馮世豪

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的“空間與圖形”領(lǐng)域非常重視培養(yǎng)學(xué)生主動參與、積極思維、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力，提倡學(xué)生在操作中感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識的形成與發(fā)展. 數(shù)學(xué)課上的折紙是學(xué)習(xí)意義上的折紙，是一種特殊的學(xué)習(xí)活動，能夠?yàn)閷W(xué)生營造一個(gè)手腦并用的學(xué)習(xí)環(huán)境，同時(shí)在折紙過程中能夠激發(fā)學(xué)生非認(rèn)知因素的培養(yǎng)，并且在積極主動的操作中提升思考和獲得發(fā)展.

探究“角平分線的性質(zhì)”的教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 教材分析

之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了角平分線的概念以及三角形全等，角平分線的性質(zhì)則是全等三角形知識的延續(xù). 同時(shí)，此節(jié)內(nèi)容為之后學(xué)習(xí)角平分線的判定以及圓作鋪墊. 因此，本節(jié)內(nèi)容起到了承上啟下的作用.

2. 學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)基本掌握角平分線的概念以及三角形全等的判定，具備了一定的觀察、操作、猜想能力，但歸納與運(yùn)用數(shù)學(xué)意識的思想、思維的靈活性還比較欠缺.

3. 教學(xué)目標(biāo)分析

知識與技能：掌握角平分線性質(zhì)的內(nèi)容；理解并掌握角平分線性質(zhì)的推導(dǎo)過程及折疊方法；能夠運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題.

過程與方法：通過對角平分線性質(zhì)的探究，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和動手操作能力.

情感態(tài)度與價(jià)值觀：在折疊和計(jì)算的過程中體驗(yàn)獲得成功的樂趣.

4. 重難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：角平分線的折疊方法及性質(zhì)的發(fā)現(xiàn).

難點(diǎn)：角平分線性質(zhì)的證明.

5. 教學(xué)方法

合作式探究

6. 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

【創(chuàng)設(shè)情境，引入新課】

活動一——

師：請同學(xué)們拿出一張A4紙，在四個(gè)頂點(diǎn)處標(biāo)記A，B，C，D，過頂點(diǎn)B任意折一條直線BE，沿BE將三角形ABE剪下（圖1）. 觀察剩下的梯形，我們不使用任何工具，請同學(xué)們探索怎樣將∠EBC分成兩個(gè)相等的角.

學(xué)生行為：通過折疊探索、發(fā)現(xiàn)，只要將BE與BC對折重合即可，如圖2.

設(shè)計(jì)意圖 直角具有特殊性，我們選取一般角來探索角平分線的折疊方法.

師：通過折疊我們得到了一條折痕BF，同學(xué)們思考一下折痕BF與∠EBC有什么樣的關(guān)系.

學(xué)生行為：折痕BF是∠EBC的角平分線.

師：為什么呢？

學(xué)生行為：根據(jù)角平分線的定義可知.

設(shè)計(jì)意圖 通過折紙問題引入，復(fù)習(xí)角平分線的定義，同時(shí)為接下來探索角平分線的性質(zhì)作鋪墊.

【新課探究】

活動二——

師：我們繼續(xù)折疊. 在剛才折疊的基礎(chǔ)上（在折疊狀態(tài)，未展開），將BC自身重合對折（點(diǎn)B與點(diǎn)C重合），觀察折疊后的展開圖，你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生行為：學(xué)生與教師一起討論并總結(jié).

師：我們通過探索歸納發(fā)現(xiàn)：紙上又多了兩條折痕，設(shè)為GH和GI（如圖3），兩條折痕相交于點(diǎn)G，并且點(diǎn)G在角平分線BF上；觀察折痕與邊的關(guān)系，我們得到GI⊥BC，GH⊥BE；觀察兩條折痕，我們可以發(fā)現(xiàn)GI=GH.

設(shè)計(jì)意圖 創(chuàng)設(shè)情境，探索、發(fā)現(xiàn)角平分線的性質(zhì).

師：也就是說，角平分線上的這個(gè)點(diǎn)G到兩邊的距離相等. 那我們猜想，是不是角平分線上任意一點(diǎn)到兩邊的距離都相等呢？同學(xué)們在BF上再取一點(diǎn)試試看.

學(xué)生行為：通過再次折疊證明猜想的正確性.

設(shè)計(jì)意圖 通過折紙及作圖過程，由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)結(jié)論. 教師要有足夠的耐心，要為學(xué)生的思考留有時(shí)間和空間.

師：我們通過折紙?zhí)剿靼l(fā)現(xiàn)，角平分線上任意一點(diǎn)到角兩邊的距離相等. 那么，能夠運(yùn)用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明來驗(yàn)證我們的猜想GI=GH嗎？有誰愿意來挑戰(zhàn)一下？

學(xué)生行為：有學(xué)生能夠想到，于是邀請這部分學(xué)生說出已知和求證，并講一講證明方法.

教師和學(xué)生一起來書寫. 已知：在四邊形EBCD中，BF是∠EBC的平分線，點(diǎn)G在BF上，且GI⊥BC，GH⊥BE，垂足分別為I，H，求證：GI=GH.

學(xué)生活動：學(xué)生根據(jù)教師的分析，寫出規(guī)范的證明過程.

師：我們一起來總結(jié)并給出證明幾何命題的一般步驟，即（1）明確命題中的已知和求證；（2）根據(jù)題意畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證；（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.

設(shè)計(jì)意圖 通過和學(xué)生一起推理證明，在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象概括能力和數(shù)學(xué)探究精神.

【練習(xí)鞏固】

如圖4，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.

設(shè)計(jì)意圖 通過學(xué)生對角平分線知識進(jìn)行獨(dú)立練習(xí)，自我評價(jià)學(xué)習(xí)效果，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，解決知識盲點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力.

【課堂小結(jié)】

我們都知道哲學(xué)上有三大終極問題：“你是誰？”“你從哪里來？”“你要到哪里去？”對照本節(jié)課的內(nèi)容，我們已經(jīng)知道角平分線的性質(zhì)“是什么”，通過折紙和嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明知道它“從哪兒來”，通過課后練習(xí)以及后面的課程，同學(xué)們終會知道它又要“到哪里去”. 最后給大家一點(diǎn)思考：我們已經(jīng)得到角平分線的性質(zhì)，那么反過來想一想，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在不在角平分線上？即逆定理是否存在呢？能否通過折紙的方法和三角形全等的方法嘗試呢？

【評價(jià)與作業(yè)】

課本課后練習(xí)，附角平分線性質(zhì)的逆命題的折紙?zhí)骄?

師：拿出一張三角形紙片，三個(gè)頂點(diǎn)處標(biāo)記A，B，C，將三角形ABC的邊AC與AB重合對折，得到點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)E，折痕為AD，則AD是∠BAC的平分線（圖5）. 繼續(xù)折疊，在第一步折疊的基礎(chǔ)上，在邊AE上取一點(diǎn)F，過點(diǎn)F將AE自身重合對折，也就是折AE的垂線（圖6），打開紙片（圖7），你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生活動：通過折疊發(fā)現(xiàn)，折AE的垂線時(shí)，折痕一定與AD相交，說明到角兩邊距離相等的點(diǎn)一定在角的平分線上.

設(shè)計(jì)意圖 通過折紙活動培養(yǎng)學(xué)生對圖形的觀察能力，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的樂趣.

如何培養(yǎng)學(xué)生的非認(rèn)知因素

在教學(xué)過程中，影響學(xué)生學(xué)習(xí)的原因是多方面的，而影響學(xué)生學(xué)習(xí)的心理因素主要有認(rèn)知因素和非認(rèn)知因素. 認(rèn)知因素指的是人的感覺、知覺、注意、記憶、言語和思維等心理過程. 非認(rèn)知因素，包括動機(jī)、興趣、情感、意志等因素，在數(shù)學(xué)教學(xué)中起著導(dǎo)向、調(diào)節(jié)、維持和激勵的作用，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也有著重要影響.

折紙作為一種教學(xué)工具用于日常的數(shù)學(xué)教學(xué)活動當(dāng)中，充分利用非認(rèn)知因素來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)整學(xué)生的學(xué)習(xí)情感，鍛造學(xué)生的學(xué)習(xí)意志，可有效地解決學(xué)習(xí)基礎(chǔ)薄弱與學(xué)習(xí)興趣缺乏的問題. 因此，下面筆者將從本節(jié)課的角度出發(fā)，淺析如何真正培養(yǎng)學(xué)生的非認(rèn)知因素.

1. 興趣

奧蘇泊爾認(rèn)為，興趣是一種認(rèn)知的驅(qū)動力，即一種要求了解和理解的需要，要求掌握知識的需要，要求闡述問題和解決問題的需要. 兩千多年前，孔子也提出“知之者不如好知者，好知者不如樂知者”. 學(xué)生只有對所學(xué)學(xué)科產(chǎn)生足夠的興趣，才能在學(xué)習(xí)過程中克服困難，提高自身學(xué)習(xí)效率. 因此，通過對本節(jié)課的思考總結(jié)，教師可以通過以下幾個(gè)方面激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

（1）創(chuàng)設(shè)情境，以保持課堂教學(xué)的生動性、趣味性

本堂課以折紙作為教學(xué)工具，通過探究折紙問題調(diào)動學(xué)生的積極性，喚起他們的參與意識. 同時(shí)，讓學(xué)生參與實(shí)踐操作，利用自制教具優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

（2）鼓勵質(zhì)疑，穩(wěn)定學(xué)習(xí)興趣

前半堂課的折紙活動能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，但是在后半節(jié)課的驗(yàn)證、猜想階段，學(xué)生的興趣和熱情如何保持是我們需要思考的. 因此，教師可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)置懸念，引起學(xué)生認(rèn)知上的矛盾與沖突，從而激起學(xué)生要求解疑的心理需求.

（3）上好數(shù)學(xué)課外活動課，激活學(xué)生的求知欲

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的養(yǎng)成，單憑一節(jié)簡單的折紙課是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，我們可以根據(jù)教材的提示與要求，利用課余時(shí)間開展數(shù)學(xué)興趣小組活動，拓寬學(xué)生的知識面，發(fā)展他們的個(gè)性特點(diǎn)和創(chuàng)造力.

2. 動機(jī)

動機(jī)對學(xué)習(xí)具有推動和目標(biāo)導(dǎo)向作用.

沈德立確定了兩種與學(xué)習(xí)活動密切相關(guān)的動機(jī)因素. 一種是成就動機(jī)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是一種主動參與、積極思維、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的活動或有價(jià)值的工作，不但愿意去做，而且能夠達(dá)到完美地步的一種內(nèi)在推動力量. 即由成就需要轉(zhuǎn)化而來的動機(jī). 另外一種是交往動機(jī)，指一種需要與人親近的內(nèi)在動力. 這種動機(jī)在學(xué)習(xí)上表現(xiàn)為：學(xué)生愿意為他所喜歡的老師努力學(xué)習(xí)，因受到贊揚(yáng)而認(rèn)真學(xué)習(xí)，或因受到責(zé)備、挫傷自信心和自尊心而影響學(xué)習(xí).

本節(jié)課營造的是一種探究式課堂，通過折紙活動，讓所有學(xué)生都參與進(jìn)來，在思考探究過程中培養(yǎng)學(xué)生的成就動機(jī). 同時(shí)，通過教師和學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不斷地溝通、交流，培養(yǎng)學(xué)生的交往動機(jī).

3. 情感

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是否滿足學(xué)習(xí)者自身求知欲需要的一種情感體驗(yàn). 本堂課以折紙活動為出發(fā)點(diǎn)，充分考慮基礎(chǔ)差的學(xué)生. 同時(shí)，在師生交流互動的過程中，教師要善于理解和引導(dǎo)學(xué)生在課堂上的情緒反應(yīng)以發(fā)展學(xué)生的積極情感；對學(xué)生的消極情緒置之不理或給予壓抑性的批評，會加深學(xué)生的消極情緒.

4. 習(xí)慣

心理學(xué)研究和實(shí)踐表明，自由、寬松、安全的氣氛可以使人的智慧充分發(fā)揮. 對于本堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)，教師努力營造自由和諧的氣氛，使學(xué)生積極主動地參與到折紙活動中，積極探索. 同時(shí)，本節(jié)課將角平分線性質(zhì)的推導(dǎo)過程充分揭示出來，培養(yǎng)了學(xué)生創(chuàng)新思維的習(xí)慣.

皮亞杰指出：“傳統(tǒng)教學(xué)的缺點(diǎn)，就在于往往用口頭講解，而不是從實(shí)際操作開始數(shù)學(xué)教學(xué). ”我們不能讓學(xué)生始終覺得數(shù)學(xué)是無用的、枯燥乏味的、抽象難懂的，這樣不僅對學(xué)生本身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有消極影響，而且這種影響會持續(xù)到學(xué)生的下一代身上. 可以說，折紙作為一種教學(xué)工具運(yùn)用于中學(xué)數(shù)學(xué)課堂，能夠把作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)以大眾樂于接受的形態(tài)教給學(xué)生，同時(shí)給學(xué)生營造一個(gè)手腦并用的學(xué)習(xí)環(huán)境，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)過程中非認(rèn)知因素的培養(yǎng).