安徽省滁州中學(xué)(239000) 郭守靜 張曉建

多維思考引領(lǐng)教學(xué) 生態(tài)互動激活課堂
——以一道高考試題的教學(xué)運用為例

安徽省滁州中學(xué)(239000) 郭守靜 張曉建

2016年4月,筆者所在滁州市郭守靜中學(xué)數(shù)學(xué)名師工作室開展了高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中生態(tài)課堂的構(gòu)建研討會,并上了一節(jié)關(guān)于數(shù)列的專題復(fù)習(xí)課.本節(jié)課的設(shè)計理念與想法是“多維思考引領(lǐng)教學(xué),生態(tài)互動激活課堂”.在設(shè)計過程中,筆者以2014年安徽省高考數(shù)學(xué)理科試題第21題為教學(xué)內(nèi)容,引導(dǎo)學(xué)生“多維思考”,開展“生態(tài)互動”的教學(xué)活動.

真題再現(xiàn)(2014年安徽省高考數(shù)學(xué)理科第21題)設(shè)實數(shù)c＞0,整數(shù)p＞1,n∈N?.

(1)證明:當(dāng)x＞?1且x/=0時,(1+x)p＞1+px;

本題的第一小問實際上選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)選修4-5不等式選講》第四章第二節(jié)《用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式》的例3,也即貝努利不等式.高考試題的命制來源于課本的例題,這也要求我們在高三復(fù)習(xí)中應(yīng)回歸課本,逐本朔源.在教學(xué)過程中,我設(shè)計了問題串,促進學(xué)生學(xué)會合乎邏輯的思考,促使學(xué)生自然生成解題思路,多維度的分析問題,達到生態(tài)互動,激活課堂.

問題1 此不等式的證明如果把p看作變量,那么就是一個關(guān)于正整數(shù)的不等式,你能想到用什么方法證明呢?我們常用什么方法證明關(guān)于正整數(shù)的不等式呢?

學(xué)生1 數(shù)學(xué)歸納法,并順利完成證明.

解法1 (數(shù)學(xué)歸納法)

(1)當(dāng)p=2時,由x/=0得(1+x)2=1+2x+x2＞1+2x,不等式成立

(2)假設(shè)當(dāng)p=k(k≥2)時不等式成立,即有(1+x)k＞1+kx.當(dāng)p=k+1時,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k＞(1+x)(1+kx)=1+x+kx+kx2＞1+(k+1)x所以當(dāng)p=k+1時不等式成立.由(1)(2)可知,不等式成立.

問題3 問題即轉(zhuǎn)化為證明an＜1,那我們需要解決數(shù)列{an}什么方面的性質(zhì)呢?學(xué)生經(jīng)過思考得到需要研究{an}的單調(diào)性,由學(xué)生完成并展示解法2.

評析: 此處的設(shè)計目的和意圖是通過問題驅(qū)動帶動學(xué)生去復(fù)習(xí)鞏固知識,通過解決數(shù)列與不等式的基本方法數(shù)學(xué)歸納法和數(shù)列的單調(diào)性來解決問題,起到復(fù)習(xí)基本知識和基本技能的作用.

問題4 我們用數(shù)列的思想解決了本題,那么現(xiàn)在我們觀察發(fā)現(xiàn)(1+x)p(p＞1,p∈N?),這樣的結(jié)構(gòu)我們同學(xué)能夠想到你所學(xué)過的什么知識呢?

學(xué)生2:二項式定理

教師: 我們可不可以用二項式定理來證明這個不等式呢?由二項式定理可得:(1+x)p=1+px+C2px2+···+Cppxp.

教師:是否可以直接得到(1+x)p=1+px+C2px2+ ···+Cppxp＞1+px?

學(xué)生3: 不行,因為x的范圍有影響,可以考慮對分x＞0和?1＜x＜0兩種情況討論.學(xué)生考慮的非常好,由此給出下列解法.

解法3:當(dāng)x＞0時,用二項式定理來證明(1+x)p= 1+px+C2px2+···+xp＞1+px.

教師:當(dāng)?1＜x＜0時,怎么辦?

學(xué)生3:好像不能判斷符號,要不也用數(shù)學(xué)歸納法證明? (學(xué)生發(fā)現(xiàn)了問題,但沒有找到解決的辦法,于是又借助前面所學(xué)習(xí)的方法來解決這種情況)

問題5 當(dāng)?1＜x＜0,我們是可以用數(shù)學(xué)歸納法來補充證明,除了數(shù)學(xué)歸納法之外還有沒有其他的辦法?我們是把p看作變量,來解決問題的,是否可以把x看作變量來研究呢?如果把看作變量,則是一道函數(shù)與不等式的問題,我們用什么方法?(這里引導(dǎo)學(xué)生突破思維的障礙,變換角度,試圖通過函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的思想方法來解決本題)

學(xué)生4:導(dǎo)數(shù)

教師: 很好,那同學(xué)們思考一下,應(yīng)該構(gòu)造怎么樣的函數(shù)呢?

學(xué)生4:解法4:構(gòu)造函數(shù),記f(x)=(1+x)p?px?1(x＞ ?1),則f′(x)=p(1+x)p-1?p(x＞ ?1)結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)f(x)在(?1,0)上單減,在(0,+∞)上單增故f(x)在x=0處取得極小值即最小值f(0)=0,所以f(x)=(1+x)p?px?1≥0.又x＞?1且x/=0所以f(x)=(1+x)p?px?1＞0,原不等式成立.

學(xué)生3:解法3中,當(dāng)?1＜x＜0時,也可以用導(dǎo)數(shù)解決.

評析: 此處的設(shè)計目的和意圖是引導(dǎo)學(xué)生變換思考的角度,轉(zhuǎn)變變量,運用函數(shù)的思想來解決關(guān)于數(shù)列和不等式的問題,我們需要借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進而證明不等式.

教師:非常好,同學(xué)們已經(jīng)從數(shù)列的角度以及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的角度解決的問題,老師在這里還有其他的方法,同學(xué)們想不想知道?(學(xué)生很是驚奇,還有方法?)

現(xiàn)在我回歸本身,第一問實際上也是一個不等式證明,那我們可不可以用不等式的方法來解決問題呢?

給出引理1:xn?yn=(x?y)[xn-1+xn-2y+···+ xyn-2+yn-1]

教師:同學(xué)們可不可以結(jié)合上述等式對問題進行分解? (學(xué)生都躍躍欲試)

學(xué)生5:由xn?yn=(x?y)[xn-1+xn-2y+···+ xyn-2+yn-1],∴(1+x)p?1p=x[(1+x)p-1+(1+x)p-2+ ···+1]

教師:很好,請同學(xué)完成解答.

解法5結(jié)合xn?yn=(x?y)[xn-1+xn-2y+···+ xyn-2+yn-1]∴(1+x)p?1p=x[(1+x)p-1+(1+x)p-2+ ···+1].

當(dāng) x＞ 0時,(1+x)k≥ 1(k=0,1,···,p?1)∴x[(1+x)p-1+(1+x)p-2+···+1]＞px(p≥2)∴(1+x)p?1＞px=?(1+x)p＞1+px.

當(dāng)?1＜x＜0時有0＜(1+x)k＜1,∴(1+x)p-1+ (1+x)p-2+···+1＜p,∴x[(1+x)p-1+(1+x)p-2+···+1]＞px=?(1+x)p＞1+px.

教師: 我還有個方法,大家想不想知道?(此時的課堂,學(xué)生已經(jīng)完全投入到思考問題,解決問題中,按照我所設(shè)計的問題串,學(xué)生思維活躍,積極思考)教師給出證明方法:

評析:不等式的解決方法技巧性較強,教師在這里不是讓學(xué)生直接去用,二是給出引理,引導(dǎo)學(xué)生去試圖解決問題,在提醒的同時,也調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,在引導(dǎo)學(xué)生使用什么方法來解決問題的前提下,可以克服學(xué)生做題的盲目性.但由于技巧性太強,且超越了考試大綱,故在課堂教學(xué)中,教師最終展示了解答.

多維思考引領(lǐng)教學(xué),不僅能是學(xué)習(xí)者學(xué)會學(xué)習(xí),促進學(xué)生思維的多元化發(fā)展,同時也為學(xué)習(xí)者學(xué)會終身學(xué)習(xí)打下了夯實的基礎(chǔ).而以生態(tài)互動激活課堂的真實意義在于讓學(xué)生不再把學(xué)習(xí)看作是一件痛苦的事情,他們是課堂的主人,他們享受著學(xué)習(xí)所帶來的快樂,并同時樂于和別人去分享所學(xué),在活動中學(xué)習(xí),在問題中學(xué)習(xí),透過問題,感悟數(shù)學(xué)的真諦.

有效就看問題是否發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)概括能力,案例2和案例1最大的區(qū)別在于學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)歷,初步而又基本準(zhǔn)確的給出偶函數(shù)的定義,也就是抽象出了數(shù)學(xué)概念,當(dāng)數(shù)學(xué)概念被學(xué)生準(zhǔn)確抽象并合理表達出來后,學(xué)生就能更好地理解概念、命題、方法和體系,就能通過概念去認(rèn)識、理解、把握事物的數(shù)學(xué)本質(zhì),而這時“數(shù)學(xué)抽象”素養(yǎng)在“概念教學(xué)”中就自然而然的“落地生根”了,數(shù)學(xué)概括的過程也就是數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成過程,這不僅體現(xiàn)在《函數(shù)的奇偶性》的概念教學(xué).