◎黃德華

(廣東省惠州市華羅庚中學(xué)，廣東 惠州 516001)

函數(shù)與方程思想的培養(yǎng)

◎黃德華

(廣東省惠州市華羅庚中學(xué)，廣東 惠州 516001)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識點，方程思想其實是函數(shù)思想中的一種特殊表達形式，在學(xué)習(xí)函數(shù)的過程中，應(yīng)深刻理解、掌握函數(shù)和方程的思想，并善于運用函數(shù)和方程的思想解決一些實際問題，對于學(xué)習(xí)有重要的意義.筆者根據(jù)從教多年的經(jīng)驗，總結(jié)了高中數(shù)學(xué)函數(shù)與方程思想的培養(yǎng)策略.

函數(shù)；方程；轉(zhuǎn)化；應(yīng)用；策略

一、函數(shù)與方程思想的解釋

函數(shù)的思想，具體來說是利用集合和對應(yīng)思想，只關(guān)注數(shù)學(xué)特征，采用變化的觀念得出研究對象，采用函數(shù)特有的性質(zhì)對問題進行解釋并給出結(jié)果；所謂方程是指在充分聯(lián)系各種變量內(nèi)在關(guān)系的基礎(chǔ)上建立的等量式.函數(shù)和方程的思想二者相輔相成，通過共同作用，找出問題中內(nèi)在的數(shù)量的聯(lián)系，從變化、對應(yīng)、發(fā)展幾個方面研究數(shù)學(xué)問題，同時，也是研究運動和靜止之間等量關(guān)系的重要思想.

二、函數(shù)與方程思想的考查回顧與培養(yǎng)策略

對函數(shù)與方程思想的考查，是歷年高考的重點，而且考查力度在逐年增加，幾乎滲透高中數(shù)學(xué)的每一個模塊，每一個知識點.

(一)對函數(shù)與方程思想本源的考查

函數(shù)的有關(guān)概念及性質(zhì)與方程的有關(guān)理論是函數(shù)與方程思想的本源.在課標課程高考中，全方位、多層次地考查函數(shù)與方程的基礎(chǔ)知識和基本性質(zhì)，是每年的重點和熱點.

1.函數(shù)與方程性質(zhì)是函數(shù)與方程思想的核心內(nèi)容.

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值、方程的有關(guān)理論是函數(shù)與方程思想的核心內(nèi)容，它們往往形影不離，互為依托.

A.11 B.9 C.7 D.5

評析 本題在解題過程中用到了函數(shù)零點、對稱軸、函數(shù)圖像和單調(diào)性等知識點，是集數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、特殊與一般等思想于一體的好題，本題很好地體現(xiàn)了課標的核心，培養(yǎng)了學(xué)生函數(shù)的思想.

培養(yǎng)策略：加強函數(shù)與方程基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，提高學(xué)生的運算求解能力.

2.數(shù)形結(jié)合是運用函數(shù)與方程思想解題的直觀手段.

《課標》強調(diào)：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，重視圖形具有非常重要的意義，我們可以將函數(shù)圖像等同于函數(shù)的一種特殊的表示方式，這樣可以幫助學(xué)生學(xué)會思考，學(xué)會借用圖形來解決問題.

評析 本題考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上應(yīng)用了函數(shù)平移的相關(guān)知識，綜合考查函數(shù)解析式和函數(shù)圖像之間的對應(yīng)關(guān)系，運用了數(shù)形結(jié)合及函數(shù)與方程的思想.

培養(yǎng)策略：數(shù)形結(jié)合能幫助我們形成解題思路，簡化解題過程，培養(yǎng)學(xué)生識圖、作圖、用圖的能力，促成數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)與方程思想有機統(tǒng)一.

3.高等數(shù)學(xué)知識的滲透是函數(shù)與方程思想的內(nèi)在需求.

國家推行新課標的改革已經(jīng)有很長一段時間，對高考命題越來越側(cè)重各方面知識的相互結(jié)合和使用，也體現(xiàn)出《考綱》對高考試題的創(chuàng)新要求；另一方面，這類題目命題立意新、情境新、思維價值高，能很好地考查考生的閱讀理解能力、知識遷移能力、分析問題、解決問題的能力，以及進入高校學(xué)習(xí)的潛能，因此，這類考題成了高考試題中的一道亮麗的風(fēng)景線.

例3 (2016年全國卷理16)若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln(x+1)的切線，則b=________.

培養(yǎng)策略：導(dǎo)數(shù)是處理函數(shù)問題的利器，理解導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，強化運算能力，理解導(dǎo)數(shù)在函數(shù)與方程思想中的作用.

(二)以其他知識點為載體的函數(shù)與方程思想的考查

函數(shù)與方程思想研究的是變量與變量的依賴關(guān)系，因此，只要蘊含幾個變量之間函數(shù)關(guān)系的問題均會涉及函數(shù)與方程思想，它必然會跨越函數(shù)，也跨越方程，跨入不等式、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、實際問題等領(lǐng)域.

1.以不等式為載體

函數(shù)、方程與不等式之間是可以相互轉(zhuǎn)化的，y=f(x)，f(x)=0，f(x)>0彼此之間有內(nèi)在聯(lián)系.將函數(shù)思想與方程不等式結(jié)合在一起，可以實現(xiàn)不等式問題的有效解決.

例4 (2013年全國卷理21)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線y=4x+2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥2時，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍.

解析 第(1)問主要考查方程思想；第(2)問主要考查不等式恒成立問題，在解答不等式恒成立問題時，通過構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性并求出最值，把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.

培養(yǎng)策略：對含有參數(shù)的不等式恒成立問題或方程有解的問題，常用方法是分離參數(shù)，構(gòu)造新的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

2.以數(shù)列為載體

數(shù)列可以看作是一個定義域是正整數(shù)集或其有限子集的函數(shù)，等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式都是關(guān)于n的特殊函數(shù)，因此，許多數(shù)列問題是用函數(shù)的觀點去構(gòu)思的，要解決這類問題，需要學(xué)生用函數(shù)的觀點和研究方法去處理這類問題.

例5 (2013年全國卷 理16)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S10=0，S15=25，則nSn的最小值為________.

培養(yǎng)策略：把數(shù)列的基礎(chǔ)知識(如定義、通項公式、前n項和公式)與函數(shù)的基礎(chǔ)知識(如圖像和性質(zhì))有機地結(jié)合，是解決此類問題最有效的辦法.

3.以解析幾何為載體

解析幾何的基本思路，是把平面幾何問題用代數(shù)的方法解決，把平面幾何的問題通過直角坐標系轉(zhuǎn)化為數(shù)的運算，因此，函數(shù)與方程思想在其中有舉足輕重的地位.

A.b2>4acB.b2≥4acC.b2<4acD.b2≤4ac

評析 本題可以通過簡單的轉(zhuǎn)化，準確抓住數(shù)與式的特征，充分利用方程的思想解決問題，促進學(xué)生熟悉方程的思想；另外，本題還可以將b2和a，c之間建立函數(shù)關(guān)系，運用重要不等式求解，簡單快捷，本題充分培養(yǎng)了學(xué)生函數(shù)與方程的思想.

因此，不管以什么知識為載體，通常情況下，數(shù)集與數(shù)集、變量與變量的關(guān)系問題在考查時，會充分體現(xiàn)函數(shù)與方程的思想，它是跨考點、跨模塊、跨題型的.

三、函數(shù)與方程思想的考查展望

(一)注重本質(zhì)，強化基礎(chǔ)，依托主干，凸顯函數(shù)與方程思想

對于數(shù)學(xué)來說，函數(shù)是其永恒的主題，是學(xué)習(xí)方程的最基本思想.想要將函數(shù)學(xué)好，最為根本的辦法就是要學(xué)好導(dǎo)數(shù)，它是研究函數(shù)最為有效的路徑，是最得力的工具.正因如此，高考對學(xué)生的函數(shù)基礎(chǔ)知識進行了全方位的考查，并在此基礎(chǔ)上將函數(shù)同其他數(shù)學(xué)知識進行了結(jié)合，產(chǎn)生了很多的新題型.這些題型的出現(xiàn)，一方面，幫助學(xué)生提升了學(xué)習(xí)成績，另一方面，也使學(xué)生將所學(xué)知識應(yīng)用到具體的實踐當中去.因此，函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識的交匯是考查函數(shù)與方程思想的必然選擇.

(二)注重應(yīng)用，回歸生活，超越生活，凸顯函數(shù)與方程思想

《課標》中提出“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識”.因此，數(shù)學(xué)高考“堅持數(shù)學(xué)應(yīng)用，考查應(yīng)用意識”.函數(shù)應(yīng)用性問題貼近生活，而解決這類問題所涉及的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想和方法都是《考綱》中要求掌握的主干知識和主要思想方法.特別地，以函數(shù)與方程的思想為指導(dǎo)構(gòu)建函數(shù)模型，可以充分考查學(xué)生推理論證能力、抽象概括能力、運算求解能力和應(yīng)用意識.因此，將函數(shù)同學(xué)生實際生活相結(jié)合來出題是考查函數(shù)與方程思想的重要選擇.

總而言之，函數(shù)與方程思想的學(xué)習(xí)，對學(xué)生來說至關(guān)重要.因此，作為一線教師，要注重學(xué)生運用函數(shù)和方程思想解決問題意識的培養(yǎng)，提升學(xué)生解決問題的能力.