易強　呂希元

摘 要 泰勒公式能將較復(fù)雜的函數(shù)近似轉(zhuǎn)化為簡單的多項式的處理，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識可以來求解未定式的極限、特殊形式的極限和利用它作函數(shù)的證明。

關(guān)鍵詞 泰勒公式 極限 導(dǎo)數(shù) 皮亞諾余項

中圖分類號：O17 文獻標(biāo)識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2017.03.021

1 定理

設(shè)在=0處存在+1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有：

=++2+…++（），

其中（）=，上式為函數(shù)在=0點處的關(guān)于的展開式，稱為泰勒公式，其中（）叫皮亞諾余項（Peano）。

證明：作輔助函數(shù)：

=2…，易知，在[0，]或者[，0]上是連續(xù)的，并且有：=，=0，=。

又引入一個輔助函數(shù)：（）=，利用柯西定理可得： = ，而應(yīng)在0到之間，則有：

=，=0，=（）

=，=0，=（）

將這些結(jié)論都代入到由柯西定理得到的等式中得：

=，又由于

==0，

∴（）=

2 常見的初等函數(shù)的泰勒公式

當(dāng)→0時，有：

（1）=1+++…++

（2）=+…++

（3）=1+…++

（4）（1+）=1+++…++

（5）1n+（1+）=+…++

利用如上的一些常用公式可以將一些較復(fù)雜的極限變得簡單易求。

3 利用泰勒公式求解未定式及特殊的極限

若在=0處存在階可導(dǎo)，且有帶皮亞諾余項的泰勒公式，即：

=++2+…++

當(dāng)有：=0時，且有：=+，=+，則有：

==（≠0）。

例1：求=

解：由于+1=，+1（1+24）+，

=（12）（1+2）+=2+

又因為，當(dāng)→0時，～，從而

==.

例2：求

解：當(dāng)時，由于1～～，又由1n（1+）=+，從而，

原式==。

利用泰勒公式還可以求解極限中的參數(shù)。

例3.確定常數(shù)，使：（）=0

解：因為=2= 2++€%^，其中€%^=0，所以=（2）（+）++€%^，由此可知，欲使：

（）=[（2）（+）++€%^]=0，

則有：=2，=。

由此易知，當(dāng)x→+∞時，曲線=以直線=2為斜漸近線。

4 利用泰勒公式證明函數(shù)或?qū)?shù)存在特殊點

有時要證某點滿足某等式時，常常利用泰勒公式，而所要找的點一般為式中的中間值點。

例4：已知在[a，b]滿足三次可導(dǎo)，試證：€HR∈（a，b），有：

=+（）+（）3·（）。

證明：將在=處展開成二階的泰勒公式，再分別取和代入得：

=+（）+（）2+

（）（）3

=+（）+（）2+

（）（）3

滿足，∈（，）從而可得：

=（）+[（）+（）]（）3，

由于[（）+（）]介于（）和（）之間，從而€HR∈（a，b），滿足

（）=，

故：=+（）+（）3（）。

例5.試確定，使極限存在，其中=++…+，≠0，為自然數(shù)。

解：令（）=+…+，則有：

==+（）+，其中：=0，由于存在，而

=

=（），

故有=0，所以=。

5 利用泰勒公式證明不等式

通過估計泰勒公式的余項來證明不等式，在近n年的考研數(shù)學(xué)中常有如下考點，已知有拉格朗日余項型的泰勒公式，例如三階的泰勒公式：

=++2+[+]3，其中∈（0，1）。當(dāng)對余項作適當(dāng)估計時就可得相應(yīng)不等式。

例6：已知在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)存在二階的導(dǎo)數(shù)，并設(shè)==0，且有=2，試證：€HR∈（1，1），使≤。

證：由==0，且=2可知存在最大值點，滿足∈（0，1），當(dāng)在此點展開可得：=+（）+（）2，其中∈（，）。將=0，=1及=2，且=0代入可得：=+（）+（）2，即：

0=2+a2，∈（0，1）。

同理有：=+（）+（）2，

則0=2+（）2，∈（0，1）。

當(dāng)0<<時，有=<；當(dāng)≤≤1時，=≤。綜上可得：∈（0，1），滿足≤。

利用泰勒公式建立了一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。

例7.若在[0，1]二階可微，且有||≤，||≤，，均為非負數(shù)，€HO∈（0，1），試證：||≤2a+。

證明：利用二階泰勒公式，€HO∈[0，1]，€HO∈（0，1），有：

=+（）+（）2，其中∈（），

當(dāng)時，得：=+（）+，∈（），

再令，得：=+（）+，∈（），將上面兩式相減得：

=（）+[]，

即：（）=[]，

從而：|（）|≤||+||+[||+||]≤2+[（1）2+]≤2+[1+]=2+。

所以，|（）|≤2+成立。

例8.已知在（，）內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且（）<0，試證：對于（，）內(nèi)的任意兩個不同的與，且滿足+=1，0<<1的兩個數(shù)和，均有>（）+（）。

證明：將在某點利用泰勒公式展開至=1得：

=+（）+（）2，其中∈（a，b），

當(dāng)=時代入得：=+（）+（）2，∈（，），當(dāng)令=時代入得：=+（）+（）2，∈（，），將第一式兩邊乘以，然后將第二式兩邊乘以再相加得：

（）+（）=+（+）+（）2+（）2， 令+=代入得：

（）+（）=（+）+[n（）]2+

[m（）]2，

又因為<0恒成立，從而（）+（）<成立。

6 小結(jié)

泰勒公式的作用非常巨大，應(yīng)用也相當(dāng)廣泛，本文只是從幾個方面介紹了泰勒公式的應(yīng)用，實際上，泰勒公式在作近似計算方面也是非常實用，而且計算精確度比較高。

參考文獻

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