●周杭敏
(蕭山區(qū)第六高級中學(xué) 浙江杭州 311261)
一道高考題引發(fā)的思考*
●周杭敏
(蕭山區(qū)第六高級中學(xué) 浙江杭州 311261)
在高中數(shù)學(xué)中,我們常見的是已知初始值,且函數(shù)f(x)或數(shù)列{an}滿足三階遞推式子,求當(dāng)x或者n取較大值時(shí)函數(shù)f(x)或數(shù)列{an}的值.解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是求出此時(shí)函數(shù)或數(shù)列的周期.平時(shí)解題中一般都是通過列舉法求出周期,這種方法運(yùn)算量較大,而且不太適用周期較大的函數(shù),因此一種較為簡單且利于學(xué)生計(jì)算的方法迫在眉睫.文章討論函數(shù)f(x)或數(shù)列{an}滿足三階遞推式子時(shí)求其周期性的一種新方法,并給出了最小正周期.
三階遞推;周期性;最小正周期
函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中有著舉足輕重的地位,也是高考壓軸題考查的重點(diǎn),周期性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì).而數(shù)列又是一種特殊的函數(shù),利用函數(shù)的思想方法類比函數(shù)的周期性解決周期數(shù)列的有關(guān)問題,實(shí)現(xiàn)函數(shù)思想方法的正遷移,有利于知識的構(gòu)建與重整.函數(shù)f(x)或周期數(shù)列{an}因其優(yōu)美的周期性常常受到高考和競賽的青睞.
題目 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足
求f(2 016)的值.
(2016年浙江省杭州市高三名校第1次模擬考試題)
分析 本題考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和函數(shù)周期性,以及歸納推理的能力.根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式,利用題中遞推式子推導(dǎo)得出“當(dāng)x>0時(shí)函數(shù)的周期”,再根據(jù)f(x)的周期性,求解f(2 016)的值.
解 對任意的x>0,由
f(x+6)=f(x+5)-f(x+4)=
f(x+4)-f(x+3)-f(x+4)=
-f(x+3)=-[f(x+2)-f(x+1)]=
-[f(x+1)-f(x)-f(x+1)]=f(x),得
f(x+6)=f(x),
即當(dāng)x>0時(shí),f(x)的周期為6.因此,
f(2 016)=f(336×6)=f(6)=f(5)-f(4)=
[f(4)-f(3)-f(4)]=-f(3)=
-[f(2)-f(1)]=
-[f(1)-f(0)-f(1)]=
f(0)=log21=0.
從上述解答中可以發(fā)現(xiàn):解決這道題的關(guān)鍵是求出當(dāng)x>0時(shí)函數(shù)的周期.由于該解法需要由遞推式子逐步地推導(dǎo)出函數(shù)的周期,運(yùn)算量較大,而且此解法不太適用于當(dāng)函數(shù)滿足某種遞推式子時(shí)周期比較大的情況.因此,筆者在上述解法之外探尋新的方法如下:
由f(x)=f(x-1)-f(x-2),得特征方程[1]
x2=x-1,
即
x2-x+1=0,
解得
圖1
f(x)=f(x+6).
從上述方法中可以看出,由f(x)=f(x-1)-f(x-2)可以推出f(x)的周期.在高中數(shù)學(xué)中,最常見的是已知函數(shù)或數(shù)列滿足三階的遞推式子,通過函數(shù)f(x)或數(shù)列{an}的周期性來求一些特殊的函數(shù)值或數(shù)列值,因此研究函數(shù)滿足遞推式子時(shí)的周期性很有必要.而解決此類問題的關(guān)鍵是函數(shù)f(x)或數(shù)列{an}滿足三階遞推式子時(shí),求函數(shù)f(x)或數(shù)列{an}的周期性.是否所有函數(shù)f(x)的三階遞推式子都可以求出周期呢?如果不是,那么函數(shù)f(x)滿足何種三階遞推式子時(shí),函數(shù)f(x)具有周期性?此時(shí)f(x)的周期是多少?是否具有最小正周期?
定理 若函數(shù)f(x)滿足三階遞推式子
f(x+2)=mf(x+1)+nf(x),
證明 不妨設(shè)一般的三階遞推式子為
f(x+2)=mf(x+1)+nf(x),
其中m,n∈R.由特征方程理論可知:f(x+2)=mf(x+1)+nf(x)的特征方程為
x2-mx-n=0.
1)當(dāng)Δ=m2+4n≥0時(shí),特征方程有2個(gè)實(shí)根,此時(shí)f(x)不具有周期性.
2)當(dāng)Δ=m2+4n<0時(shí),特征方程有2個(gè)復(fù)數(shù)根.設(shè)特征方程的復(fù)數(shù)根為x1,x2,且
又根據(jù)歐拉公式[1],得
x1=r(cosθ+isinθ)=reθi,
nθ=mθ+2kπ,其中k∈Z,
從而
因此,對任意的n,m,且n≠m,
即z1的正周期是
從而可知x1的正周期是
[1] 鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].3版.北京:高等教育出版社,2008.
[2] 朱長江.偏微分方程[M].武漢:華中師范大學(xué)出版社,2005.
2016-11-02;
2016-12-06
周杭敏(1992-),女,浙江杭州人,中學(xué)二級教師.研究方向:數(shù)學(xué)教育.
O12
A
1003-6407(2017)04-42-02