僅作為附屬知識出現(xiàn)，有點兒可惜。于是，我大膽嘗試，以此為載體上了一節(jié)“名題賞析”課，著力引導學生體會數(shù)學文化中那些“虛”的成分，感悟數(shù)學內(nèi)在的理性美。

一、導入

（直接出示下題，如圖1）

圖1

師：題目的意思明白嗎？誰來說說？

生1：雞和兔在一個籠子里，一共有35個頭，有94只腳，求雞和兔各有多少只。

師：（豎起大拇指）不錯，這可是一道千古名題，今天我們一起來研究、欣賞它。為了方便，老師把數(shù)改小一點兒。

（師出示：若干只雞和兔同在一個籠子里，從上面數(shù)，有12個頭；從下面數(shù)，有34只腳?；\中雞和兔各有多少只）

師：為什么這會成為一道名題呢？如果老師把題目改一下，你覺得還能吸引人嗎？（如圖2）

圖2

生2：直接就能求出兔有多少只了，不好玩了。

師：你的意思是說，名題之所以有名，是因為有點兒挑戰(zhàn)，是嗎？

生2：是呀，否則就太沒有意思了。

師：非常棒！學習數(shù)學有時就需要這種迎難而上的精神。你們愿意接受“雞和兔”的挑戰(zhàn)嗎？請獨立完成，準備展示你的想法。

（生獨立完成，師巡視，捕捉亮點）

二、分享

師：誰愿意來分享你的想法？

（生1的想法見圖3）

圖3

生1：我用的是列舉法。不知道雞、兔的只數(shù)，我就想，如果雞有12只，那么兔就是0只，總腳數(shù)就是2乘12，24只。而題目告訴我們一共有34只腳，顯然不對，說明雞不是 12只。然后就繼續(xù)列舉，最后到7只雞和5只兔的時候正好是34只腳，那就說明雞7只、兔5只。請大家和我交流。

生2：我覺得你說得很棒，但是我從 12只兔子開始列舉也是可以的。

生1：我贊同你的想法。

師：聽了你們的對話，老師有個疑問，為什么你們都選擇從12只雞或兔開始列舉呢？

生2：我覺得從全部是兔考慮，比較容易。

師：老師發(fā)現(xiàn)你很有數(shù)學的眼光，確實從極端情況考慮往往比較——

生：（齊）容易。

師：誰還有不同的想法呢？

生3：我來，我是列式計算的。（如圖4）

圖4

生4：很棒，我還可以先假設全是兔，那自然總腳數(shù)就變多了。

師：真了不起！你們的發(fā)言都很精彩。歷史上，曾經(jīng)流傳有很多解答，大家想開開眼界嗎？

三、欣賞

（課件用菜單方式出示：畫圖法、雞翅當腳法、砍腳法）

師：這是六年級的題目，一年級的小朋友也會做。不信？請看?。ㄈ鐖D5）

圖5

師：誰來解釋他是怎么想的？

生1：我來解釋。先全部畫成兩只腳的雞，一共12只，然后再增加腳數(shù)，黑色部分就是比實際少的10只腳，每只雞添2只腳，就變成了兔，所以就有5只兔。

（課件出示“雞翅當腳法”，錄音配動畫：兔有4只腳，而雞只有2只腳，這豈不是太不公平了嗎？雞還有2只翅膀呢!如果把2只翅膀也看成腳，那么雞也就有了4只腳。這樣……）

師：誰是數(shù)學家的知音？

生2：我明白了。12只動物就有了4乘12等于48只腳！咦？已知有34只腳呀，為什么多了14只腳呀？哦，其實這14只，不是腳，是假裝成腳的翅膀呀。那么雞就是14÷2=7（只），剩下的5只便全是兔了。

（課件出示“砍腳法”，錄音配動畫：如果把每只動物都砍成2只腳，這樣所有的動物都是2只腳……）

師：大家聽明白了嗎？

（生回答，略）

四、分析

師：課始我們分析過，“雞兔同籠”之所以成為名題，是需要解答者同時滿足 “頭12個”“腳34只”這兩個要求！數(shù)學中是怎么處理這種挑戰(zhàn)的？請大家比比剛才我們所經(jīng)歷的各種解法，它們有什么相同的地方？

生1：我覺得都是在假設。

師：具體說說。

生2：你們看，不管是哪種方法，都會先假設全部是雞或者兔，然后求出總腳數(shù)，發(fā)現(xiàn)比已知的總腳數(shù)少或者多，最后再換。

師：有道理！換的時候有點不一樣而已。

生3：我覺得“雞翅當腳法”其實就是假設成全是兔，因為當雞把翅膀當成腳時，就相當于全是兔了。

師：你總結得很有水平，那老師想問你，為什么要假設呢？

生3：因為，不能一下子知道雞和兔各有幾只。

師：數(shù)學學習需要不斷追問。為什么不能一下子求得雞和兔的只數(shù)呢？

生3：因為不能同時滿足 “頭12個”“腳 34只”這兩個要求，除非運氣特別好，一猜就中了！

師：對！不能同時滿足“頭12個”“腳34只”這兩個要求。面對這個困難，所有人都干了同樣的一件事，是什么？

生4：我覺得都是在算腳。

師：算腳？

生4：對呀，算總腳數(shù)有多少。只要算到總腳數(shù)是34，就可以了。

師：那頭呢？

生4：頭一直是12個呀！

師：哈哈，看來當無法一下子滿足“頭”和“腳”兩個條件時，我們首先選擇了“頭”——滿足“頭12個”這個條件。假設12個頭全部是一種動物的，然后去設法調(diào)整腳數(shù)，讓總腳數(shù)慢慢地滿足“腳34只”這個條件。只不過調(diào)整的方式可能有所不同，有的是一次性調(diào)整到位，有的是一只只調(diào)整?；匚兑幌?，是不是這樣呢？

（生再次比較各種解法，頻頻點頭）

師：嗯，看來我們已經(jīng)把握住最關鍵的部分了。各種解法各有不同，所以有不同的名稱，什么列舉法、畫圖法、砍腳法等，但所體現(xiàn)出來的數(shù)學智慧是一樣的，都是先滿足一個條件，然后設法滿足第二個條件。當你把握了這個規(guī)律的時候，我們回頭再來看也許會有新的收獲。比如說，先前我們都是從極端的情況假設。難道只有這一條路嗎？

生5：我有新的辦法了，反正都是12個頭，我就平分一下，6只雞和6只兔，這樣一共有12+24= 36（只）腳，不對。雞增加1只，兔減少1只，就正好是34只腳了。請大家和我交流。

生6：好像你的方法更簡捷些。

師：是呀，因為你沒有從極端情況開始考慮，而是選擇了對半分，反而離正確答案更近了一些。不過老師請教你，當你算出36只腳時，為什么能想到增加雞的只數(shù)而不是增加兔的只數(shù)？這是特別有智慧的地方。

生5：因為總腳數(shù)多了2，所以要減少，那么就要把兔子換成雞。1只兔子換成1只雞。

師：哦，原來是這樣，把1只兔子換成1只雞，總腳數(shù)就減少了2。還能怎樣假設？

（生紛紛舉手回答）

師：好了，找到規(guī)律后，新的方法就太多了。但萬變不離其宗，他們都是如何處理的？

生7：都是先滿足一個條件，然后設法滿足第二個條件。

五、推廣

師：這雞可不是一般雞，這兔也是非凡兔，被你們逼急了，它們?nèi)チ颂嘶ü?，學了七十二般變化，藏在了以下4個場景中。你們還能找到它們嗎？

（師提供菜單式選擇，分別是 “日本”“春游”“投籃”“下棋”。生選“日本”，師課件出示：有一群鶴和烏龜都圈在一個籠子里。從上邊數(shù)腦袋是35個，從下邊數(shù)腳是94只。問烏龜和鶴各是多少只）

生：很簡單，鶴就是雞，因為有2只腳；烏龜就是兔，有4只腳。

師：是呀，這題在日本叫作“龜鶴算”，據(jù)史料記載，此題就源自“雞兔同籠”。難怪有人說，近代日本之所以富強，和他們善于學習是分不開的。

（生選“春游”“投籃”“下棋”，師課件依次出示下面各題，生分別找到對應的“雞”和“兔”）

1.要參加春游，媽媽給了我20張人民幣，告訴我一共是175元，其中只有5元和10元的，我算了算，就知道5元和10元各多少張了。

2.一名籃球運動員在一場比賽中一共投中9個球，有2分球，也有3分球。已知這名運動員一共得了21分，他投中2分球和3分球各多少個？

3.學校有象棋、跳棋共26副，恰好供120個學生同時活動，象棋2人下一副，跳棋6人下一副，那么象棋、跳棋各幾副？

師：看來這雞和兔可以死心了，不管怎么變化，都躲不過你們的“火眼金睛”。你們怎么這么厲害呢？

生：我發(fā)現(xiàn)雞的腳數(shù)可以變，兔的腳數(shù)也可以變，但不變的是“雞和兔的總只數(shù)”一直是告訴我們的，雖然數(shù)可能在變化。

師：真了不起，你都發(fā)現(xiàn)這些變化中的共同特征了，難怪這么厲害！如果要求同時滿足三個條件該怎么辦？

（課件出示“百雞問題”：今有雞翁一，值錢五；雞母一，值錢三；雞雛三，值錢一。凡百錢買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何）

師：這也是一道歷史名題，能用今天的收獲解決新的問題嗎？下課后歡迎你試一試。

（作者單位：江蘇啟東實驗小學開發(fā)區(qū)分校）