摘要：本文通過(guò)兩節(jié)課的實(shí)錄，闡述了數(shù)學(xué)課堂教師應(yīng)該給學(xué)生足夠的思維空間、時(shí)間，讓學(xué)生的思維真正地動(dòng)起來(lái)，而不是教師“一言堂”，讓學(xué)生被動(dòng)地接受，久而久之，學(xué)生的思維僵化，思維得不到很好的訓(xùn)練.因此，要使教學(xué)達(dá)到有效，數(shù)學(xué)教師在課堂上應(yīng)以學(xué)生的思維訓(xùn)練為重，不進(jìn)行模式化教學(xué)，這樣才能達(dá)到最佳教學(xué)效果.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維能力；智力參與；有效教學(xué)

作者簡(jiǎn)介：程伶俐（1971-），女，安徽人，碩士，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事中學(xué)課堂教學(xué)研究.

經(jīng)過(guò)沸沸揚(yáng)揚(yáng)的數(shù)學(xué)課堂改革，數(shù)學(xué)課堂中“教師教得辛苦，學(xué)生學(xué)得痛苦”現(xiàn)象“有所”改觀，教師與學(xué)生的角色也發(fā)生了“一些”變化.但是，數(shù)學(xué)課堂仍然存在著一種普遍現(xiàn)象：老師講的多，學(xué)生聽的多；老師展示的多，學(xué)生看的多；老師自問(wèn)自答的多，學(xué)生隨聲附和的多；關(guān)鍵點(diǎn)、難點(diǎn)被老師直接點(diǎn)破的多，導(dǎo)致學(xué)生似懂非懂的多，這種現(xiàn)象產(chǎn)生的直接結(jié)果是：課堂上學(xué)生仿佛都能聽懂，課后自己真正會(huì)做的少.究其原因，課堂上沒(méi)有學(xué)生自己的智力參與，沒(méi)有學(xué)生自己的個(gè)人體驗(yàn)，學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的內(nèi)容缺少自己的思考與深刻的認(rèn)識(shí).這樣的教學(xué)是低效的，甚至是無(wú)效的、負(fù)效的.

課堂上有意擠占學(xué)生的思考空間和將學(xué)生的思維“模式化、標(biāo)準(zhǔn)化”，充分利用課堂向?qū)W生灌輸更多的“知識(shí)”，這樣的方式也許會(huì)有短期效應(yīng)，但久而久之會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生問(wèn)題解決的依賴心理，數(shù)學(xué)思維能力、解題能力難有實(shí)質(zhì)性的提高，不能真正達(dá)到對(duì)問(wèn)題理解的狀態(tài)，在考試中遇到熟悉的題型還可能有一個(gè)模式化的反應(yīng)，但遇到陌生的新情境問(wèn)題，無(wú)“型”可套時(shí)，就難以做到隨機(jī)應(yīng)變，只得“束手就擒”了.

如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂有效教學(xué)？關(guān)鍵是什么？筆者在此以一節(jié)習(xí)題課為例談?wù)勛约旱目捶?

這是一節(jié)高二的推理與證明習(xí)題課，它是在學(xué)生學(xué)完了“綜合法”、“分析法”、“反證法”之后的一節(jié)課.通過(guò)這個(gè)案例我闡明一個(gè)觀點(diǎn)：把課堂真真切切還給學(xué)生，是數(shù)學(xué)課堂有效教學(xué)的關(guān)鍵.

題目（選修2-2第91頁(yè)A組第4題）△ABC的三邊a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：B<π2.[1]

首先我要向大家展示的是我給上屆學(xué)生上課時(shí)的教學(xué)實(shí)錄.

師：該題直接證明不好證，那我們有什么方法呢？

生：反證法.

師：那應(yīng)該先假設(shè)什么呢？

生：假設(shè)B≥π2（少數(shù)學(xué)生講成了B>π2）.

師：那么能得到什么結(jié)論，推出什么矛盾？

此時(shí)課堂很安靜.我見狀就緊跟著繼續(xù)提示.

師：既然B≥π2了，說(shuō)明這三個(gè)角中哪個(gè)最大呀？

生：角B.

于是我在黑板上寫上B>A，B>C.

師（接著問(wèn)）：這樣能得到邊之間關(guān)系嗎？

生：b>a，b>c.

師：“我們由此進(jìn)一步得出1b<1a，1b<1c，于是2b<1a+1c”.

師：這與什么產(chǎn)生了矛盾呀？

生（一齊答道）：已知（2b=1a+1c）.

此時(shí)，我聽到學(xué)生中發(fā)出了驚嘆：好神奇呀！

我心中暗自竊喜.

但結(jié)果讓我沒(méi)有料到的事發(fā)生了：在接下來(lái)的測(cè)試中考到這題，卻很少有人答對(duì).我受到了打擊.

現(xiàn)在反思起來(lái)，覺得很正常.這是“灌輸”的典型例子，學(xué)生的思維完全由老師掌控，許多關(guān)鍵點(diǎn)、難點(diǎn)都是老師在自問(wèn)自答.學(xué)生自己分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力沒(méi)有機(jī)會(huì)得到發(fā)展，思維能力也得不到培養(yǎng)，學(xué)生的質(zhì)疑能力也大大降低，更談不上創(chuàng)新能力.老師這樣的教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生只能是欣賞，而自己卻沒(méi)有實(shí)踐的機(jī)會(huì)，沒(méi)有自己的個(gè)人體驗(yàn)，自己就沒(méi)有了成就感.在學(xué)生心目中就覺得你老師太能干了，我怎么就想不到呢？感慨自己的無(wú)能與愚鈍，長(zhǎng)此以往，學(xué)生將會(huì)失去自信心和斗志.請(qǐng)問(wèn)：這樣的教學(xué)能有效嗎？

冬去春來(lái)，新一屆學(xué)生來(lái)了，我要吸取教訓(xùn)，不妨裝得“呆”一點(diǎn)，準(zhǔn)備把我的“精辟分析、友好提示”放到學(xué)生的思考之后.于是，把課堂還給學(xué)生，先讓學(xué)生去唱主角，把學(xué)生推到解決問(wèn)題的前沿，讓學(xué)生自己去實(shí)踐.

結(jié)果，讓我始料未及的是學(xué)生竟然搞出了多種不同解法，剛剛學(xué)過(guò)的三種證明方法（綜合法、分析法、反證法）全部閃亮登場(chǎng)，課堂驚喜不斷，精彩紛呈！

課堂實(shí)錄如下：

師：大家思考得怎樣，誰(shuí)來(lái)談?wù)勛约旱慕夥?

生1（數(shù)學(xué)課代表首當(dāng)其沖）：我用的是綜合法.

∵a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，

∴2b=1a+1c，即b=2aca+c

∴a2+c2-b2= a2+c2-（2aca+c）2

=（a2+c2）（a+c）2+4a2c2（a+c）2

=（a2+c2）2+2ac（a2+c2）-4a2c2（a+c）2

=（a2-c2）2+2ac（a2+c2）（a+c）2>0.

即a2+c2-b2>0∴cosB=a2+c2-b22ac>0

∴B<π2 （因?yàn)锽為三角形內(nèi)角）.

我及時(shí)表?yè)P(yáng)了該生能用直接證明的方法解決了這個(gè)問(wèn)題，我說(shuō)我沒(méi)有預(yù)料到！然后和同學(xué)們一起分析該生利用轉(zhuǎn)化思想，通過(guò)余弦定理把角的大小轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，以及利用已知條件消元.表?yè)P(yáng)她配方的巧妙，及不怕麻煩，敢于挑戰(zhàn)復(fù)雜算式的勇氣！讓她嘗到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂(lè).

同時(shí)我也為當(dāng)年所講的“這題用直接證明不好證”這樣一句不負(fù)責(zé)任的話感到慚愧.

別的同學(xué)看到生1臉上滿意的笑容羨慕不已！

這時(shí)生2站了起來(lái).

生2：我用的是分析法.

由已知得b=2aca+c

∴b2=4a2c2a2+c2+2ac=41a2+1c2+2ac.①

要證： B<π2

只需證：cosB>0（在△ABC中）

只需證：a2+c2>b2

只需證： a2+c2>41a2+1c2+2ac.（把①式代入）

只需證：1+a2c2+2ac+c2a2+1+2ca>4

只需證： a2c2+2ac+c2a2+1+2ca>2②

而a2c2+c2a2≥2，2ac +2ca≥4（等號(hào)成立的條件都是a=c）故②式成立.

大家驚訝不已.該生同樣用了余弦定理及消元思想，特別是用到了基本不等式.

我及時(shí)說(shuō)：“你真肯動(dòng)腦筋！竟然基本不等式也用上了！這一點(diǎn)真難想到！也幫我們復(fù)習(xí)了一下基本不等式.”

生2高興極了！

這時(shí)課堂已有些沸騰，同學(xué)們感到無(wú)比興奮.其他同學(xué)也躍躍欲試！此時(shí)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)已不再是負(fù)擔(dān)，而是一種樂(lè)趣！作為教師，也完全沉浸在教學(xué)中，充分享受著工作帶給我們的快樂(lè)！

于是，我馬上趁熱打鐵，大聲說(shuō)：“有誰(shuí)還有更好的方法？”

這時(shí)生3突然驚喜地舉起了手（我想學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情已不知不覺被激發(fā)出來(lái)了）.

生3：我用的方法和他們都不同，用的是反證法.

由前面2b=1a+1c，∴2b=a+cac

∴2ac=ab+bc③

假設(shè)B≥π2，則cosB≤0∴a2+c2≤b2

而a2+c2≥2ac=ab+bc（把③式代入）

∴ab+bc≤b2∴a+c≤b（因?yàn)閎>0）

這與三角形三邊關(guān)系矛盾.

當(dāng)生3講完過(guò)了一會(huì)兒，教室里響起熱烈掌聲，真是太神奇了！多么巧妙的等量代換呀！余弦定理、不等式的傳遞性，三角形三邊關(guān)系在此聯(lián)系，輕松而簡(jiǎn)潔地拿下這道題！

略顯喧鬧的教室里，我突然發(fā)現(xiàn)一個(gè)平時(shí)有些內(nèi)向的學(xué)生靦腆地舉起了手，有點(diǎn)膽怯地說(shuō)：“我用的也是反證法，但產(chǎn)生的矛盾不同.”

我鼓勵(lì)他說(shuō)：“那你說(shuō)說(shuō)看.”

生4：∵a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，

∴1a≤1b≤1c或1a≥1b≥1c

∴a≥b≥c或a≤b≤c

∴A≥B≥C或A≤B≤C

假設(shè)B≥π2，

則A≥B≥π2，或C≥B≥π2，

顯然這與三角形內(nèi)角和定理矛盾.

我被他的解法也深深吸引了，還能深刻挖掘已知條件的內(nèi)涵，提煉出邊角關(guān)系！真是驚人之舉！學(xué)生早已被他的方法所折服！我大大表?yè)P(yáng)了這個(gè)膽小男生！

這時(shí)班上的數(shù)學(xué)王子按捺不住了，為了捍衛(wèi)他的地位，也舉起了手.

生5：2b =1a+1c，

2b=a+cac

2ac=b（a+c）≥2bac

ac≥b

ac≥b2

a2+c2-b2≥2ac-b2=ac+（ac-b2）>0

cosB>0

B<π2，（△ABC中）

巧妙的不等式用在了恰如其分之處，也算是捍衛(wèi)了他的“威望”！

此時(shí)下課鈴聲響起！

我看到了學(xué)生臉上的表情：驚嘆之余，有些不舍和遺憾！

我說(shuō)：若有更好的方法課后交流吧！就在我走出教室不久有人送來(lái)了我教給上屆學(xué)生的方法.

看來(lái)，我們老師要充分相信學(xué)生，教學(xué)中要多給學(xué)生一點(diǎn)自由思考的時(shí)間，教師不能只按照自己事先想好的思路來(lái)教學(xué)，否則就會(huì)限制學(xué)生的思維，強(qiáng)扭學(xué)生的思維，題目剛出來(lái)就先進(jìn)行提示或分析，那樣做會(huì)扼殺學(xué)生的自主思維能力，剝奪學(xué)生的自由創(chuàng)造空間.在學(xué)生還沒(méi)來(lái)得及思考的時(shí)候，老師硬是用自己固定的思路框定他們的頭腦，使他們服從于已有的模式，這對(duì)他們思維能力的形成是個(gè)不小的打擊.

葉瀾教授曾說(shuō)：“課堂是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的因素，而不是一切都必須遵循固定路線而沒(méi)有激情行程.”[2]把課堂還給學(xué)生，注意傾聽他們的聲音，點(diǎn)燃他們思維之火，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)才是有效的.

羅增儒教授也告誡我們“教學(xué)有沒(méi)有效，并不是指教師有沒(méi)有教完內(nèi)容、教得辛苦不辛苦，自我感覺良好不良好，而是指學(xué)生有沒(méi)有學(xué)到或?qū)W得好不好.學(xué)生有無(wú)知識(shí)進(jìn)步、有無(wú)素質(zhì)發(fā)展是教學(xué)有沒(méi)有效的根本指標(biāo).”[3]對(duì)此，不少教師有深刻體會(huì)，“評(píng)價(jià)一堂課是否高效，要看學(xué)生的認(rèn)知水平是否得到提升，是否會(huì)學(xué)習(xí)、會(huì)思考，而不能以講的題目多少、容量的大小來(lái)評(píng)價(jià).”[4]“教學(xué)效率不是取決于教師打算教給學(xué)生知識(shí)的多寡，而是取決于課堂教學(xué)中學(xué)生學(xué)習(xí)效率的高低.”[5]

所以，離開了學(xué)生的“自主活動(dòng)”、“智力參與”、“個(gè)人體驗(yàn)”就沒(méi)有真正的學(xué)習(xí)了.把課堂還給學(xué)生，引發(fā)學(xué)生積極思維，讓每位學(xué)生在數(shù)學(xué)思維的世界里自由地翱翔，向習(xí)題教學(xué)要效益，通過(guò)問(wèn)題解決，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，讓每位學(xué)生主動(dòng)、積極地參與教學(xué)，幫助學(xué)生建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才是數(shù)學(xué)課堂有效教學(xué)的關(guān)鍵.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉紹學(xué)主編普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)（選修2-2）[M]北京：人民教育出版社，2007

[2]林婷“有效生成”——未曾預(yù)約的精彩[J]數(shù)學(xué)通報(bào)，2011，（5）

[3]羅增儒教學(xué)效能的故事，高效課堂的特征[J]中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011，（1-2）

[4]楊志文高中數(shù)學(xué)高效課堂的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)[J]中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011，（12）

[5]關(guān)文晶等品一節(jié)高效率的數(shù)學(xué)課[J]中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010，（6）