李立新

【摘要】泰勒公式在高等數學解題方面應用較廣，有尋求等價無窮小量、求極限、不等式的證明、近似計算幾方面的應用.本文將就泰勒公式在高等數學解題中的應用展開探討，深入了解泰勒公式的內涵，體會其特殊的數學價值.

【關鍵詞】泰勒公式；高等數學解題；應用分析

泰勒公式把復雜函數轉變成簡單函數，涉及了函數增量，自變量增量，導數等微積分計算，充分體現了微積分“逼近法”思想，通過把非線性問題轉化成線性問題，簡略了計算過程且計算結果確保了一定的計算精度，具有極高的應用價值.

1.用泰勒公式求等價無窮小量

在高等數學課堂教學時，我們了解了無窮小量的概念，同時還會接觸等價無窮小量，同時還會了解等價無窮小量的運算公式，即當（x）～1（x），β（x）～β1（x），lim1（x）β1（x）存在時，則lim（x）β（x），同時lim（x）β（x）=lim1（x）β1（x）在實際習題演算過程中我們只能套用公式，沒法通過公式的使用來尋求無窮小量的等價無窮小量，等價無窮小量在實際的高等數學函數化簡過程中可以發(fā)揮著極大的作用，簡化我們的化簡任務.在下面的定理探討中我們就可以有所了解.

定理：當x=a時，f（x）存在無窮小量，此時f（x）的泰勒展開式如下所示：

尋求等價無窮小量，用泰勒展開式比較容易，通過舉例我們就可以發(fā)現.如：ex=1+x1！+x2！+o（x2），所以當x趨近于0時，ex-1等價于x.

如：sin（sinx）=sinx-sin3x3！+o（x4）=x-x33！+o（x4）-13！x-x3[]3！+o（x4）3+o（x4）=x-x33！+o（x4），所以sin（sinx）等價于x.

在上述的運算中極大地減少了函數代換次數，減少了函數復雜度.

2.用泰勒公式求極限

例如求極限lim6e-x2sinx-x（6-7x2）3ln1+x1-x-2x（3+x2），其中x→0.

在對此函數展開化簡時，我們需要先分析該函數的結構特點與傳統的化簡方法，如果使用洛必達法則，不僅使用次數增加，函數形式可能更加復雜，函數基點是x→0，這時就需要使用泰勒公式展開式.基點x→0，函數的余項是皮亞諾余項，

使用帶有皮亞諾余項的泰勒公式，函數階數展開原則是一階一階展開，逐階消去達到最簡.針對分子6e-x2sinx-x（6-7x2）展開分析，e-x2的泰勒展開式第一項是1，sinx的泰勒展開式第一項是x，所以6e-x2sinx泰勒展開式第一項是6x，與其后的-6x相消除，第二項展開式是-76x3，還需展開第三項方便計算.分母的展開過程相似，具體的解答過程如下：

3.用泰勒公式證明不等式

針對泰勒公式的第二大高數解題應用，以下面的習題展開實際演算過程，從其證明過程我們體會出泰勒公式在證明不等式的高效性與簡易性.

例如：證明x>0，x-x22

證明：當x>0時，根據泰勒公式，可以將ln（x+1）展開如下形式：

綜上得出結論：

結語 最符合實際生活的應用是用泰勒公式進行近似計算，它不僅計算簡單還保證了計算結果具有極高的精確度，但在實際應用中需要做好區(qū)分，并不是所有的近似計算函數估值都適用泰勒公式，泰勒公式的選擇需要控制好使用條件，限制條件中需要滿足函數需要具備n 階連續(xù)可微函數，并且階數越大函數的精確度越高，需要根據學習經驗進行選擇.