段杉杉

(東莞市第六高級(jí)中學(xué) 廣東 東莞 523420)

談電磁學(xué)中的“場(chǎng)”和“路”

段杉杉

(東莞市第六高級(jí)中學(xué) 廣東 東莞 523420)

“場(chǎng)”和“路”是電磁學(xué)中的兩個(gè)基本內(nèi)容，它們?cè)谖锢韮?nèi)容上有著內(nèi)在的聯(lián)系，而在研究方法上又有所區(qū)別．由此簡(jiǎn)要回顧對(duì)電磁場(chǎng)和電路問題的基本認(rèn)識(shí)；給出電磁場(chǎng)物理量與電路物理量的對(duì)應(yīng)關(guān)系；從電荷守恒和電磁場(chǎng)方程出發(fā)，推導(dǎo)出直交流電路均適用的基爾霍夫第一、第二方程式，指出直流電路的基爾霍夫方程式只是其中的特例．

電磁場(chǎng) 電路 基爾霍夫方程 似穩(wěn)條件

1 電磁場(chǎng)和電路概述

電磁場(chǎng)是物質(zhì)存在的一種形式，“場(chǎng)”這種物質(zhì)與實(shí)物一樣具有能量、質(zhì)量和動(dòng)量，它的傳播具有一定的速度．在研究場(chǎng)的物理性質(zhì)時(shí)，由于場(chǎng)是空間的點(diǎn)函數(shù)，故我們關(guān)心的是場(chǎng)中各點(diǎn)的物理過程以及電磁能量在空間的分布，描寫電磁場(chǎng)的基本物理量便相應(yīng)地成為空間矢量點(diǎn)函數(shù)．

在電場(chǎng)中，用一個(gè)矢量點(diǎn)函數(shù)E

(1)

來描寫電場(chǎng)在該點(diǎn)的性質(zhì)，稱為電場(chǎng)強(qiáng)度．

在磁場(chǎng)中用磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小

(2)

來反映該點(diǎn)磁場(chǎng)的強(qiáng)弱，B的方向恰好使運(yùn)動(dòng)的正點(diǎn)電荷在該點(diǎn)的受力F與矢量(v×B)同方向．

為了便于描述有介質(zhì)時(shí)的電磁場(chǎng)，引入電位移矢量D和磁場(chǎng)矢量H，定義式為

D=ε0E+P

(3)

(4)

其中P為極化強(qiáng)度，M為磁化強(qiáng)度．E和B為描述電磁場(chǎng)的基本物理量，D和H為相應(yīng)的輔助物理量．

1819年以前，人們沒有認(rèn)識(shí)到電現(xiàn)象與磁現(xiàn)象的相互聯(lián)系．隨著電磁學(xué)的發(fā)展，人們逐漸發(fā)現(xiàn)了變化的電場(chǎng)與變化的磁場(chǎng)間的聯(lián)系．麥克斯韋在前人實(shí)踐和認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上對(duì)電磁現(xiàn)象做了系統(tǒng)研究和總結(jié)，創(chuàng)建了宏觀電磁場(chǎng)理論，得出麥克斯韋電磁場(chǎng)方程組．

在電路問題中，是用電路模型和電路的物理量來描述一個(gè)系統(tǒng)的電磁過程的，這些物理量有電流i，電壓u，電荷量q，磁通ψ等．常見的電路模型由電阻、電感、電容等無源元件和電壓源、電流源等有源元件聯(lián)結(jié)而成．對(duì)于一定的電路結(jié)構(gòu)和電路參數(shù)求出電路中各物理量，則物理系統(tǒng)中的能量變化與轉(zhuǎn)換、信號(hào)的傳輸與再現(xiàn)等狀況都會(huì)得到解決．故運(yùn)用電路方程是解決電路問題的基本方法．

根據(jù)電磁場(chǎng)的觀點(diǎn)，電路中能量的儲(chǔ)藏、損耗與轉(zhuǎn)換是通過電磁場(chǎng)在空間各點(diǎn)進(jìn)行的，故，可以說電磁場(chǎng)的研究方法是比較一般地對(duì)物理過程進(jìn)行全面描述的方法，而電路的研究方法則有其局限性．將二者比較可以看出，場(chǎng)的特點(diǎn)在于逐點(diǎn)地考察電磁場(chǎng)系統(tǒng)中所發(fā)生的物理過程，而在電路中，其參數(shù)概括了一部分介質(zhì)的電磁特性，表征電路性質(zhì)的物理量是一個(gè)區(qū)域中場(chǎng)量表現(xiàn)的總和．例如，電流強(qiáng)度是一塊面積上電流密度的面積分；電壓是一段路徑上電場(chǎng)強(qiáng)度的線積分，等等．說明場(chǎng)量描述的是一般情況，而“路”的問題是“場(chǎng)”的一種特殊情形．

2 電磁場(chǎng)物理量與電路物理量的關(guān)系

前面談到，在物理內(nèi)容上，電磁場(chǎng)與電路間有著內(nèi)在的聯(lián)系，而在研究電磁過程的方法上則有所不同．電磁場(chǎng)物理量描述場(chǎng)的一般過程，而電路物理量描述電路中場(chǎng)的特殊形式，體現(xiàn)著場(chǎng)量表現(xiàn)的總和．在一定意義上說，場(chǎng)和路是一般與特殊的關(guān)系，微分量與積分量的關(guān)系．下面表1中，給出場(chǎng)的概念常用物理量和路的概念常用物理量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．

表1 路量與場(chǎng)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系

從表1可以看出：

(1)電路的物理量都可用場(chǎng)的物理量的空間坐標(biāo)積分來表示．反之，場(chǎng)的物理量也可以用電路物理量的空間坐標(biāo)的微商來表示，即“路”量是積分量，“場(chǎng)”量是微分量．前者與較大的空間尺度相關(guān)；后者則描述空間各場(chǎng)點(diǎn)的電磁性質(zhì)．

(2)電路(以及磁路)的物理量既然可由場(chǎng)量來定義，那么，電路(以及磁路)的規(guī)律也一定可以由電磁場(chǎng)的規(guī)律推導(dǎo)出來．

3 從場(chǎng)方程到路方程

3.1 基爾霍夫第一方程式

圖1所示的一般電路中，包含變化電源e及電阻R，電感L，電容C各純?cè)?/p>

圖1 一般電路圖

作一閉合曲面A′包圍節(jié)點(diǎn)1，非穩(wěn)恒情況下，對(duì)A′曲面，由電荷守恒定律

(5)

式中j為A′面內(nèi)導(dǎo)線上的傳導(dǎo)電流密度(非高頻場(chǎng)中，可略去導(dǎo)線中的位移電流)，dA′為A′面上的面元，上式左邊的積分等于流出節(jié)點(diǎn)1的傳導(dǎo)電流之和，即

∮A′j·dA′=∑im

(6)

(7)

式(5)可寫為

∑im=-∑id

(8)

令

∑i=∑im+∑id

(9)

得到

∑i=0

(10)

式(10)稱為基爾霍夫第一方程式(第一定律)，又稱為節(jié)電電流方程．∑i是節(jié)點(diǎn)1處流出的傳導(dǎo)電流與流出的位移電流的總代數(shù)和，即全電流．式(10)表明，在電路(直流或交流)的任一節(jié)點(diǎn)處，傳導(dǎo)電流和位移電流的總代數(shù)和為零，或說全電流的代數(shù)和為零．

以圖1所示電路為例，從A′面或節(jié)點(diǎn)1處流出的傳導(dǎo)電流代數(shù)和為

∑im=ie+iR+iL+iC

此式右側(cè)各項(xiàng)分別是通過電源、電阻、電感、電容各支路的瞬時(shí)電流．令流出節(jié)點(diǎn)的電流流向?yàn)檎?，id為節(jié)點(diǎn)1處流過分布電容的瞬時(shí)位移電流，于是式(10)的具體形式為

∑i=ie+iR+iL+iC+id=0

在頻率很低或直流電情形，id可忽略或?yàn)榱悖?/p>

以上運(yùn)用電荷守恒定律，在非穩(wěn)恒電路的一般情況下，推導(dǎo)出直流電路的基爾霍夫第一方程式．對(duì)于直流電路的特殊情況，因?yàn)殡娐分袥]有電感、電容元件，且無位移電流．故基爾霍夫第一方程式(10)的形式更為簡(jiǎn)單．在電磁學(xué)中，導(dǎo)直流電路的基爾霍夫第一方程式時(shí)，是從電荷守恒定律的特殊形式，即電流的穩(wěn)恒條件

∮A′j·dA′=0

(11)

出發(fā)，而導(dǎo)出在電路任一節(jié)點(diǎn)處直流電流強(qiáng)度的代數(shù)和為零，即

∑I=0

(12)

顯然，它只是(10)式的特例．

3.2 基爾霍夫第二方程式

圖2所示為一個(gè)任意閉合電路，包含有電源e，電阻R，電感L和電容C．在電磁學(xué)中，對(duì)直流電路基爾霍夫第二方程式(第二定律)是從穩(wěn)恒電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)環(huán)路定理∮lE·dl=0出發(fā)而推導(dǎo)出來的．這里對(duì)閉合回路l，運(yùn)用麥克斯韋方程組中的電場(chǎng)環(huán)流方程，即

(13)

圖2 任意閉合電路圖

式中l(wèi)為閉合電路的幾何路徑，A為l所圍得面積，B是包括l在內(nèi)的回路面積處的磁感應(yīng)強(qiáng)度．

在有非靜電力的區(qū)域，歐姆定律的微分形式為

j=σ(E+E非)

(14)

電源內(nèi)部的電場(chǎng)強(qiáng)度

(15)

對(duì)電源外部的導(dǎo)線和電阻中，電場(chǎng)強(qiáng)度為

(16)

由式(13)左邊

(17)

上式右端第一項(xiàng)是閉合電路中除電容器兩極之間以外其他各段上的電勢(shì)降落，第二項(xiàng)是電容器兩端的電勢(shì)降落，第三項(xiàng)為電源的電動(dòng)勢(shì)，即

(18)

(19)

(20)

式中l(wèi)′為回路l中除電容兩極板間之外其他各段路徑．則式(17)變?yōu)?/p>

∮lE·dl=iR總+uc-ε0

(21)

對(duì)式(13)右邊，按磁感應(yīng)強(qiáng)度B及磁通變化率的含義，其應(yīng)等于回路上自感電動(dòng)勢(shì)與互感電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和，即

(22)

其中L′是除電路內(nèi)的電感L外的寄生電感．因?yàn)殡娐窐?gòu)成的回路包圍一定的面積，并在其中產(chǎn)生磁通，故總會(huì)產(chǎn)生一定的寄生電感．用LΣ=L+L′表示該回電路的總電感，用∑ε=ε0+εM表示回路的總電動(dòng)勢(shì)，即電源電動(dòng)勢(shì)加互感電動(dòng)勢(shì)(這里未包括自感電動(dòng)勢(shì)，它將以電勢(shì)降落的形式在下面式子中出現(xiàn))．綜合式(13)、(21)、(22)得

即

(23)

該式表明，任意一個(gè)閉合回路中，電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和等于電阻、電感、電容上電勢(shì)降落的代數(shù)和．用∑u表示回路的電勢(shì)降落代數(shù)和，式(23)可寫成更一般的形式，即

∑ε=∑u

(24)

這就是直流電路的基爾霍夫第二方程(第二定律)，又稱回路電壓方程．

對(duì)于穩(wěn)恒(直流)電路，B和i不隨時(shí)間變化，且沒有電容C，于是式(23)簡(jiǎn)化為

ε0=iR總

(25)

∑ε=∑U

(26)

它表明，在任一直流電路中，各電源的電動(dòng)勢(shì)代數(shù)和等于各電阻上電勢(shì)降落的代數(shù)和，這正是直流電路的基爾霍夫第二方程式，它只是式(24)的特例．

直流電路的基爾霍夫第一、第二方程式，可以分別從電流的穩(wěn)恒條件和穩(wěn)恒電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)環(huán)路定理導(dǎo)出，顯然這兩個(gè)方程式只適用于穩(wěn)恒電流和穩(wěn)恒電場(chǎng)的情形．而交流的基爾霍夫方程式的成立條件則要求電路滿足似穩(wěn)條件，即所討論電路的尺寸遠(yuǎn)小于電路激發(fā)的電磁波的波長(zhǎng)，l?λ．在這個(gè)范圍內(nèi)，可以認(rèn)為電磁場(chǎng)變化足夠緩慢，允許忽略電磁波的傳播時(shí)間，以致在電路的尺寸范圍內(nèi)，認(rèn)為不存在因傳播過程而造成的位相差．例如，不論在電路的任何地方，其交流電流i，交流電壓u，交變電動(dòng)勢(shì)ε，可以忽略它們之間的位相差，前面基爾霍夫第二方程的式(23)便是在此條件下推導(dǎo)出來的．對(duì)于迅變電磁場(chǎng)和高頻電路中，顯然已不滿足似穩(wěn)條件，上述的基爾霍夫第一、二方程式不再適用．

4 結(jié)論

電磁學(xué)中的場(chǎng)和路聯(lián)系十分密切，場(chǎng)的特點(diǎn)在于逐點(diǎn)地考察電磁場(chǎng)系統(tǒng)中所發(fā)生的物理過程，而電路的參量是一定區(qū)域中場(chǎng)量表現(xiàn)的總和，電路的過程是電磁場(chǎng)在特定邊界條件下的表現(xiàn)．描述電磁場(chǎng)的物理量和描述電路的物理量有著微分和積分的關(guān)系．運(yùn)用電荷守恒定律和麥克斯韋方程組中的電場(chǎng)環(huán)流方程推導(dǎo)出交直流電的基爾霍夫第一、二方程式，它們將電磁學(xué)中直流電的基爾霍夫第一、二方程式作為特例概括于其中．

1 梁燦彬,秦克戎，梁竹鍵．電磁學(xué)．北京：高等教育出版社，1980.234～244，633～636

2 趙凱華,陳熙謀．電磁學(xué)(第二版)．北京：高等教育出版社，1985.290～296

3 胡友秋,程福臻．電磁學(xué)(第一版)．北京：高等教育出版社，1994.175～185，324～334

4 (美)J·D·克勞斯．電磁學(xué)．安紹萱，譯．北京：人民郵政出版社，1979.224～225，364～375

5 大學(xué)物理編輯部．大學(xué)物理(電磁學(xué)專輯)．北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社，1988.262～264

6 賈起民,鄭永令．電磁學(xué)(上冊(cè))．上海：復(fù)旦大學(xué)出版社.1987.317～323

7 馮茲璋．電磁場(chǎng)．北京：人民教育出版社.1980.450～452

8 郭碩鴻．電動(dòng)力學(xué)．北京：高等教育出版社.1979.19～22

9 R.P.Winch.Electricity and Magnetism.Prentice-Hall，Inc，1955.19～23，226～228

Talkingaboutonthe“Field”and“Road”ofElectromagnetism

DuanShanshan

(DongguangNO.6SeniorHighSchool,Dongguan,Guandong523420)

Electromagnetic fields and electric circuits are two basic concepts in electromagnetics. They share an internal connection in physical meaning, while differ in research method. This paper mainly reviews the basic knowledge of electromagnetic fields and electric circuits. Additionally, the corresponding relationship between physical quantities of the two concepts is provided. Based on the conservation of charge and the electromagnetic field, the Kirchhoff first and second equations which can be applied to Direct AC circuit are deducted. The Kirchhoff equation is just an exception in the DC circuit.

electromagnetic fields;electric circuits;kirchhoff equation;quasi steady state

2016-11-23)