◎馬瑜優(yōu)

(湖南省長沙市第一中學(xué)高二16班，湖南 長沙 410005)

一類排列組合的解題技巧分析

◎馬瑜優(yōu)

(湖南省長沙市第一中學(xué)高二16班，湖南 長沙 410005)

排列組合是高中數(shù)學(xué)教材中非常重要的一個(gè)模塊，而由于具有較強(qiáng)的抽象性成為我們學(xué)習(xí)過程中的難點(diǎn)問題.同時(shí)，由于教師在講解一些相對(duì)復(fù)雜的排列組合題目時(shí)所使用的語言不夠精練，而我們自身的認(rèn)知能力和思維水平有限，則常常處于“云里霧里”的狀態(tài).我們?yōu)榱四軌蚋由钊氲貙W(xué)習(xí)排列組合這部分知識(shí)，并靈活應(yīng)用，便需要掌握正確的排列組合解題技巧.因此，深入探究一類排列組合問題的解題技巧具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義.本文具體分析一類排列組合問題的解題技巧，有利于全面提高自身的數(shù)學(xué)水平.

排列組合；解題技巧；分析

在我們學(xué)習(xí)排列組合的過程中，之所以無法深入理解，主要是因?yàn)榕帕薪M合這個(gè)模塊的問題具有較強(qiáng)的抽象性，所以我們?cè)诮鉀Q排列組合問題的時(shí)候可盡量轉(zhuǎn)換一下原題，以便將抽象的問題具體化，真正融入題目中，從而成為解決排列組合問題的決策者.只有這樣才能夠促使我們更加深入地學(xué)習(xí)排列組合的知識(shí)，充分發(fā)揮我們自身的學(xué)習(xí)主體意識(shí)和主動(dòng)性，真正從解決具體問題的過程中得到啟發(fā)，更加全面準(zhǔn)確地掌握排列組合的解題規(guī)律，達(dá)到以不變應(yīng)萬變的程度[1].當(dāng)然，我們?cè)诰唧w問題的解答過程中，應(yīng)該注意題目轉(zhuǎn)換的等價(jià)性和可操作性，掌握正確的解題技巧.

一、捆綁解題技巧

我們?cè)诮獯鹋帕薪M合問題的過程中，常常會(huì)遇到一些題目需要將幾個(gè)元素靈活地排列在一起的情況.針對(duì)這種題目，我們便可以采用捆綁的方法進(jìn)行解決.

例如，在初中學(xué)校組織學(xué)生進(jìn)行節(jié)目表演的隊(duì)伍排列中共有6名男生和5名女生，要求將所有的學(xué)生排成一列.但是，需要將5名女生排列在一起，總共有多少種排列方法呢？

二、采用特殊元素和特殊位置優(yōu)先技巧

我們常常在進(jìn)行排列組合問題的解答過程中，會(huì)遇到特殊位置和特殊元素的情況，針對(duì)這種問題便可以采取優(yōu)先解決這些特殊元素的問題.這樣便能夠讓這種特殊元素的問題簡單明了，從而更好地解決這種類型的問題.

例如，一道題中要求將0，1，3，4，5幾個(gè)數(shù)字組合成為沒有重復(fù)數(shù)字的奇數(shù).

根據(jù)這道題干的題意，我們便可以看出首位應(yīng)該不能為0，而末位數(shù)字又必須是奇數(shù)，所以我們?cè)谶M(jìn)行排列的過程中應(yīng)該優(yōu)先安排首末位置的數(shù)字；然后，再合理地安排其他位置的數(shù)字.這樣根據(jù)我們所學(xué)的知識(shí)內(nèi)容和分布計(jì)數(shù)原理便可以得出總共有288個(gè)無重復(fù)的五位數(shù)奇數(shù)[2].

三、重排問題求冪技巧

允許重復(fù)的情況也是我們解決排列組合問題中常常會(huì)遇到的一種情況.針對(duì)這種題目，我們?cè)诮獯鸬倪^程中可以將各個(gè)元素作為主要的研究對(duì)象，且不受到任何條件的約束，便可以直接將其排在多個(gè)不同的位置上.這樣在解答過程中有n個(gè)不同的元素便可以無任何限制條件地排在m個(gè)位置之上，通過計(jì)算得出總共有mn種排列方式[3].

例如，如果將6名音樂特長生直接安排到7個(gè)地方去學(xué)習(xí)，試問總共有多少種安排方法？

根據(jù)重排問題求冪技巧的要求，我們?cè)诮獯鹕鲜鲱}目的過程中則可以直接分為6個(gè)步驟進(jìn)行.第一名學(xué)生在安排的過程中共有7種方法；第二名學(xué)生在安排的過程中也有7種方法，依次安排，并根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理便可以直接得出共有76種安排方法.

四、排除技巧

在解答排列組合問題的過程中，排除法是最直接和最有效的一種解題技巧.我們常常會(huì)遇到一些看起非常復(fù)雜的題目，便可以直接轉(zhuǎn)換角度進(jìn)行分析思考，逐個(gè)排除，直到各個(gè)擊破.

例如，在一個(gè)盒子中共有1—20個(gè)編號(hào)的顏色、大小都相同的小球，然后，要求學(xué)生從盒子中隨機(jī)抽取4個(gè)小球，且每次基本抽中1—4中的一個(gè)，試問共有多少種抽取方法.

五、合理分類和分布技巧

在解答排列組合問題的過程中，針對(duì)一些有約束條件的問題，便可以根據(jù)元素的性質(zhì)進(jìn)行合理分類，或者根據(jù)一些事件所發(fā)生的順序過程進(jìn)行分步解答.但是，在解答問題的過程中，一旦確定采用分類標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，便需要將這種方法直接貫穿于整個(gè)題目的解答過程中[5].

例如，在一個(gè)學(xué)校開展聯(lián)歡晚會(huì)的過程中，總共有10名學(xué)生報(bào)名參加.在這10名學(xué)生中，有8名學(xué)生只會(huì)唱歌，有5名學(xué)生會(huì)跳舞，而在編排節(jié)目的過程中需要選出2個(gè)跳舞、2人唱歌的節(jié)目，試問共有多少種選擇方法.

(一)捆綁法

捆綁法主要是應(yīng)用于一些幾個(gè)需要排列在一起的元素組合過程中，也就是將一些必須緊挨著的元素直接合并成為一個(gè)新的元素，再將其與其他元素進(jìn)行重新排列組合.但是，在應(yīng)用捆綁法的過程中應(yīng)該注意將合并的幾個(gè)元素進(jìn)行內(nèi)部排列[7].

例如，有6名男隊(duì)員和3名女隊(duì)員想要組合成為一隊(duì)，但是明確要求將女隊(duì)員必須排列在一起，試問總共有多少種排列方法呢？

(二)插空法

在解決很多不能夠作為相鄰元素的排列組合問題過程中，則可以采用插空法進(jìn)行解決.首先，將一些不受任何限制條件的元素進(jìn)行排列組合；然后，再將受條件限制的元素進(jìn)行排列組合；最后，直接將一些受條件限制的元素直接插入排列好的不受限制條件的元素中[8].

例如，在一所學(xué)校組織集體去電影院看電影的過程中，有學(xué)生10人，老師6人.但是，在看電影的第一排共有16個(gè)座位，而要求這10名學(xué)生和6名老師必須坐在第一排，且老師和學(xué)生在坐的過程中不能夠讓老師相鄰，試問總共有多少種排列方法呢？

再例如，在一棟樓的樓梯總共有10級(jí)臺(tái)階，且規(guī)定在每步走的過程中應(yīng)該走1級(jí)或者2級(jí)，要求8步走完，這樣試問總共有多少種走法？

(三)插板法

針對(duì)一些非常抽象且難以解決的排列組合問題，我們便可以轉(zhuǎn)化自己常規(guī)的思考方法，使復(fù)雜問題簡單化.

例如，在一所學(xué)校的初二年級(jí)中，共有7個(gè)班級(jí)，而學(xué)校組織召開一個(gè)11人的討論會(huì)，并明確規(guī)定每個(gè)班級(jí)必須要求去1人，這樣試問總共有多少種安排方法呢？

(四)對(duì)等法

上述闡述的關(guān)于排列組合問題的解題技巧，并不是孤立存在的，而是相互聯(lián)系、相互作用的，所以，我們?cè)谟龅揭恍┐嬖陔y度問題的題目時(shí)，可以盡量使用多種解題方法進(jìn)行解答.

六、結(jié) 論

總而言之，我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，排列組合的問題并不是很難，主要是看我們是否打開了解題的思維.因此，我們需要根據(jù)不同的題目特點(diǎn)，采取不同的解題方法[9].通常來講，每一種題型都有突破口，只需要抓住突破口，再靈活運(yùn)用解題方法，便可以整理出解題思路，提高我們的數(shù)學(xué)水平.

[1]趙家林.排列組合在數(shù)學(xué)解題中的技巧探討[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014(03)：60-61.

[2]楊超.排列組合在高考中的常見題型及解題技巧[J].科技信息，2013(08)：369-370.

[3]尹愛國.高中數(shù)學(xué)排列組合解題技巧探究[J].高中數(shù)理化，2015(08)：3-4.

[4]閆西安.關(guān)于排列組合解題技巧的研究[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)(高中版)，2015(04)：52.

[5]郭衛(wèi)剛.談排列組合應(yīng)用題的解題技巧[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)(高考數(shù)學(xué))，2012(03)：27.

[6]謝桂蘭.高中數(shù)學(xué)排列組合解題技巧[J].語數(shù)外學(xué)習(xí)(數(shù)學(xué)教育)，2013(02)：55.

[7]江賽玭.淺談排列組合應(yīng)用題的解題技巧[J].讀與寫(教育教學(xué)刊)，2014(04)：56.

[8]郭榮琛.芻議高中數(shù)學(xué)排列組合解題技巧[J].中學(xué)生數(shù)理化(學(xué)習(xí)研究)，2016(10)：58.

[9]周玉梅.排列組合問題的解題技巧與策略[J].考試周刊，2016(81)：65.