戴曉琴

摘要：本文主要介紹了數(shù)學(xué)建模的特點及作用，大學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力差異化培養(yǎng)的必要性與方法。同時，結(jié)合筆者自身的教學(xué)實踐，本文提出了數(shù)學(xué)建模方法的模塊化與典型案例相結(jié)合的教學(xué)方法。數(shù)學(xué)建模典型案例的教學(xué)可以使學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的過程，數(shù)學(xué)建模方法的模塊化教學(xué)可以減少學(xué)生迷惘的時間，提高其解決實際問題的效率。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；差異化培養(yǎng)；模塊化教學(xué)

中圖分類號：G642.0 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）25-0160-04

一、前言

自黨的“十八大”以及十八屆三中全會召開以來，我國經(jīng)濟、教育等各項事業(yè)的發(fā)展邁入了一個嶄新的歷史時期。面對經(jīng)濟體制轉(zhuǎn)軌、政治體制改革、國際國內(nèi)形勢復(fù)雜多變等環(huán)境，大學(xué)生作為社會新技術(shù)、新思想的前沿群體、國家培養(yǎng)的高級專業(yè)人才，在一定層面上代表著國家未來的發(fā)展與創(chuàng)新潛力，這就要求大學(xué)生在參加社會主義建設(shè)之前需要具備自我決策能力、適應(yīng)社會能力、創(chuàng)新與實踐能力、社交與團隊協(xié)作能力等。尤其是隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的快速發(fā)展，社會各領(lǐng)域極需具有邏輯思維能力強、演繹能力突出以及能夠?qū)?shù)學(xué)方法與計算機技術(shù)相結(jié)合的創(chuàng)新性人才。眾所周知，任何來自于自然科學(xué)與工程實踐的問題都可以歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題，而數(shù)學(xué)建模就是通過計算得到的結(jié)果來解釋實際問題，并接受檢驗，來建立數(shù)學(xué)模型的全過程，這也是利用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的一種實踐。因此，培養(yǎng)與提高大學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，對于提高大學(xué)生的抽象思維能力、分析與解決實際問題能力、創(chuàng)新與實踐能力以及計算機應(yīng)用能力等方面具有十分重要的意義。根據(jù)當(dāng)前大學(xué)生數(shù)學(xué)建模教學(xué)的發(fā)展趨勢，結(jié)合筆者自身指導(dǎo)大學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競賽的經(jīng)歷，本文提出了大學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力差異化培養(yǎng)以及開展模塊化教學(xué)實踐的探索。

二、數(shù)學(xué)建模的特點與作用

1.數(shù)學(xué)建模的特點。為了激發(fā)大學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的興趣以及培養(yǎng)與提高大學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，必須要大學(xué)生首先認(rèn)識數(shù)學(xué)建模的特點。數(shù)學(xué)建模就是通過抽象、簡化、假設(shè)、引入變量等方式將實際問題用一定的數(shù)學(xué)方式進行表達(dá)，從而建立一定的數(shù)學(xué)模型，并用優(yōu)化后的數(shù)學(xué)方法及計算機技術(shù)進行求解的全過程。因此，從數(shù)學(xué)模型建立的實踐中，我們可以歸納出數(shù)學(xué)模型主要存在以下特點：（1）目的性。數(shù)學(xué)建模的目的是利用數(shù)學(xué)模型來分析特定對象的有關(guān)現(xiàn)象及其規(guī)律，對事物的運行與發(fā)展趨勢進行一定的預(yù)測與分析判斷，然后做出控制與決策。（2）多樣性。對于相同的實際問題，出于不同目的，使用不同的方法與假設(shè)，可以建立出不同的數(shù)學(xué)模型。因此，判斷數(shù)學(xué)模型好壞的唯一標(biāo)準(zhǔn)是看其能否解決實際問題。（3）逼真性與可行性。數(shù)學(xué)模型的建立需要盡可能與實際問題接近，也就是數(shù)學(xué)模型的逼真性。而一個逼真的模型往往達(dá)不到預(yù)期的建模目的，即不可行。因此，數(shù)學(xué)建模只要達(dá)到預(yù)期的應(yīng)用目的，可行就夠了，不必追求完全逼真。（4）漸近性與強健性。對于較為復(fù)雜的實際問題，往往需要多次由簡到繁、由繁到簡的反復(fù)迭代才能建立可行的數(shù)學(xué)模型。同時，隨著科技的發(fā)展與人們實踐能力的提高，數(shù)學(xué)建模也是一個不斷完善與更新的過程。另外，模型的結(jié)構(gòu)與參數(shù)隨著觀測數(shù)據(jù)的微小改變也會表現(xiàn)出微小的變化，從而表現(xiàn)出數(shù)學(xué)建模的強健性。（5）可移性。數(shù)學(xué)模型是在原型的基礎(chǔ)上進行理想化、簡化與抽象化處理之后的結(jié)果，它也可以從一個研究對象轉(zhuǎn)移到另一個其他的研究對象。（6）局限性。①數(shù)學(xué)建模過程中常常會忽略一些次要因素，因此數(shù)學(xué)模型得出結(jié)論的精確性是近似的，通用性也是相對的。②由于人們認(rèn)識與技術(shù)的局限性以及數(shù)學(xué)發(fā)展本身的限制，導(dǎo)致大量實際問題很難得到有實用價值的數(shù)學(xué)模型。③還存在一些特殊領(lǐng)域的實際問題至今未能建立有效的數(shù)學(xué)模型進行解決。

2.數(shù)學(xué)建模的作用。大學(xué)生對需要解決的實際問題的認(rèn)識與理解，可以直接通過大學(xué)生的數(shù)學(xué)模型能力來加以體現(xiàn)。因此，大學(xué)生需要有很強的數(shù)學(xué)邏輯思維力、數(shù)學(xué)觀念以及對數(shù)學(xué)模型的把控與構(gòu)建能力，才能運用可行的數(shù)學(xué)語言表達(dá)客觀事物或需要解決問題的本質(zhì)特征。所以，數(shù)學(xué)建模在很大程度上反映了大學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念、意識和能力。

隨著互聯(lián)網(wǎng)、云計算以及智能制造等技術(shù)的快速發(fā)展，提出了許多需要用數(shù)學(xué)方法解決的新問題，同時也使過去一些即便有了數(shù)學(xué)模型也無法求解的課題（如天氣預(yù)報、大型水壩應(yīng)力計算等問題）迎刃而解；建立在數(shù)學(xué)模型和計算機模擬基礎(chǔ)上的計算機輔助設(shè)計技術(shù)，以其快速、經(jīng)濟、方便等優(yōu)勢，大量地替代了傳統(tǒng)工程設(shè)計中的現(xiàn)場實驗、物理模擬等手段。尤其是將數(shù)學(xué)建模、數(shù)值計算和計算機圖形學(xué)等相結(jié)合形成的計算機軟件，已經(jīng)被固化于產(chǎn)品中。因此，數(shù)學(xué)建模在許多高新技術(shù)領(lǐng)域，如電子與信息技術(shù)、生物工程與新醫(yī)藥技術(shù)、先進制造技術(shù)、空間科學(xué)與航空航天技術(shù)、海洋工程技術(shù)等領(lǐng)域具有十分廣闊的應(yīng)用前景。

此外，隨著數(shù)學(xué)向其他學(xué)科領(lǐng)域的逐漸滲透，尤其是用數(shù)學(xué)方法研究這些學(xué)科領(lǐng)域中的各種定量關(guān)系時，數(shù)學(xué)建模就成為首要的、關(guān)鍵的步驟以及這些學(xué)科發(fā)展與應(yīng)用的動力。因此，一些交叉學(xué)科，如計量經(jīng)濟學(xué)、人口控制論、數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)、數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)等得了快速發(fā)展，在經(jīng)濟社會發(fā)展的各個領(lǐng)域正發(fā)揮著越來越重要的作用，同時也為數(shù)學(xué)建模的發(fā)展及應(yīng)用提供了無限的空間。因此，數(shù)學(xué)建模必將與其他學(xué)科相互滲透與融合，迎來快速發(fā)展的新時期。

目前，大學(xué)工科教學(xué)中普遍存在內(nèi)容多、學(xué)時少的情況，導(dǎo)致教學(xué)中重理論輕應(yīng)用，使學(xué)生對數(shù)學(xué)的重要性認(rèn)識不夠，使得很多學(xué)生在進入到專業(yè)課學(xué)習(xí)階段時，不能有效地理解與學(xué)習(xí)專業(yè)課程里的基本原理與數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程，以致其看到繁雜的數(shù)學(xué)公式而望而生畏，造成其理論水平停滯不前，為其以后的進一步學(xué)習(xí)、知識更新與創(chuàng)新能力的突破留下了極大隱患。而指導(dǎo)大學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競賽就是使大學(xué)生親自參加與體會社會、經(jīng)濟與生產(chǎn)實踐中經(jīng)過適當(dāng)簡化的實際數(shù)學(xué)問題，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，而且也使大學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力與力量，激發(fā)了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時也提高了他們運用數(shù)學(xué)方法進行分析、推演與計算的能力，為其后續(xù)的進一步學(xué)習(xí)打下了夯實的基礎(chǔ)。

三、大學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力差異化培養(yǎng)

《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020）》對高校人才培養(yǎng)工作明確指出：關(guān)心每個學(xué)生，促進每個學(xué)生主動地、生動活潑地發(fā)展，尊重教育規(guī)律和學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律，為每個學(xué)生提供適合的教育。所以，在大學(xué)生培養(yǎng)過程中，必須牢固樹立“以人為本與以學(xué)生為中心”的意識。實際上，人的思維與認(rèn)識世界的方式是多元的，人類至少擁有包括語言、數(shù)學(xué)、音樂、繪畫、運動等多種天賦秉性，每個人都有自己的優(yōu)勢潛能。大學(xué)如果能根據(jù)學(xué)生的個性差異及能力差異，遵循教育規(guī)律，根據(jù)大學(xué)生的學(xué)習(xí)需求及學(xué)習(xí)效果，設(shè)計出多元化的培養(yǎng)方案與教育模式，發(fā)掘出每個大學(xué)生的優(yōu)勢潛能，將極大地提高教育效率與人才培養(yǎng)質(zhì)量，真正做到人盡其才。大學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力差異化培養(yǎng)就是結(jié)合數(shù)學(xué)建模的特點，根據(jù)大學(xué)生個體的優(yōu)勢潛能，有針對性地對其開展多樣化的教育教學(xué)工作的一種教育模式，勢必打破千人一面的標(biāo)準(zhǔn)化、規(guī)?；逃Ｊ剑渥罱K目的是發(fā)掘大學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，培養(yǎng)大學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力，提高大學(xué)生分析問題與解決實際問題的能力以及實踐動手能力與科技創(chuàng)新能力。那么，該如何實現(xiàn)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力差異化培養(yǎng)呢？下面筆者主要從兩個方面展開論述。

1.以學(xué)生為中心，為其選擇合適的數(shù)學(xué)建模課程與授課教師，實現(xiàn)課程與教師的差異化。數(shù)學(xué)建模課程的差異化，就是以學(xué)生自身的素質(zhì)與能力等為基礎(chǔ)，根據(jù)學(xué)生的個性差異及能力差異設(shè)計數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)方案與評價標(biāo)準(zhǔn)的一種教學(xué)模式。該模式的優(yōu)點如下：在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程中，能夠最大限度地進行因材施教，提高數(shù)學(xué)建模的教學(xué)效率與教學(xué)質(zhì)量，最終促進數(shù)學(xué)建模人才培養(yǎng)質(zhì)量及學(xué)校辦學(xué)水平的整體提高。此外，教師是各種教育理念與培養(yǎng)方案的直接執(zhí)行者。執(zhí)行者的學(xué)術(shù)能力與個人素養(yǎng)決定了目標(biāo)實現(xiàn)的質(zhì)量差異。根據(jù)大學(xué)生差異化的專業(yè)背景與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，設(shè)定差異化的培養(yǎng)目標(biāo)與課程，并選擇與之相配套的教師隊伍。根據(jù)差異化教學(xué)的需要，就是把有意愿、有能力的教師組織起來，引導(dǎo)學(xué)生自發(fā)地從事數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)及開展創(chuàng)新實踐活動，以達(dá)到個性化、多元化數(shù)學(xué)建模的目的。

2.在數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生自身的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)能力以及學(xué)生的創(chuàng)新能力等方面的差異，制定出不同層次的教學(xué)任務(wù)，使大學(xué)生的潛力得到最大程度地提高，筆者主要是從以下幾方面著手：（1）學(xué)生分層。教師要對學(xué)生的學(xué)習(xí)情況十分了解，這樣教師就可以把學(xué)生進行一定的分層。例如，將班里的學(xué)生以4人為一組，每組要包括學(xué)習(xí)能力好、中、差的學(xué)生，或者由學(xué)生個人進行自行分組。之所以采取將學(xué)生分組進行數(shù)學(xué)建模教學(xué)，主要是因為學(xué)習(xí)的過程是一個對話交流、相互幫助與相互競爭的過程，采取分組教學(xué)的形式能更快、更好地激發(fā)大學(xué)生對數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)積極性。同時，這個分層是動態(tài)的，教師可以根據(jù)學(xué)生平時完成數(shù)學(xué)建模的任務(wù)情況進行實時調(diào)整。（2）任務(wù)分層。教師在實際的教學(xué)過程中，應(yīng)考慮到學(xué)生的個體差異，兼顧整體和弱、優(yōu)勢群體的發(fā)展。針對不同層次的學(xué)生，教師可以設(shè)置不同難度的任務(wù)，如基礎(chǔ)類、提高類和創(chuàng)新類，由學(xué)生個人根據(jù)其自身的能力與水平，自主選擇相應(yīng)的數(shù)學(xué)建模任務(wù)。（3）學(xué)生反饋。每次數(shù)學(xué)建模課結(jié)束前，教師要求學(xué)生提交一份數(shù)學(xué)建模報告。提交數(shù)學(xué)建模報告是教學(xué)過程中非常重要的一個環(huán)節(jié)，數(shù)學(xué)建模報告顯示了學(xué)生對任務(wù)的完成情況、對知識點和方法的學(xué)習(xí)情況等。教師要求學(xué)生下課之前提交數(shù)學(xué)建模報告，一方面提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的積極性，保證了數(shù)學(xué)建模報告的質(zhì)量；另一方面提高了學(xué)生課余時間參與數(shù)學(xué)建模課的熱情，沒有完成數(shù)學(xué)建模報告的學(xué)生，可以利用自習(xí)課等課余時間到實驗室繼續(xù)進行數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)。（4）教師分層解答。教師根據(jù)輔導(dǎo)過程中遇到的問題和學(xué)生在數(shù)學(xué)建模報告中提出的問題，進行分類歸納總結(jié)。對出現(xiàn)同樣或相似知識點疑問的學(xué)生，單獨召集學(xué)生進行講解；對有不同疑問的學(xué)生，教師要分別給他們進行講解。

四、數(shù)學(xué)建模模塊化教學(xué)實踐

數(shù)學(xué)建模需要依靠功能強大的Matlab與SAS等軟件來實現(xiàn)，因此學(xué)習(xí)自己設(shè)計程序與熟練應(yīng)用這些軟件對于提高大學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力具有十分重要的意義。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)建模軟件的教學(xué)，都是教學(xué)基本菜單和常用工具的使用，這種方法和使用環(huán)境相脫節(jié)，導(dǎo)致學(xué)生在具體實踐中，面對大量的菜單和工具，不知如何下手、如何運用，教學(xué)效果并不理想。如果追求大而全，要求學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模軟件所有的基本菜單和常用工具的使用方法，是不可能做到的。那么怎樣把這樣一個功能強大的數(shù)學(xué)建模軟件教給學(xué)生，并讓學(xué)生靈活應(yīng)用呢？筆者結(jié)合自己多年的教學(xué)實踐，提出了數(shù)學(xué)建模方法的模塊化與典型案例相結(jié)合的教學(xué)方法。

1.數(shù)學(xué)建模方法的模塊化。數(shù)學(xué)建模方法總體而言可以分為六大模塊：綜合評價、預(yù)測與預(yù)報、分類與判別、關(guān)聯(lián)與因果分析、優(yōu)化與控制、實驗設(shè)計。其中，綜合評價又可以分為三個小模塊：方案選擇、類別分析、排序。預(yù)測可分為三個小模塊：灰色系統(tǒng)、ARIMA時間序列分析、回歸預(yù)測；預(yù)報可分為三個小模塊：按樣本關(guān)聯(lián)性分類、按距離分類、按動態(tài)聚類分類。分類與判別可分為兩個小模塊：模糊識別與貝葉斯判別。關(guān)聯(lián)與因果分析可以分為三個小模塊：兩個變量的關(guān)聯(lián)性、一個對多個變量的關(guān)聯(lián)性、多個對多個變量的關(guān)聯(lián)性。優(yōu)化與控制則可以分為四個小模塊：線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、目標(biāo)規(guī)劃、網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化。實驗設(shè)計在方法方面則可以分為三個小模塊：方差分析、LOGISTIC回歸、正交設(shè)計。數(shù)學(xué)建模方法眾多，通過對數(shù)學(xué)建模方法的模塊化進行分類，有助于學(xué)生面對具體實際問題時，做到腦中有法、心中不亂，快捷地建立出數(shù)學(xué)模型并解決實際問題。

2.典型案例教學(xué)?？茖W(xué)實踐中的數(shù)學(xué)問題形形色色、無以窮盡。如何讓大學(xué)生在有限的學(xué)習(xí)時間內(nèi)，學(xué)好數(shù)學(xué)建模，為他們今后在科研實踐中用數(shù)學(xué)建模解決實際問題打下良好的基礎(chǔ)，這就對教師的數(shù)學(xué)建模教學(xué)方法提出了更高的要求。例如：假設(shè)某校基金得到了一筆數(shù)額為M=5000萬元的基金，打算將其存入銀行，校基金會計劃在5年內(nèi)每年用部分本息獎勵優(yōu)秀學(xué)生，要求每年的獎金額相同，且在5年末仍保留原基金數(shù)額，其中，收益比a=（本金+利息）/本金，銀行存款稅后年利息與各存款年限對應(yīng)的最優(yōu)收益比如表1與表2所示。

若將M分成5+1份，xi表示每年的份額，S表示每年用于獎勵優(yōu)秀學(xué)生的獎金額，ai表示第i年的最優(yōu)收益比，建立數(shù)學(xué)模型的過程如下：

max S，

s.t.a■x■=S，i=1，2，…，5■x■=Ma■x■=M

運用LINGO編程如下：

·MAX=S；

·1.018*x1=S；

·1.0432*x2=S；

·1.07776*x3=S；

·1.07776*1.018*x4=S；

·1.144*x5=S；

·1.144*x6=M；

·M=5000；

·x1+x2+x3+x4+x5+x6=M.

程序運行結(jié)果如下：

該例子充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的三大步驟：第一步，把實際問題通過一定的方法處理成數(shù)學(xué)問題；第二步，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)軟件，用計算機語言來解釋數(shù)學(xué)問題；第三步，結(jié)果分析，把整個數(shù)學(xué)建模的過程用實驗報告的形式闡述出來，即寫作過程。通過這個典型案例（基金的使用）的教學(xué)，有助于學(xué)生了解與認(rèn)識數(shù)學(xué)建模的基本步驟，為其后續(xù)數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)打下了夯實的基礎(chǔ)。古人云：“授人以魚，不如授人以漁”。在數(shù)學(xué)建模的教學(xué)過程中，針對某一個具體數(shù)學(xué)建模的案例，結(jié)合實際問題由現(xiàn)象的直觀描述到數(shù)學(xué)的抽象提煉，教師除了要講解數(shù)學(xué)概念和求解方法這些基本知識之外，還需要組織學(xué)生就該案例中使用的數(shù)學(xué)思想展開討論。同時，教師自身也需要有扎實的科研能力以及豐富的科研實踐，真正做到結(jié)合案例講基礎(chǔ)，依托基礎(chǔ)講應(yīng)用，使學(xué)生在實踐中認(rèn)識到數(shù)學(xué)建模的強大功能與魅力，在實踐中培養(yǎng)大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的興趣，充分調(diào)動學(xué)生與教師的主觀能動性，變滿堂灌為主動學(xué)，真正做到“教學(xué)相長”。

五、結(jié)語

采用數(shù)學(xué)建模方法的模塊化與典型案例相結(jié)合的教學(xué)方法，具有以下優(yōu)勢：通俗點講，類似于一個藥劑師拿著單子去拿藥，他可以很快地找到他所需要的藥。對于一個學(xué)生而言，遇到實際問題時，他可以找到最簡便與快捷的方法建立數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模方法的模塊化與典型案例相結(jié)合的教學(xué)方法就是如此，即通過將實際問題進行模塊化分類，并找到與之對應(yīng)的數(shù)學(xué)建模方法，從而達(dá)到迅速建立該問題的數(shù)學(xué)模型的效果。當(dāng)然，實際問題可能包含好幾個模塊，但是針對某一個具體模塊，學(xué)生可以很快地找到與之對應(yīng)的數(shù)學(xué)建模方法。因此，數(shù)學(xué)建模典型案例的教學(xué)可以使學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的過程，而數(shù)學(xué)建模方法的模塊化教學(xué)則可以減少學(xué)生迷惘的時間，提高解決實際問題的效率。

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Differential Culture of Mathematical Modeling Ability and Practice of Modular Teaching for Undergraduate

DAI Xiao-qin

（School of Computer Science & Software Engineering，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China）

Abstract：This paper introduced the characteristics and effects of mathematical modeling as well as the necessity and methods on the differential culture of mathematical modeling ability for undergraduate. Meanwhile，combining with author' own teaching practice，the teaching method of combining the modular of mathematical modeling methods with the typical cases of mathematical modeling was put forward in the paper. The teaching of the typical cases of mathematical modeling can help the undergraduate to understand the process of mathematical modeling，and the modular of mathematical modeling methods can help them to reduce the lost time and improve the efficiency of solving practical problems.

Key words：mathematical modeling；differential culture；modular teaching