吳鑫育，李心丹，馬超群

(1. 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030；2. 南京大學(xué)工程管理學(xué)院，江蘇 南京 210093；3. 湖南大學(xué)工商管理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082)

?

門(mén)限已實(shí)現(xiàn)隨機(jī)波動(dòng)率模型及其實(shí)證研究

吳鑫育1，2，李心丹2，馬超群3

(1. 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030；2. 南京大學(xué)工程管理學(xué)院，江蘇 南京 210093；3. 湖南大學(xué)工商管理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082)

為了捕獲資產(chǎn)收益率均值和波動(dòng)率雙重非對(duì)稱(chēng)性, 以及充分利用包含豐富日內(nèi)信息的高頻數(shù)據(jù)來(lái)提取波動(dòng)率信息, 將門(mén)限效應(yīng)和已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率測(cè)度同時(shí)引入標(biāo)準(zhǔn)的隨機(jī)波動(dòng)率(SV)模型中, 構(gòu)建了門(mén)限已實(shí)現(xiàn)SV(TRSV)模型對(duì)資產(chǎn)收益率的波動(dòng)率建模. 進(jìn)一步, 基于有效重要性抽樣(EIS)技巧, 給出了TRSV模型的極大似然(ML)參數(shù)估計(jì)方法. 蒙特卡羅模擬實(shí)驗(yàn)表明, EIS-ML參數(shù)估計(jì)方法是有效的. 最后, 采用上證綜合指數(shù)和深證成份指數(shù)日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)對(duì)TRSV模型進(jìn)行了實(shí)證檢驗(yàn). 結(jié)果表明: TRSV模型相比已實(shí)現(xiàn)SV(RSV)模型具有更好的數(shù)據(jù)擬合效果, 能夠有效地刻畫(huà)我國(guó)股票市場(chǎng)收益率的波動(dòng)率動(dòng)態(tài)特征, 證明了我國(guó)股票市場(chǎng)收益率具有強(qiáng)的波動(dòng)率持續(xù)性以及顯著的均值和波動(dòng)率雙重非對(duì)稱(chēng)性。

隨機(jī)波動(dòng)率; 門(mén)限效應(yīng); 非對(duì)稱(chēng)性; 已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率; 有效重要性抽樣

1 引言

資產(chǎn)收益率的波動(dòng)率在資產(chǎn)組合配置、風(fēng)險(xiǎn)管理以及期權(quán)定價(jià)中都扮演著重要的角色。因此研究波動(dòng)率動(dòng)態(tài)性特征, 對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行建模, 具有重要的理論價(jià)值和實(shí)踐意義。 研究表明, 資產(chǎn)收益率的波動(dòng)率具有時(shí)變性和聚集性。隨機(jī)波動(dòng)率(SV)模型被廣泛應(yīng)用于建模波動(dòng)率的這種動(dòng)態(tài)特征。SV模型假設(shè)條件方差由隱含的AR(1)隨機(jī)過(guò)程生成, 由于其在建模上的靈活性以及實(shí)際中對(duì)金融時(shí)間序列擬合的優(yōu)越表現(xiàn), 它在金融計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)文獻(xiàn)中引起了廣泛的關(guān)注[1-4]。

標(biāo)準(zhǔn)的SV模型對(duì)于描述資產(chǎn)收益率序列的經(jīng)驗(yàn)特征事實(shí)仍過(guò)于局限。近年來(lái), 越來(lái)越多的研究發(fā)現(xiàn), 利好消息(資產(chǎn)收益率正向沖擊)和利空消息(資產(chǎn)收益率負(fù)向沖擊)對(duì)資產(chǎn)收益率的波動(dòng)率的影響具有非對(duì)稱(chēng)性。對(duì)這種現(xiàn)象(波動(dòng)率非對(duì)稱(chēng)性)的一種經(jīng)典解釋為“杠桿效應(yīng)”(Leverage effect)[5- 6]。標(biāo)準(zhǔn)的SV模型不能捕獲杠桿效應(yīng)。為了克服這個(gè)問(wèn)題, Harvey和Shephard[7]、Jacquier等[8]和Yu Jun[9]將杠桿效應(yīng)引入標(biāo)準(zhǔn)的SV模型, 構(gòu)建了杠桿SV(LSV)模型對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行建模, 研究發(fā)現(xiàn)其具有更好的數(shù)據(jù)擬合效果。最近, So等[10]提出對(duì)波動(dòng)率非對(duì)稱(chēng)性的另一種解釋——門(mén)限效應(yīng)(Threshold effect)?；诖? 他們提出了一個(gè)新的對(duì)波動(dòng)率非對(duì)稱(chēng)建模的思路: 將門(mén)限效應(yīng)引入標(biāo)準(zhǔn)的SV模型, 構(gòu)建了門(mén)限SV(TSV)模型對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行建模。與LSV模型只能捕獲單一的波動(dòng)率非對(duì)稱(chēng)性相比, TSV模型由于能夠同時(shí)捕獲資產(chǎn)收益率均值和波動(dòng)率雙重非對(duì)稱(chēng)性而具有更好的數(shù)據(jù)擬合效果, 并引起了學(xué)者們廣泛的關(guān)注, 例如Asai和McAleer[11]、Chen等[12]、So 和Choi[13-14]、Wu Xinyu等[15]和吳鑫育等[16-17]。

傳統(tǒng)的波動(dòng)率模型(例如GARCH模型和SV模型)采用日度收益率數(shù)據(jù)建模, 并以此來(lái)提取波動(dòng)率信息。由于低頻日度收益率數(shù)據(jù)包含的信息有限, 不能完全反映資產(chǎn)價(jià)格日內(nèi)實(shí)際變動(dòng)情況, 造成提取的波動(dòng)率信息往往存在偏差。特別是在金融市場(chǎng)高波動(dòng)時(shí)期, 這種偏差愈加明顯, 進(jìn)而造成風(fēng)險(xiǎn)度量和期權(quán)定價(jià)大的偏差。近年來(lái), 隨著電子化交易的普及和信息存儲(chǔ)技術(shù)的發(fā)展, 包含豐富日內(nèi)信息的高頻數(shù)據(jù)已經(jīng)廣泛可得, 基于高頻數(shù)據(jù)構(gòu)建的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率測(cè)度在金融計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)文獻(xiàn)中獲得了廣泛的關(guān)注[18-21]。為了充分利用已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率測(cè)度所包含的豐富日內(nèi)信息, Takahashi等[22]最先將已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率測(cè)度引入標(biāo)準(zhǔn)的SV模型, 構(gòu)建了對(duì)日度收益率與已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率測(cè)度同時(shí)建模的已實(shí)現(xiàn)SV(RSV)模型。Barndorff-Nielsen和Shephard[21]研究表明, 在理想的市場(chǎng)條件下, 已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率是真實(shí)日度波動(dòng)率的漸近一致估計(jì)量。但實(shí)際中由于存在市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)噪聲(例如買(mǎi)賣(mài)報(bào)價(jià)差和非同步交易)和非交易時(shí)間(例如隔夜和午休時(shí)間), 已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率是真實(shí)日度波動(dòng)率的一個(gè)有偏估計(jì)?；赗SV模型能夠同時(shí)給出已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率測(cè)度的偏差與參數(shù)估計(jì), 提高風(fēng)險(xiǎn)度量準(zhǔn)確性。隨后, 眾多學(xué)者對(duì)RSV模型進(jìn)行了廣泛的研究, 例如Koopman和Scharth[23]、Shirota等[24]、Venter和de Jongh[25]、Zheng Tingguo和Song Tao[26]和Takahashi等[27]。但到目前為止, 據(jù)我們所知, 國(guó)內(nèi)對(duì)RSV模型的研究還鮮有見(jiàn)到, 且已有關(guān)于RSV模型的研究沒(méi)有考慮到資產(chǎn)收益率均值和波動(dòng)率(雙重)非對(duì)稱(chēng)性。

基于以上認(rèn)識(shí), 為了捕獲資產(chǎn)收益率均值和波動(dòng)率雙重非對(duì)稱(chēng)性, 同時(shí)充分利用包含豐富日內(nèi)信息的高頻數(shù)據(jù)來(lái)提取波動(dòng)率信息, 結(jié)合TSV和RSV模型的建模思想, 本文在標(biāo)準(zhǔn)的SV模型中同時(shí)引入門(mén)限效應(yīng)和已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率測(cè)度, 構(gòu)建門(mén)限已實(shí)現(xiàn)SV(TRSV)模型對(duì)資產(chǎn)收益率的波動(dòng)率進(jìn)行建模。為了估計(jì)TRSV模型的參數(shù), 給出有效、計(jì)算量小且易于實(shí)現(xiàn)的基于有效重要性抽樣(Efficient Importance Sampling, EIS)技巧的極大似然(ML)參數(shù)估計(jì)方法。最后, 采用上證綜合指數(shù)和深證成份指數(shù)日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)對(duì)構(gòu)建的TRSV模型進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)。

2 模型設(shè)定

標(biāo)準(zhǔn)的SV模型設(shè)定為:

xt=ψ0+ψ1xt-1+σexp(ht/2)εt,εt～i.i.d.(0,1)

(1)

ht+1=φht+γηt+1,ηt+1～i.i.d.N(0,1)

(2)

標(biāo)準(zhǔn)的SV模型能夠有效地捕獲時(shí)變波動(dòng)率和波動(dòng)率聚集性, 但它對(duì)于描述金融資產(chǎn)收益率序列的其它一些重要特征事實(shí)仍過(guò)于局限。根據(jù)So等[10]的研究, 正的和負(fù)的資產(chǎn)收益率對(duì)均值和波動(dòng)率過(guò)程的行為都會(huì)產(chǎn)生不同的影響, 即存在均值和波動(dòng)率雙重非對(duì)稱(chēng)性。標(biāo)準(zhǔn)的SV模型不能捕獲資產(chǎn)收益率的這一重要特征事實(shí)。此外, 標(biāo)準(zhǔn)的SV模型僅針對(duì)低頻日度收益率數(shù)據(jù)建模, 沒(méi)有充分考慮包含豐富日內(nèi)信息的高頻數(shù)據(jù), 導(dǎo)致信息的損失, 從而造成提取的波動(dòng)率信息可能存在偏差?；谝陨戏治? 本文結(jié)合So等[10]和Takahashi等[22]的建模思想, 將門(mén)限效應(yīng)和已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率測(cè)度同時(shí)引入標(biāo)準(zhǔn)的SV模型, 構(gòu)建如下能夠捕獲資產(chǎn)收益率均值和波動(dòng)率雙重非對(duì)稱(chēng)性, 融合低頻日度收益率與高頻已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率測(cè)度數(shù)據(jù)信息的TRSV模型對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行建模:

xt=ψ0st-1+ψ1st-1xt-1+σst-1exp(ht/2)εt

(3)

(4)

ht+1=φstht+γηt+1,ηt+1～i.i.d.N(0,1)

(5)

狀態(tài)變量st定義為

(6)

可以看到,st根據(jù)t時(shí)刻資產(chǎn)收益率xt的取值(小于0或大于等于0)在兩個(gè)區(qū)制之間轉(zhuǎn)換。如果在t時(shí)刻有利空消息到來(lái), 資產(chǎn)價(jià)格下降(資產(chǎn)收益率負(fù)向沖擊), 則有xt<0和st=0; 反之, 如果在t時(shí)刻有利好消息到來(lái), 資產(chǎn)價(jià)格上升(資產(chǎn)收益率正向沖擊), 則有xt≥0和st=1。因此, 參數(shù)ψ0st、ψ1st、σst和φst均在模型的兩個(gè)狀態(tài)st={0,1}之間轉(zhuǎn)換。當(dāng)ψ0st和ψ1st在兩狀態(tài)下均相等, 則表明資產(chǎn)收益率不存在均值非對(duì)稱(chēng)性, 反之表明存在均值非對(duì)稱(chēng)性; 當(dāng)σst和φst在兩狀態(tài)下均相等, 則表明資產(chǎn)收益率不存在波動(dòng)率非對(duì)稱(chēng)性, 反之表明存在波動(dòng)率非對(duì)稱(chēng)性。特別地, 如果σ0>σ1, 表明與利好消息相比, 同等程度的利空消息會(huì)引起資產(chǎn)收益率更高的波動(dòng)性; 如果φ0≥φ1, 表明與利好消息相比, 同等程度的利空消息會(huì)引起資產(chǎn)收益率更強(qiáng)的波動(dòng)率持續(xù)性, 即表明利空消息對(duì)資產(chǎn)收益率的影響程度要大于同等程度的利好消息對(duì)資產(chǎn)收益率的影響程度.

在TRSV模型(3)-(6)中, 均值和波動(dòng)率過(guò)程均服從一個(gè)門(mén)限AR(1)模型, 本質(zhì)上屬于Tong和Lim[29]提出的門(mén)限時(shí)間序列模型族。容易看到, 當(dāng)ψ00=ψ01、ψ10=ψ11、σ0=σ1以及φ0=φ1,TRSV模型退化為RSV模型。

金融資產(chǎn)收益率普遍展現(xiàn)“偏斜”和“厚尾”的分布特征, 雖然SV模型結(jié)構(gòu)本身能夠描述金融資產(chǎn)收益率數(shù)據(jù)一定的偏度和峰度, 但仍不足以擬合數(shù)據(jù)[30]。為此, 沿襲傳統(tǒng)SV模型文獻(xiàn)解決這個(gè)問(wèn)題的思路, 本文采用能夠充分刻畫(huà)資產(chǎn)收益率分布的“偏斜”和“厚尾”特征的標(biāo)準(zhǔn)SKt分布[31](均值為0, 方差為1)作為T(mén)RSV模型中資產(chǎn)收益率新息εt的分布:

f(εt|ξ,ν)=

(7)

其中：

g[·|ν]是自由度為2<ν≤∞的標(biāo)準(zhǔn)學(xué)生t分布,ξ>0控制分布的偏斜度, 當(dāng)lnξ>0, 分布正偏, 當(dāng)lnξ<0, 分布負(fù)偏, 當(dāng)lnξ=0, 標(biāo)準(zhǔn)SKt分布退化為標(biāo)準(zhǔn)學(xué)生t分布。

(8)

其中Γ(·)是Gamma函數(shù)。進(jìn)一步, 當(dāng)ν→∞, 學(xué)生t分布收斂于正態(tài)分布。

3 估計(jì)方法

由于包含不可觀測(cè)的狀態(tài)變量——波動(dòng)率, SV模型的參數(shù)估計(jì)比較困難。一些參數(shù)估計(jì)方法, 例如廣義矩方法(GMM)、有效矩方法(EMM)和MCMC方法等已經(jīng)用于SV模型的參數(shù)估計(jì)。但這些估計(jì)方法要么計(jì)算復(fù)雜, 要么不是有效的[32]。本文運(yùn)用EIS-ML方法估計(jì)TRSV模型的參數(shù)。EIS-ML方法本質(zhì)上屬于ML方法, 有著良好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì), 如一致性、漸近正態(tài)性, 且計(jì)算量相對(duì)較小、易于實(shí)現(xiàn), 因此該方法相比其它估計(jì)方法具有明顯的優(yōu)越性。

設(shè)x={x0,x1,…,xT}′和y={y1,y2,…,yT}′是觀測(cè)值向量,h={h1,h2,…,hT}′是不可觀測(cè)狀態(tài)向量(h0當(dāng)作未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì))。TRSV模型的似然函數(shù)可以寫(xiě)為：

(9)

其中Θ是TRSV模型的參數(shù)向量,p(x,y,h;Θ)是x,y和h的聯(lián)合密度函數(shù), 可以寫(xiě)為：

(10)

實(shí)際中, 式(9)是一個(gè)復(fù)雜的高維積分, 無(wú)法采用數(shù)值方法直接求解。為了克服這個(gè)問(wèn)題, 本文運(yùn)用EIS技巧來(lái)估計(jì)(9)。EIS技巧由Richard和ZhangWei[33]提出, 它易于實(shí)現(xiàn), 且可以獲得SV模型高維積分似然函數(shù)的全局精確蒙特卡羅逼近。根據(jù)Richard和ZhangWei[33]的研究, 設(shè)定EIS密度的形式為:

(11)

(12)

其中kt(ht|xt-1,ht-1,at)是預(yù)先確定的參數(shù)化密度核函數(shù),at是EIS輔助參數(shù)。

本文選取密度核函數(shù)

kt(ht|xt-1,ht-1,at)=p(ht|xt-1,ht-1,Θ)

定義EIS輔助參數(shù)為at′=(a1,t,a2,t)。此時(shí)EIS密度mt(ht|xt-1,ht-1,at)是正態(tài)密度, 且其均值與方差分別為：

(13)

(14)

TRSV模型似然函數(shù)(9)可以改寫(xiě)為：

L(x,y;Θ)=χ1(x0,h0;a1)·

(15)

其中χT+1(·)≡1。由此, 得到似然函數(shù)L(x,y;Θ)的EIS-蒙特卡羅估計(jì)為：

(16)

EIS技巧旨在通過(guò)選擇合理的輔助參數(shù)向量at, 以最小化式(16)的蒙特卡羅估計(jì)方差。根據(jù)Richard和ZhangWei[33]的研究, 它可以通過(guò)求解如下向后遞歸的輔助最小二乘問(wèn)題實(shí)現(xiàn):

(17)

綜合起來(lái), 估計(jì)TRSV模型似然函數(shù)的EIS算法具體步驟如下:

步驟2：向后遞歸地求解最小二乘問(wèn)題(17), 或等價(jià)地作如下的線(xiàn)性回歸(t:T→1):

(18)

步驟4：重復(fù)步驟2和3, 直到收斂;

得到TRSV模型參數(shù)的EIS-ML估計(jì)為:

(19)

(20)

4 模擬實(shí)驗(yàn)

這部分構(gòu)建蒙特卡羅模擬實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)第3部分給出的EIS-ML參數(shù)估計(jì)方法的精確性和有限樣本性質(zhì)。設(shè)定TRSV-SKt模型真實(shí)參數(shù)值為:ω=-0.5，ζ=1，δ=0.4，ψ00=0，ψ01=0，ψ10=-0.1，ψ11=0.1，σ0=0.015，σ1=0.014，φ0=0.95，φ1=0.97,γ=0.24，ξ=1，ν=30。參數(shù)值的設(shè)定基于第5部分的實(shí)證結(jié)果。根據(jù)“真實(shí)的”TRSV-SKt模型(3)-(7)模擬生成T=2000個(gè)樣本長(zhǎng)度的觀測(cè)序列(收益率及對(duì)數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列)。對(duì)每一模擬的觀測(cè)序列, 運(yùn)用EIS-ML方法進(jìn)行估計(jì), 重復(fù)模擬和估計(jì)實(shí)驗(yàn)50次獲得參數(shù)估計(jì)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和均方根誤差(RMSE)。EIS-ML算法采用MATLAB軟件編程, 在Windows7計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。

表1給出了數(shù)值模擬的實(shí)驗(yàn)結(jié)果?？梢钥吹? 除了參數(shù)ν的估計(jì)存在輕微的高估外, 其它參數(shù)估計(jì)的均值均接近于相應(yīng)的真實(shí)值, 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差也都非常小, 表明EIS-ML估計(jì)方法是比較精確的。參數(shù)估計(jì)的RMSE都接近于標(biāo)準(zhǔn)差, 表明估計(jì)的有限樣本偏差很小。綜上, 運(yùn)用EIS-ML方法估計(jì)TRSV-SKt模型, 可以獲得合理和有效的參數(shù)估計(jì)結(jié)果。

表1 數(shù)值模擬結(jié)果

注: EIS抽樣數(shù)S=32, 迭代5次, 重復(fù)模擬實(shí)驗(yàn)50次獲得參數(shù)估計(jì)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和均方根誤差(RMSE)。

5 實(shí)證研究

5.1 數(shù)據(jù)與已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率測(cè)度

本文采用上證綜合指數(shù)和深證成份指數(shù)日度收盤(pán)價(jià)格和日內(nèi)5分鐘高頻交易價(jià)格數(shù)據(jù)作為研究樣本。5分鐘抽樣頻率的選擇是基于對(duì)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的估計(jì)偏差與方差(市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)噪聲與信息損失)的權(quán)衡。鑒于我國(guó)股票市場(chǎng)在2005年開(kāi)始實(shí)施了重大市場(chǎng)改革, 本文數(shù)據(jù)抽樣的時(shí)間跨度為2005年1月4日至2014年12月2日, 兩指數(shù)均為2401個(gè)日度觀測(cè)值和115248個(gè)日內(nèi)觀測(cè)值。所有數(shù)據(jù)均來(lái)源于天軟數(shù)據(jù)庫(kù)。

Barndorff-Nielsen和Shephard[21]研究表明, 在不存在市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)噪聲以及資產(chǎn)可一直連續(xù)交易的情形下, 已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率RV依概率收斂于積分波動(dòng)率(IntegratedVolatility,IV)或真實(shí)日度波動(dòng)率。然而, 實(shí)際中由于存在市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)噪聲以及非交易時(shí)間, 已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率并非積分波動(dòng)率的無(wú)偏估計(jì), 而是存在著向上(源于市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)噪聲)或向下(源于非交易時(shí)間)的偏差, 例如趙樹(shù)然等[34], 劉志東和嚴(yán)冠[35]。

表2給出了上證綜合指數(shù)和深證成份指數(shù)日度收益率(xt)和對(duì)數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率(yt)的描述性統(tǒng)計(jì)量。從表2可以看到, 兩指數(shù)日度收益率的分布均呈現(xiàn)負(fù)偏態(tài)(偏度<0), 且存在厚尾特征(峰度>3), 兩指數(shù)收益率都拒絕正態(tài)分布的假定(Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量顯著)。兩指數(shù)對(duì)數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率均呈現(xiàn)正偏態(tài)(偏度>0), 也都拒絕正態(tài)分布的假定(Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量顯著), 但比較接近于正態(tài)分布(峰度接近于3,Jarque-Bera值相對(duì)較小)。滯后10階的Ljung-Box檢驗(yàn)結(jié)果表明, 兩指數(shù)日度收益率與對(duì)數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列都存在顯著的自相關(guān)性。ARCH效應(yīng)檢驗(yàn)表明, 兩指數(shù)日度收益率與對(duì)數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列都存在顯著的異方差性, 這也肯定了引入SV模型建模波動(dòng)率的合理性。

表2 日度收益率(xt)與對(duì)數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率(yt)的描述性統(tǒng)計(jì)量

注: ()中是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量p-值。

圖1和圖2給出了上證綜合指數(shù)和深證成份指數(shù)日度收盤(pán)價(jià)格、日度收益率、經(jīng)驗(yàn)收益率密度及已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率圖。從圖1和圖2可以看出, 兩指數(shù)日度收益率序列在抽樣階段內(nèi)均展現(xiàn)明顯的波動(dòng)率時(shí)變性和波動(dòng)率聚集性特征, 均具有典型的厚尾分布特點(diǎn), 且呈現(xiàn)非對(duì)稱(chēng)的分布, 對(duì)數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率Q-Q圖表明其接近于正態(tài)分布。

圖2 深證成份指數(shù): (a) 日度收盤(pán)價(jià)格; (b) 日度收益率; (c) 經(jīng)驗(yàn)收益率密度; (d) 收益率Q-Q圖; (e) 已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率; (f) 對(duì)數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率Q-Q圖

5.2 參數(shù)估計(jì)結(jié)果

運(yùn)用第3部分給出的EIS-ML參數(shù)估計(jì)方法以及5.1節(jié)給出的上證綜合指數(shù)和深證成份指數(shù)數(shù)據(jù), 得到TRSV模型(TRSV-N模型、TRSV-t模型和TRSV-SKt模型, 其中:N代表正態(tài)分布,t代表學(xué)生t分布,SKt代表偏斜學(xué)生t分布)的參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表3和表4所示。為了比較, 表3和表4也給出了RSV模型(RSV-N模型、RSV-t模型和RSV-SKt模型)的參數(shù)估計(jì)結(jié)果。

從表中可以看到, 上證綜合指數(shù)和深證成份指數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的線(xiàn)性偏差修正參數(shù)ω的估計(jì)值均明顯小于0, 表明中國(guó)股票市場(chǎng)的非交易時(shí)間效應(yīng)要強(qiáng)于微觀結(jié)構(gòu)噪聲效應(yīng), 兩指數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率均存在線(xiàn)性偏差。上證綜合指數(shù)ω估計(jì)值的絕對(duì)值大于深證成份指數(shù)ω估計(jì)值的絕對(duì)值, 表明上證綜合指數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的線(xiàn)性偏差大于深證成份指數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的線(xiàn)性偏差。兩指數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的非線(xiàn)性偏差修正參數(shù)ψ的估計(jì)值均接近于1, 表明已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率不存在明顯的非線(xiàn)性偏差, 與Hansen等[36]基于美國(guó)股票市場(chǎng)數(shù)據(jù)的實(shí)證結(jié)果一致。

在RSV模型中, 兩指數(shù)收益率自相關(guān)系數(shù)ψ1的估計(jì)值在0.03至0.05之間, 都接近于0, 表明兩指數(shù)收益率序列均存在弱的自相關(guān)性。在TRSV模型中, 兩指數(shù)收益率自相關(guān)系數(shù)ψ10和ψ11的估計(jì)值符號(hào)相反, 表明中國(guó)股票市場(chǎng)收益率存在均值非對(duì)稱(chēng)性。在區(qū)制xt<0，ψ10估計(jì)值為負(fù), 在區(qū)制xt≥0，ψ11估計(jì)值為正, 與So等[10]的估計(jì)結(jié)果一致, 這可以解釋上證綜合指數(shù)和深證成份指數(shù)收益率序列的弱自相關(guān)性。σ0的估計(jì)值均不同于σ1的估計(jì)值, 表明中國(guó)股票市場(chǎng)收益率存在波動(dòng)率非對(duì)稱(chēng)性, 且σ0估計(jì)值均大于σ1估計(jì)值, 說(shuō)明與利好消息相比, 同等程度的利空消息會(huì)引起中國(guó)股票市場(chǎng)更高的波動(dòng)率, 也即利空消息對(duì)中國(guó)股票市場(chǎng)的影響大于同等程度利好消息對(duì)中國(guó)股票市場(chǎng)的影響。波動(dòng)率持續(xù)性參數(shù)φ(RSV模型)、φ0和φ1(TRSV模型)的估計(jì)值均接近于1, 表明中國(guó)股票市場(chǎng)具有強(qiáng)的波動(dòng)率持續(xù)性特征。φ1估計(jì)值均大于φ0估計(jì)值, 說(shuō)明利好消息對(duì)中國(guó)股票市場(chǎng)的影響相比同等程度利空消息對(duì)中國(guó)股票市場(chǎng)的影響更具有持續(xù)性。這與吳鑫育等[16-17]基于2001年至2011年中國(guó)股票市場(chǎng)數(shù)據(jù)得到的研究結(jié)論正好相反, 說(shuō)明中國(guó)股票市場(chǎng)正在經(jīng)歷轉(zhuǎn)變, 投資者對(duì)消息的反應(yīng)模式發(fā)生變化。綜上, 中國(guó)股票市場(chǎng)具有強(qiáng)的波動(dòng)率持續(xù)性以及顯著的均值和波動(dòng)率雙重非對(duì)稱(chēng)性。

兩指數(shù)t分布和SKt分布參數(shù)(ξ,ν)的估計(jì)結(jié)果表明, 兩指數(shù)收益率新息分布的偏斜厚尾性并不顯著(ξ估計(jì)值接近于1,ν估計(jì)值較大), 這與Takahashi等[27]的實(shí)證結(jié)果一致, 表明已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的引入消除了收益率新息分布的偏斜厚尾性, 因此偏斜厚尾分布并不總能改進(jìn)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率模型的數(shù)據(jù)擬合效果。從對(duì)數(shù)似然值和AIC值來(lái)看,TRSV模型在滬深股市均具有比RSV模型更好的數(shù)據(jù)擬合效果, 滬市TRSV-t具有最好的數(shù)據(jù)擬合效果, 深市TRSV-N具有最好的數(shù)據(jù)擬合效果。

表3 參數(shù)估計(jì)結(jié)果: 上證綜合指數(shù)

注: EIS抽樣數(shù)S=32, 迭代5次;Log-lik是對(duì)數(shù)似然值;AIC是赤池信息準(zhǔn)則; ()中是EIS-ML估計(jì)的漸近標(biāo)準(zhǔn)誤差。

表4 參數(shù)估計(jì)結(jié)果: 深證成份指數(shù)

注: EIS抽樣數(shù)S=32, 迭代5次;Log-lik是對(duì)數(shù)似然值;AIC是赤池信息準(zhǔn)則; ()中是EIS-ML估計(jì)的漸近標(biāo)準(zhǔn)誤差。

最后, 基于表3和表4給出的TRSV模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果, 運(yùn)用式(20)(取Ψ(x)=exp{x/2})計(jì)算得到上證綜合指數(shù)和深證成份指數(shù)濾過(guò)的波動(dòng)率序列如圖3和圖4所示。可以看到, 波動(dòng)率的變化特征與指數(shù)收益率的變化特征基本吻合, 表明TRSV模型能夠較好地描述兩指數(shù)收益率變化的時(shí)變波動(dòng)率特征。特別地, 從圖3和圖4還可以看到, 在2008-2009年全球金融危機(jī)和2010年歐債危機(jī)期間, 中國(guó)股票市場(chǎng)表現(xiàn)出較高的波動(dòng)性。

圖3 波動(dòng)率估計(jì): 上證綜合指數(shù)

圖4 波動(dòng)率估計(jì): 深證成份指數(shù)

6 結(jié)語(yǔ)

本文將門(mén)限效應(yīng)與已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率測(cè)度同時(shí)引入標(biāo)準(zhǔn)的SV模型中, 構(gòu)建了TRSV模型對(duì)波動(dòng)率建模。該模型能夠捕獲資產(chǎn)收益率均值和波動(dòng)率雙重非對(duì)稱(chēng)性, 同時(shí)充分利用了包含豐富日內(nèi)信息的高頻數(shù)據(jù), 基于該模型可以獲得更為精確的波動(dòng)率信息。為了估計(jì)TRSV模型的參數(shù), 本文給出有效、計(jì)算量小且易于實(shí)現(xiàn)的EIS-ML參數(shù)估計(jì)方法。蒙特卡羅模擬實(shí)驗(yàn)表明, 該參數(shù)估計(jì)方法是有效的。采用上證綜合指數(shù)和深證成份指數(shù)日內(nèi)高頻數(shù)據(jù), 本文對(duì)構(gòu)建的TRSV模型進(jìn)行了實(shí)證檢驗(yàn)。結(jié)果表明: TRSV模型相比RSV模型具有更好的數(shù)據(jù)擬合效果, 能夠有效地刻畫(huà)我國(guó)股票市場(chǎng)收益率的波動(dòng)率動(dòng)態(tài)特征, 捕獲2008-2009年全球金融危機(jī)和2010年歐債危機(jī); 中國(guó)股市具有強(qiáng)的波動(dòng)率持續(xù)性, 并且存在顯著的均值和波動(dòng)率雙重非對(duì)稱(chēng)性, 具體而言, 利空消息相比同等程度的利好消息會(huì)引起中國(guó)股票市場(chǎng)更高的波動(dòng)率以及更低的波動(dòng)率持續(xù)性, 說(shuō)明利空消息對(duì)中國(guó)股票市場(chǎng)的影響大于同等程度利好消息對(duì)中國(guó)股票市場(chǎng)的影響, 且利空消息對(duì)中國(guó)股票市場(chǎng)影響的持續(xù)性相比利好消息對(duì)中國(guó)股票市場(chǎng)影響的持續(xù)性要低。本文模型有助于深刻揭示股票市場(chǎng)對(duì)消息的反應(yīng)模式。同時(shí), 本文模型充分利用了市場(chǎng)上可用的信息(高頻數(shù)據(jù)信息)提取波動(dòng)率, 為資產(chǎn)定價(jià)、投資組合構(gòu)造以及風(fēng)險(xiǎn)管理的研究提供了參考。

[1] Jacquier E, Polson N G, Rossi P E. Bayesian analysis of stochastic volatility models[J]. Journal of Business & Economic Statistics, 2002,20(1):69-87.

[2] Kim S, Shephard N, Chib S. Stochastic volatility: Likelihood inference and comparison with ARCH models[J]. Review of Economic Studies, 1998, 65(3): 361-393.

[3] 江良, 林鴻熙. 隨機(jī)波動(dòng)率Hull-White模型參數(shù)估計(jì)方法[J]. 系統(tǒng)工程學(xué)報(bào), 2016, 31(5): 633-642.

[4] 周艷麗, 吳洋, 葛翔宇. 一類(lèi)高新技術(shù)企業(yè)專(zhuān)利權(quán)價(jià)值的實(shí)物期權(quán)評(píng)估方法——基于跳擴(kuò)散過(guò)程和隨機(jī)波動(dòng)率的美式期權(quán)的建模與模擬[J]. 中國(guó)管理科學(xué), 2016, 24(6): 19-28.

[5] Black F. Studies of stock price volatility changes[C]//Proceedings of the 1976 Meeting of Business and Economic Statistics Section, American Statistical Association, 1976: 177-181.

[6] Christie A A. The stochastic behavior of common stock variances[J]. Journal of Financial Economics, 1982, (10): 407-432.

[7] Harvey A C, Shephard N. The estimation of an asymmetric stochastic volatility model for asset returns[J]. Journal of Business & Economic Statistics, 1996, 14(4): 429-434.

[8] Jacquier E, Polson N G, Rossi P E. Bayesian analysis of stochastic volatility models with fat-tails and correlated errors[J]. Journal of Econometrics, 2004, 122(1): 185-212.

[9] Yu Jun. On leverage in a stochastic volatility model[J]. Journal of Econometrics, 2005, 127(2): 165-178.

[10] So M K, Li W K, Lam K. A threshold stochastic volatility model[J]. Journal of Forecasting, 2002, 21(7): 473-500.

[11] Asai M, McAleer M. Dynamic asymmetric leverage in stochastic volatility models[J]. Econometric Reviews, 2005, 24(3): 317-332.

[12] Chen C W S, Liu F C, So M K P. Heavy-tailed distributed threshold stochastic volatility models in financial time series[J]. Australian & New Zealand Journal of Statistics, 2008, 50(1): 29-51.

[13] So M K, Choi C Y. A multivariate threshold stochastic volatility model[J]. Mathematics and Computers in Simulation, 2008, 79(3): 306-317.

[14] So M K, Choi C Y. A threshold factor multivariate stochastic volatility model[J]. Journal of Forecasting, 2009, 28(8): 712-735.

[15] Wu Xinyu, Zhou Hailin. A triple-threshold leverage stochastic volatility model[J]. Studies in Nonlinear Dynamics & Econometrics, 2015, 19(4): 483-500.

[16] 吳鑫育, 周海林, 汪壽陽(yáng), 等. 雙杠桿門(mén)限隨機(jī)波動(dòng)率模型及其實(shí)證研究[J]. 管理科學(xué)學(xué)報(bào), 2014, 17(7): 63-81.

[17] 吳鑫育, 周海林. 中國(guó)股票市場(chǎng)的非對(duì)稱(chēng)反應(yīng)[J]. 系統(tǒng)工程, 2015, 33(8): 78-83.

[18] 瞿慧, 李潔, 程昕. HAR族模型與GARCH族模型對(duì)不同期限波動(dòng)率的預(yù)測(cè)精度比較——基于滬深300指數(shù)高頻價(jià)格的實(shí)證分析[J]. 系統(tǒng)工程, 2015, 33(3): 32-37.

[19] 瞿慧, 程思逸. 考慮成分股聯(lián)跳與宏觀信息發(fā)布的滬深300指數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率模型研究[J]. 中國(guó)管理科學(xué), 2016, 24(12): 10-19.

[20] Barndorff-Nielsen O E, Shephard N. Non-Gaussian Ornstein-Ulhlenbeck-based models and some of their uses in financial economics[J]. Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 2001, 63(2): 167-241.

[21] Barndorff-Nielsen O E, Shephard N. Econometric analysis of realized volatility and its use in estimating stochastic volatility models[J]. Journal of the Royal Statistical Society: Series B, 2002, 64(2): 253-280.

[22] Takahashi M, Omori Y, Watanabe T. Estimating stochastic volatility models using daily returns and realized volatility simultaneously[J]. Computational Statistics & Data Analysis, 2009, 53(6): 2404-2426.

[23] Koopman S J, Scharth M. The analysis of stochastic volatility in the presence of daily realised measures[J]. Journal of Financial Econometrics, 2013, 11(1): 76-115.

[24] Shirota S, Hizu T, Omori Y. Realized stochastic volatility with leverage and long memory[J]. Computational Statistics & Data Analysis, 2014, 76: 618-641.

[25] Venter J H, de Jongh P J. Extended stochastic volatility models incorporating realised measures[J]. Computational Statistics & Data Analysis, 2014, 76: 687-707.

[26] Zheng Tingguo, Song Tao. A realized stochastic volatility model with Box-Cox transformation[J]. Journal of Business and Economic Statistics, 2014, 32(4): 593-605.

[27] Takahashi M, Watanabe T, Omori Y. Volatility and quantile forecasts by realized stochastic volatility models with generalized hyperbolic distribution[J]. International Journal of Forecasting, 2016, 32(2): 437-457.

[28] Taylor S J. Financial returns modelled by the product of two stochastic processes-a study of daily sugar prices[M]//Anderson O D. Time series analysis: Theory and practice 1. Amsterdam:North Holland, 1982: 203-226.

[29] Tong H, Lim K S. Threshold autoregression, limit cycles and cyclical data[J]. Journal of the Royal Statistical Society: Series B, 1980, 42(3): 245-292.

[30] 吳鑫育, 馬超群, 汪壽陽(yáng). 隨機(jī)波動(dòng)率模型的參數(shù)估計(jì)及對(duì)中國(guó)股市的實(shí)證[J]. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐, 2014, 34(1): 35-44.

[31] Lambert P, Laurent S. Modelling skewness dynamics in series of financial data using skewed location-scale distributions[R]. Discussion Paper, Catholic University of Louvain, 2002.

[32] Broto C, Ruiz E. Estimation methods for stochastic volatility models: A survey[J]. Journal of Economic Surveys, 2004, 18(5): 613-649.

[33] Richard J F, Zhang Wei. Efficient high-dimensional importance sampling[J]. Journal of Econometrics, 2007, 141(2): 1385-1411.

[34] 趙樹(shù)然, 姜亞萍, 任培民. 高頻波動(dòng)率矩陣估計(jì)的比較分析——基于有噪非同步的金融數(shù)據(jù)[J]. 中國(guó)管理科學(xué), 2015, 23(10): 19-29.

[35] 劉志東, 嚴(yán)冠. 基于半鞅過(guò)程的中國(guó)股市隨機(jī)波動(dòng)、跳躍和微觀結(jié)構(gòu)噪聲統(tǒng)計(jì)特征研究[J]. 中國(guó)管理科學(xué), 2016, 24(5): 18-30.

[36] Hansen P R, Huang Zhuo, Shek H H. Realized GARCH: A joint model for returns and realized measures of volatility[J]. Journal of Applied Econometrics, 2012, 27(6): 877-906.

Threshold Realized Stochastic Volatility Model and its Empirical Test

WU Xin-yu1, 2，LI Xin-dan2，MA Chao-qun3

(1.School of Finance, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu 233030, China;2.School of Industrial Engineering and Management, Nanjing University, Nanjing 210093, China;3.Business School, Hunan University, Changsha 410082, China)

Volatility in financial markets has attracted a great deal of attention from academics, policy makers and practitioners during the past decades, primarily because it plays a crucial role in many financial applications, such as portfolio selection, option pricing and risk management. It has been well-documented in the finance literature that the financial market volatility is not a constant but in fact changes over time and financial time series exhibits volatility clustering. In addition, many empirical researches have indicated that the mean and volatility of asset returns respond asymmetrically to market news. Recently, with the development of information technology, the availability of high frequency data means that it has become possible to measure the latent volatility using the so-called realized volatility (RV) measure. Under some assumptions, the RV is a consistent estimator of the true volatility. In the real market, however, the RV measure computed from high frequency return data suffers from microstructure noise. In this paper, both the threshold effects and realized volatility measure are incorporated into the standard stochastic volatility (SV) model and the threshold realized SV (TRSV) model is proposed to model the volatility of asset returns. The model is able to account for time-varying volatility and volatility clustering and capture simultaneously the mean and volatility asymmetries in asset return data. Also, this model, which uses high-frequency data containing valuable intraday information to extract volatility information, can estimate RV biases and parameters simultaneously. The lack of a closed-form expression of the likelihood function makes the estimation of the SV models being a challenging topic in the literature. In this paper, the efficient importance sampling (EIS) technique is adopted to implement the maximum likelihood (ML) estimation method for our proposed TRSV model. The Monte Carlo simulation study shows that the EIS-ML estimation method can provide appropriate and accurate inference for the parameters of the proposed model. Finally, the TRSV model is applied to the intraday high-frequency data of Shanghai Stock Exchange composite index and Shenzhen Stock Exchange component index of China. Empirical results show that the TRSV model captures the volatility dynamics appropriately and provides better fit to the data compared to the realized SV (RSV) model. Moreover, strong evidence of high persistence of volatility and the mean and volatility asymmetries is detected in Chinese stock markets.

stochastic volatility; threshold effect; asymmetries; realized volatility; efficient importance sampling

1003-207(2017)03-0010-10

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2017.03.002

2015-11-26；

2016-06-14

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71501001, 71431008); 教育部人文社科研究青年基金資助項(xiàng)目(14YJC790133); 中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015M580416); 安徽省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(1408085QG139); 安徽省高等學(xué)校省級(jí)優(yōu)秀青年人才基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(2013SQRW025ZD)

吳鑫育(1982-), 男(漢族), 湖南衡山人, 安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院副教授, 南京大學(xué)工程管理學(xué)院博士后, 研究方向: 金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理, E-mail: xywu@hotmail.com.

F830.9

A