廣東省中山市小欖中學(xué)(528415) 劉曉聰

基本不等式為例談數(shù)學(xué)中的題型歸納

廣東省中山市小欖中學(xué)(528415) 劉曉聰

日本教育家鈴木鎮(zhèn)一在他的教育理論中強(qiáng)調(diào)“重復(fù),重復(fù),再重復(fù)”,通過(guò)反復(fù)訓(xùn)練讓學(xué)生形成條件反射.這樣的方法優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單,缺點(diǎn)是效率偏低,而且容易遺忘.鈴木鎮(zhèn)一還強(qiáng)調(diào)記憶訓(xùn)練,他說(shuō)“記憶是一種極為寶貴的東西,有了記憶作基礎(chǔ),才有體驗(yàn),才有推理.”記憶高手們雖然在記憶方法上各有不同,但共同點(diǎn)是將零散的記憶內(nèi)容用特有的規(guī)律或方法串聯(lián)起來(lái).在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對(duì)某一知識(shí)點(diǎn)的歸納總結(jié),可以幫助我們更好地記憶和運(yùn)用,并且歸納總結(jié)最好是能由學(xué)生獨(dú)立完成.這就好比家里的東西如果是自己動(dòng)手分類整理的,就可以很快地找出自己想要的東西;但如果是其他人整理的,盡管很有條理,也不一定能很快找到自己想要的東西.下面我們準(zhǔn)備好一些抽屆,自已動(dòng)手給它們貼上標(biāo)簽,然后將我們遇到的題目逐一裝進(jìn)去.

下面以“基本不等式”這一節(jié)內(nèi)容為例說(shuō)明如何對(duì)常見題型歸納總結(jié).課本必修5基本不等式一節(jié)中有這樣一個(gè)例題.

例1:(1)用籬笆圍一個(gè)面積為100m2的矩形菜園,問這個(gè)矩形的長(zhǎng),寬各為多少時(shí),所用籬笆最短,最短的籬笆是多少?

(2)一段長(zhǎng)為36m2的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園,問這個(gè)矩形的長(zhǎng),寬各為多少時(shí),菜園的面積最大,最大面積是多少?

分析:設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為x m,寬為y m,(1)xy=100,求2(x+y)的最值,(2)中2(x+y)=36,x+y=18,求xy的最值.

這是基本不等式的兩種常見題型,可就由此歸納為兩種題型.

題型一、求和的最值,乘積為定值.

題型二、求乘積的最值,和為定值.

在近一步的練習(xí)中很快我們就發(fā)現(xiàn)不同于以上兩種類型的題目.

題型三:和為定值,求和的最值.

分析: 如果按照題型一、二的觀察方式,例2可看作是和是定值,求和的最值.很明顯不能直接使用基本不等式,需要另辟新徑.

解略.

題型四:變條件等式為不等式求最值.

例3:(2013浙江文)若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=1,則x+y的最大值是___.

分析:本題中,條件是和,結(jié)論也是和,但條件與結(jié)論沒有倒數(shù)關(guān)系,顯然不具備使用題型三方法的條件.

解略.

注:將條件中的等式運(yùn)用基本不等式變?yōu)椴坏仁?通過(guò)解不等式來(lái)找最值.

雖然,這里的解法和題型三有一定出入,不是求和的最值,但方法本身與題型三的解法是一致的.因此,我們可以將這種解法歸納到題型三.

在本章的所有練習(xí)結(jié)束后,基本不等式這一節(jié)共總結(jié)出以上四種題型.這里的總結(jié)不一定要全面,關(guān)鍵是需要學(xué)生在做題時(shí)自行去歸納訓(xùn)練.這樣反復(fù)的歸類,記憶會(huì)比較牢固,能很好地解決學(xué)生臨場(chǎng)忘題的毛病.特別對(duì)基礎(chǔ)一般的學(xué)生,也能體會(huì)到多題一解,一題多解的樂趣,提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.