高益蘭

摘要：習(xí)題教學(xué)是高三復(fù)習(xí)課的重要形式，學(xué)生的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)離不開解題，數(shù)學(xué)解題與錯誤如影隨形。本文筆者結(jié)合自身的高三教學(xué)實踐，歸納整理了學(xué)生日常作業(yè)與模擬考試解題中易犯的高頻錯誤，并對各種錯誤成因進(jìn)行分類剖析，“感觸問題，追尋錯誤的根源，學(xué)會正確而永恒的表達(dá)結(jié)果”給出針對性的教學(xué)對策以期能幫助學(xué)生在解題中減少失誤，提高數(shù)學(xué)解題能力，進(jìn)而使高三解題教學(xué)更加高效給力。

關(guān)鍵詞：感觸；追尋；表達(dá)

G633.6

一、課題的提出

解題教學(xué)占據(jù)了高三數(shù)學(xué)教學(xué)的大部分時間，學(xué)好數(shù)學(xué)離不開解題，學(xué)生通過解題可以加深對概念的理解，優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，提高自身分析和解決問題的能力。

現(xiàn)象一：上課聽得懂，作業(yè)不會做。

現(xiàn)象二：難的做對，簡單的反而失分。

現(xiàn)象三：老師反復(fù)講，學(xué)生照樣錯。

現(xiàn)象四：老師講的津津有味，學(xué)生無動于衷。

……

“人非圣賢，孰能無過”，但為什么會一錯再錯呢？用一個心理學(xué)上的名詞來說，叫做“動力定型”。所謂“動力定型”，就是大腦皮層對刺激的定型系統(tǒng)所形成的反應(yīng)定型系統(tǒng)。簡單的說，就是先入為主和習(xí)慣成自然的效應(yīng)。錯誤的概念、習(xí)慣和方法搶先刺激了學(xué)生的大腦皮層，刻下了深刻的印象。具體來說，“一錯再錯”大致有以下幾種原因：

1.學(xué)生層面

（1）知識性錯誤。（2）習(xí)慣性錯誤，習(xí)慣成自然。（3）思維性錯誤。

2.教師層面

（1）沒有全面了解學(xué)生具體的錯誤情況。（2）教師講，學(xué)生看，學(xué)生再模仿老師的解題過程進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練。這樣的教學(xué)過程缺乏數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中本應(yīng)該經(jīng)歷的直覺、想象、類比、概括表達(dá)等一系列思維過程，這樣講解習(xí)題學(xué)生能聽懂，但是缺乏真正的啟發(fā)，學(xué)生難以體會理解題中所蘊(yùn)含的真正的思想方法，沒有經(jīng)歷將知識化歸的心理過程，所以會出現(xiàn)“一錯再錯”也在所難免。

二、“一錯再錯”現(xiàn)象的策略研究

不同的錯題類型產(chǎn)生的原因迥然不同，其解決的策略也各異，方法也有別。如果不加以區(qū)別對待的話，是不可能做到輕松學(xué)習(xí)，更談不上學(xué)會學(xué)習(xí)和享受學(xué)習(xí)了。要根據(jù)錯誤的原因運(yùn)用相應(yīng)的對策，對癥下藥才能不斷收獲進(jìn)步的果實。以下是相關(guān)策略的初步應(yīng)用。

（一）感觸錯題的根源，撥云見日

1.正本清源，暴露學(xué)生思維受困過程

學(xué)生易犯錯的第一大原因是“認(rèn)知結(jié)構(gòu)不足”。在高三第一輪復(fù)習(xí)中，學(xué)生雖然對教材的內(nèi)容都已學(xué)過，但所學(xué)知識只是零零星星、模模糊糊的，沒有形成一個良好的知識體系，而且對數(shù)學(xué)概念、定理、公式及一些常用的方法的理解、掌握僅停留在表面層次，不能舉一反三、靈活運(yùn)用，更不能對知識進(jìn)行有效的遷移等等。

【案例1】：已知等差數(shù)列{}與{}的前項和分別為Sn和Tn，且，求

通過實物投影，兩位學(xué)生的解答：

甲的解法是：等差數(shù)列{an}與{bn}的前項和分別為Sn和Tn，

乙的解法是：

全班同學(xué)滿臉困惑地盯著投影。

師問：一道題目，兩個答案！孰是孰非？

丙（發(fā)現(xiàn)）說：我認(rèn)為甲的解法絕對正確，乙的解法覺得有問題。

師問：那么問題在哪里呢？

通過學(xué)生共同討論，反復(fù)推敲，

丙（再次起立）說：我發(fā)現(xiàn)這樣的設(shè)法有問題。

，這種設(shè)法雖然保證了條件的成立，但等差數(shù)列的前項和Sn不是的n一次函數(shù)，而是n的二次函數(shù)，即這樣設(shè)法就錯誤了。

錯誤的原因找到了，學(xué)生十分激動。但我沒有就此罷休，一個強(qiáng)烈的念頭迫使我沿著學(xué)生的思路繼續(xù)下去。

師問：既然Sn是n的二次函數(shù)，那么把上面的設(shè)法改一下如何？

丁說：

師說：結(jié)果完全正確！是巧合嗎？那么可以在課后對一般情況加以驗證，證明這個方法是正確的。那么能否這樣？

戊毫不猶豫的說：這樣設(shè)絕對有問題，因為中常數(shù)項為零。所以只能設(shè)常數(shù)項為零的二次形式。

師說：對呀！我們的學(xué)習(xí)就應(yīng)該看到本質(zhì)特征，那么一個問題可滲透一連串的知識。達(dá)到事半功倍的效果，我們應(yīng)該有積極探索的精神。

對于已經(jīng)出現(xiàn)的知識性錯誤，需要點(diǎn)面結(jié)合，在應(yīng)對“一錯再錯”的同時，實現(xiàn)錯題效用最大化。事物是普遍聯(lián)系的，錯題的形成也許并非一個孤立現(xiàn)象，錯題涉及的知識本身只是一個“點(diǎn)”，但這個點(diǎn)上的錯誤，很有可能是由于學(xué)生對于整塊知識的掌握偏差所導(dǎo)致的。因此，在學(xué)生自主分析整體錯題的同時，教師也應(yīng)當(dāng)深究學(xué)生錯題的知識點(diǎn)分布以及之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生從錯誤點(diǎn)出發(fā)，形成對一個或若干知識塊的掌握與體系構(gòu)建，尋找導(dǎo)致錯誤的更加廣泛的原因，在普遍聯(lián)系中避免“一錯再錯”情況的發(fā)生。

2.研究錯題，以問題驅(qū)動讓學(xué)生從根源上徹底解決原有的知識性錯誤。

“問題驅(qū)動”，就是教師把問題作為學(xué)生學(xué)習(xí)的動力源，讓學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)的欲望，全心投入解決問題的活動中.教師在設(shè)置具體的問題情境時，需要注意的是把握好問題設(shè)置的難度和梯度，一定要在學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)設(shè)置問題，應(yīng)遵循以下原則：一是低起點(diǎn)原則.問題起于知識原點(diǎn)、背景材料、學(xué)生的認(rèn)知障礙、自然現(xiàn)象等。二是邏輯鏈原則。設(shè)置的問題應(yīng)構(gòu)成一條邏輯線索，根據(jù)知識層次設(shè)置問題或根據(jù)方法設(shè)置問題，即知識線和方法線，問題之間必須存在邏輯聯(lián)系，是一個邏輯鏈.三是梯度小原則.筆者比喻為盤山公路式，起點(diǎn)低、坡度小、路程長、目標(biāo)達(dá)成度高.當(dāng)然在教學(xué)過程中，如果學(xué)生能提出問題（生成性問題），那是更好更高的境界。

【案例2】問題1：函數(shù)的零點(diǎn)是__________；

生1：（2，0）（馬上有學(xué)生爭論：不對，應(yīng)該是2）

師：到底是（2，0）還是2呢？（教師沒有立刻給予評價，而是指導(dǎo)學(xué)生回憶零點(diǎn)概念等有關(guān)知識）

總結(jié)梳理：函數(shù)零點(diǎn)概念：對于函數(shù)，把使方程的實數(shù)x稱為函數(shù)的零點(diǎn).實際上函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實數(shù)根，也是函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).即：

方程有實數(shù)根函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)

變式1：若函數(shù)有一個零點(diǎn)3，那么函數(shù)的零點(diǎn)是___

變式2：函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為________.

本問題的設(shè)計目的與意圖是通過問題驅(qū)動帶動學(xué)生去復(fù)習(xí)鞏固知識，通過總結(jié)梳理零點(diǎn)的概念，函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)、方程有實數(shù)根之間的等價關(guān)系，并通過友情提醒的方式，讓學(xué)生明白“零點(diǎn)不是點(diǎn)，而是一個數(shù)”。應(yīng)該說問題設(shè)計的起點(diǎn)非常低，通過問題變式的設(shè)計，難度逐漸提升，很好地將函數(shù)與方程的思想滲透在問題解決之中。

教學(xué)過程中學(xué)生在教師的問題鏈引導(dǎo)下總結(jié)提煉解決函數(shù)零點(diǎn)問題常用的三種方法，即（1）解方程法；（2）零點(diǎn)存在性定理法；（3）圖象法.取得了很好的效果。

3.重視數(shù)學(xué)閱讀，提高有效審題能力

數(shù)學(xué)是一種語言，由于其高度抽象，符號眾多，成了學(xué)生解題時的障礙，“閱讀能力”實際上是一種搜索、整理、提煉信息的能力。很多學(xué)生對這類題往往無從下手。本人嘗試指導(dǎo)學(xué)生“整體把握文本內(nèi)容，理清思路，劃出重點(diǎn)語句，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號語言”來進(jìn)行閱讀，達(dá)到了較好的效果。

因?qū)忣}不清而導(dǎo)致出錯的情況舉不勝舉，那么學(xué)生應(yīng)當(dāng)怎么應(yīng)付這種低級錯誤呢？筆者認(rèn)為應(yīng)當(dāng)從以下四方面入手

（1）審題型

為什么要審題型？實際問題是各種各樣、千差萬別。但可以對其進(jìn)行分門別類，歸納為有限的問題模型后再進(jìn)行解題，從這個角度上說，題型決定了出題的方向、解題的方法，也

就決定了我們緊接下來的其他審題步驟。

【實例1】

其實對題型的判斷不僅是審題中的重要環(huán)節(jié)，它還是一個對解題模式的識別和應(yīng)用過程。這就需要解題者一方面具有豐富的信息貯存；另一方面又善于在通曉基本題型的基礎(chǔ)上以靈活、流暢的思維去解決千百萬化的各種問題，尋找到最合理、最恰當(dāng)?shù)慕忸}方法。

（2）審文字

審文字除了逐字逐句認(rèn)真閱讀題目外，還必須把你現(xiàn)在碰到的題目與以前的題目相聯(lián)系。注意題目中文字有沒有增多或減少，尤其在題目中出現(xiàn)一些看起來本不應(yīng)該在生物題目中出

現(xiàn)的修飾語時，更應(yīng)該引起你充分的警覺，因為這些修飾語往往很可能是解題的關(guān)鍵所在。

【實例2】求過曲線點(diǎn)（1，-1）的切線方程

學(xué)生的錯解：

錯解分析：過曲線上的點(diǎn)（1，-1）的切線方程與切線的切點(diǎn)可能是（1，-1），也可能不是（1，-1），本題錯誤的原因就是把（1，-1）當(dāng)成了切點(diǎn)。這里的“過”與“在”一字之差，但意義完全不同。

（3）審方法

同樣一道題目，解題方法可能會有很多，這時不要以為隨便給出一種方法就可以了。其

實，方法的好壞不僅決定了解題速度的快慢，在有些情況下，解題方法很可能影響到學(xué)生的

成績。

【實例3】

顯然，思路1做不下去，思路2計算繁瑣，思路3事半功倍。

（4）審全程

一般認(rèn)為，審題是解題的首要步驟，是正確解題的前提。事實上，應(yīng)該把審題貫穿于解

題過程的始終，與解題“同生共長”。尤其碰到難題時，這種解題方法尤為重要。

（二）經(jīng)歷追尋錯誤的過程

對于教學(xué)過程中學(xué)生偶然出現(xiàn)的此類錯誤，不能一帶而過，教師需要指出、引導(dǎo)、探究、糾正，讓這些課堂生成的教學(xué)情境發(fā)揮作用。解決“一錯再錯”中的思維偏差，就必須在錯題探究中強(qiáng)化思維方法引導(dǎo)。對于錯題，學(xué)生不僅要“知其然”，而且要“知其所以然”，不僅要從知識層面“知其所以然“，還要從思維模式方法上有所反思和改進(jìn)。

1.以錯題本的形式將錯題整理成冊

這種做法可謂一舉兩得，一方面讓學(xué)生對此類錯誤產(chǎn)生“預(yù)警”，另一方面讓以往的錯題成為今天的教學(xué)資源。

對此，我們可以采用“日減一誤”的方式，一次考試或者訓(xùn)練后，讓學(xué)生總結(jié)，在這次考試中有多少題目是因為不良的審題習(xí)慣，粗枝大葉導(dǎo)致的。例如，這次考試共十處此類錯誤，那么下一次考試計劃減少到八次，通過這種方法，讓學(xué)生有計劃地消滅錯題，看到自己每天的進(jìn)步，循序漸進(jìn)地改變審題習(xí)慣。

2.編制《憶往昔崢嶸錯題》的練習(xí)卷，開設(shè)《敢問錯在何方》的活動課

在學(xué)生整理的同時，教師也應(yīng)當(dāng)整理出一個“錯題題庫”，并定期采用“題庫”中的題目進(jìn)行“錯題再練”，以實現(xiàn)良好審題素養(yǎng)的培養(yǎng)。錯題再練的試卷在編制過程中應(yīng)當(dāng)有所混合，即保證大部分都是“錯題再練”的情況下，混入一些普通題目；對錯題本身不應(yīng)照搬照抄，對題干題枝，材料問題可以適當(dāng)?shù)刈鲆恍﹦?chuàng)新和調(diào)整，以防止學(xué)生對錯題進(jìn)行機(jī)械記憶?！板e題題庫”應(yīng)當(dāng)豐富多樣，可以是選擇題，可以是判斷題，也可以是改錯題。題庫也應(yīng)當(dāng)經(jīng)常更新，使得題庫能夠有序流動。

在高三大量的復(fù)習(xí)課背后，如果能定期的開展一節(jié)以《敢問錯在何方》為主題的課堂，一方面糾正了錯誤，另一方面加深了學(xué)生對錯題的印象，更加強(qiáng)化了師生、生生之間的互動和情感。

（三）合作與探究，形成正確表達(dá)方式

教育家羅杰斯說過：“凡是教師能夠講述的，能夠傳授的知識，多半是死的，凝固的，無用的知識；只有學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、探究的知識，才是活的，有用的知識。”思維是具有高度抽象性的意識活動，很多情況下只可意會不可言傳，對于這種類型的錯誤，單純依靠教師的講解分析是蒼白無力的，教師應(yīng)當(dāng)在充分表達(dá)自己的解題思路的同時，鼓勵學(xué)生自主探究，形成屬于學(xué)生自己的正確合理，且個性化的思維方式。

1.學(xué)生自我剖析錯題，重視學(xué)生心理素質(zhì)的培養(yǎng)

波利亞提出的數(shù)學(xué)教學(xué)的三原則之首是主動學(xué)習(xí)原則，弗賴登達(dá)爾也認(rèn)為學(xué)校的教學(xué)必須使學(xué)生由被動地聽發(fā)展到主動地獲取知識.讓學(xué)生說題，本質(zhì)上是對老師說題活動的模仿，就是把審題、分析、解答和回顧總結(jié)的思維過程按一定準(zhǔn)則說出來，促使學(xué)生暴露面對題目的思維過程，通過老師引導(dǎo)，同學(xué)相互補(bǔ)充，去偽存真，系統(tǒng)地把握解題過程。

案例：已知平面向量滿足，則的取值范圍是_________ .

生甲：①知識點(diǎn)：此題主要涉及向量模的概念及其運(yùn)算.

②切入點(diǎn)：本題的關(guān)鍵是如何將條件進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化，使等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等量關(guān)系.本題條件為等量關(guān)系，而要求的結(jié)論是不等量關(guān)系即的取值范圍，一般可以通過“與的不等關(guān)系”、“向量的幾何表示”、“模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算”、“向量的坐標(biāo)表示”等途徑將兩者聯(lián)系在一起.

③解題思路：

方法1（不等式法）：根據(jù)三角不等式可得，即.

方法2（幾何法）：當(dāng)不共線時，可構(gòu)成如圖三角形，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，可得，所以.

方法3：兩邊平方得，整理得，解得.

方法4：記，，則.以所在直線為軸，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則可求得點(diǎn)的軌跡方程為，則的取值范圍.

④溯源：從本題的方法4可以看出本題源自阿波羅尼斯圓（筆者曾經(jīng)作過專題復(fù)習(xí)，所以學(xué)生經(jīng)過自己深入分析能找到題目的本源），即三角形一邊為定值，另兩邊的比值為定值的動點(diǎn)軌跡

⑤延伸：

結(jié)論的延伸：（2008江蘇）滿足條件的三角形面積的最大值是 ___________.

題設(shè)的推廣：（2010浙江）已知平面向量滿足，且與的夾角為120°，則的取值范圍是 ___________.

由于說題的技能涉及到程序性知識，所以，開始時教師要多通過自己的說題來示范，否則，學(xué)生可能會感到無從下手；要明確要求每一位同學(xué)在說題之前有自己的想法，要在說題之前有充分的準(zhǔn)備；所說的題目以中等難度或稍微偏難一點(diǎn)的，不能太難，太難則沒有思路，不能太容易，太容易則沒有挑戰(zhàn)性；說題訓(xùn)練要有專門的時間安排，并且要長期堅持，比如每兩個星期選一節(jié)自修課進(jìn)行訓(xùn)練；說題的重點(diǎn)在于對學(xué)習(xí)過程中對思維活動的檢查和調(diào)節(jié)，要反思自己是怎樣發(fā)現(xiàn)和解決問題的，要立足于反思數(shù)學(xué)問題解決過程的3個階段：解題目標(biāo)的認(rèn)定與計劃的擬定、解題中的實際控制、解題后的反思；通過一段時間的說題，可以進(jìn)行測驗以檢驗說題效果，讓同學(xué)們看到效果會激發(fā)同學(xué)以更大的熱情投入到這一訓(xùn)練活動中。

2.課堂例題教學(xué)中，形成有效的反思示范

反思是為了把從反思過程中所獲得的感性認(rèn)識悟化到理性認(rèn)識的過程，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，洞察本質(zhì)。這個過程對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，理解數(shù)學(xué)具有特殊的重要性，但這恰恰又是學(xué)生感到比較困難的地方。因此，如何進(jìn)行反思，如何從反思中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這些都需要教師在課堂教學(xué)中進(jìn)行示范、點(diǎn)撥。比如我在對高三學(xué)生進(jìn)行三角恒等變形教學(xué)過程中，師生一起進(jìn)行了如下的解題反思：

案例、求值：

解：原式==

==.

反思解題過程 這個題目的特點(diǎn)有：

（1）三角名稱中既有正弦，又有正切，所以應(yīng)減少函數(shù)種類，方法是“切化弦”，這是求解這類題的通法。

（2）在化簡的第二步，分子中出現(xiàn)了同一個角的正弦與余弦的和，可考慮應(yīng)用來進(jìn)行化簡。

（3）同一個角的正弦與余弦的積利用了二倍角公式來化簡。

通過這個反思，學(xué)生基本上能理解這個題目的實質(zhì)，類似情境下的問題學(xué)生能輕易解決了。當(dāng)然這個反思過程需要教師在課堂中與學(xué)生一起探索，學(xué)生才能掌握并逐步形成反思性學(xué)習(xí)習(xí)慣。

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