林祥門

[摘 要] 本文探討教師如何通過開放性備課和教學活動，將學生學習置身于開放性數(shù)學問題中. 通過教學實踐思考，總結開放性教學活動的實施策略，即備課的開放性，課堂教學活動的開放性，作業(yè)設置的開放性.

[關鍵詞] 開放性；備課；教學；校本研究

高中數(shù)學新課程的基本理念是豐富學生的學習方式，改進學生的學習方法，開放性課堂教學就是其中行之有效的一種方法，其關鍵是教師要不斷地強化開放式教學理念，敢于嘗試，大膽實踐，尤其要在開放式課堂教學的設計上下功夫，并在嘗試實踐中進行反思.

[?] 備課的開放性

開放式備課就是通過教師各自的思維方式進行備課，并將備課內容在備課組公開化，利用集體智慧提出最高層次的數(shù)學教學，認真學習和掌握教學大綱，了解中學各階段的教學要求；通覽教材全局，認真鉆研教材，閱讀參考資料，認真分析這部分教材在整個教材體系中的地位和作用，包括本節(jié)教材與前面內容的聯(lián)系，對后續(xù)知識產生的影響，在實際問題中的應用，它能培養(yǎng)學生哪些方面的能力，教給學生哪些方面的數(shù)學思想和方法等.

案例：“兩角和與差的余弦”公式證明的分析.

（1）證明中為什么引入單位圓？前面學習了正弦線、余弦線，知（cosα，sinα），（cosβ，sinβ），（cos（α+β），sin（α+β））均為單位圓上的點，故引入單位圓，從而借助單位圓建立它們間的聯(lián)系.

（2）證明中為什么要引入β角？要把cos（α+β）用cosα，cosβ，sinα，sinβ表示出來，就要建立一個含有這些量的等式. 由（1）的分析，這些量已在三個點的坐標中出現(xiàn)，因此在圓中自然想到了借用“同圓中等角對等弦”的定理，引入β角，就可以得到兩個相等的圓心角，從而就得到了等弦.

（3）如何說明對任意角α，β公式都成立呢？證明中α，β均是當成銳角給出的，當α，β∈（0，2π）且其中至少有一個非銳角時，可完全類似地進行證明，只是所畫角所在象限不同；當α?（0，2π）或β?（0，2π），可先用誘導公式把這些角轉化到（0，2π）這個區(qū)間上來.

[?] 課堂教學活動的開放性

開放性教學沒有固定不變的環(huán)節(jié)，具有一定的靈活性和彈性. 在現(xiàn)實教學中，我們教師往往只注重教學目標的設計，忽視了教師活動的設計，甚至對學生活動的設計根本不加考慮. 而開放性數(shù)學課堂教學設計，是要通過多方面的設計來體現(xiàn)其開放性的. 因此，我們在進行教學目標設計的同時，不僅要重視教師活動的設計，更要重視學生活動的設計.

1. 教師活動的設計

我們可以利用開放性問題讓學生不但加強學科內新舊知識的聯(lián)系，在頭腦中形成知識的網(wǎng)絡，而且要溝通學科之間知識的聯(lián)系，讓學生原有的認知結構更好地得到改造和重組，使他們在數(shù)學的探究過程中思路變得更開闊、靈活.

案例：“人教版《數(shù)學》第一冊（上）”第三章“數(shù)列”中，先在“等差數(shù)列”一節(jié)學習了等差數(shù)列的通項公式an=a1+（n-1）d與一次函數(shù)y=px+q的關系. 現(xiàn)在我們看看后面“等差數(shù)列的前n項和”一節(jié)中例4的教學：已知一個等差數(shù)列的前10項的和是310，前20項的和是1220，由此可以確定其前n項和公式嗎？課本中通過解方程組，確定公式Sn=na1+中的a1和d，從而確定公式Sn=3n2+n. 例4解決后，讓學生思考：是否存在某個自然數(shù)n0使該數(shù)列的前n0項和達到最大或最??？該問題解決后，再讓學生探討：怎樣的數(shù)列其前n項和Sn才有最值？對于這樣的開放性問題，其中有部分學生會從一元二次函數(shù)的角度來分析等差數(shù)列的前n項和Sn=an2+bn的最值情況. 課后了解，這樣的學生在一定程度上是從前面等差數(shù)列的通項公式an=a1+（n-1）d與一次函數(shù)y=px+q的關系中得到的啟發(fā). 所以，學生在解決問題的過程中，能否從不同的角度思考問題，很大程度上有賴于知識網(wǎng)絡的構建. 可見，構筑知識網(wǎng)絡，能讓學生在數(shù)學的探究過程中開闊思路.

2. 學生活動的設計

要設計好學生的活動，就必須真正了解學生，包括了解學生現(xiàn)有的知識背景和思維水平，了解學生個體之間的智力、個性差異以及他們之間的伙伴關系. 另外，教師還要根據(jù)教學內容，選擇一種或多種學生活動方式，使學生活動更具開放性. 在開放性課堂教學活動的設計中，教師能有針對性地根據(jù)教學內容進行靈活安排至關重要. 如對一些理解性內容，可以讓學生觀察、思考、討論后口答，學生自由發(fā)言，相互補充修正；對一些比較直觀的內容，可以讓學生在動手操作體會之后，再要求學生用數(shù)學語言來描述；對一些智力綜合性較強的內容，可先讓學生獨立探索，然后小組討論. 開放性問題由于結論的不確定，學生容易擺脫單一的思維模式，從而產生不同的見解. 有一點需要注意的是，開放性教學的核心是具有開放性，不是指某一具體教學形式，也不僅僅限于新課引入的教學，它還貫穿于課前、課上和課后.

案例：“組織探究”環(huán)節(jié).

在深化函數(shù)零點的概念后，為了突破對零點存在性判斷條件的理解這一難點，可以設計這樣一個問題情境：請觀察圖1，這是氣象局測得某地特殊一天的一張氣溫變化模擬函數(shù)圖（即一個連續(xù)不間斷的函數(shù)圖像），由于圖像中有一段被墨水污染了，現(xiàn)在有人想了解一下當天7時到11時之間有沒有出現(xiàn)溫度是0攝氏度的情況，你能幫助他嗎？

[?] 作業(yè)設置的開放性

作業(yè)是課堂教學的自然延伸和補充，幫助學生對課堂知識理解、鞏固和靈活應用. 但現(xiàn)實中，很多學生怕做作業(yè)甚至不做作業(yè)，產生這一問題的根源在于教師布置的作業(yè)單調乏味、缺乏新意，學生不會把完成作業(yè)看成是一種樂趣，只會看成是一種負擔，對其產生恐懼感. 固化的傳統(tǒng)作業(yè)的確存在一些弊端：重數(shù)量，輕質量；重學科作業(yè)，輕實踐性、探究性作業(yè)；重機械訓練，輕方法指導和創(chuàng)新思維的培養(yǎng)；效率低，針對性不強. 鑒于此，教師在設置開放性的作業(yè)時需關注以下幾點：①不再一刀切對所有學生布置單一、機械重復的同一種作業(yè)，而是根據(jù)各類學生的能力、需求、興趣去選擇不同層次的作業(yè). ②重視非智力因素的培養(yǎng)，主要包括動機、興趣、情感、意志和性格等，重視學生創(chuàng)新、獨立操作及獨立思考能力的提高. ③體現(xiàn)實際生活，重視從學生生活經(jīng)驗和已有知識中理解情境，發(fā)現(xiàn)數(shù)學，有意識地引導學生把現(xiàn)實問題數(shù)學化，把數(shù)學知識生活化，讓學生覺得生活中處處有數(shù)學，使數(shù)學更貼近學生、貼近生活.

案例：“人教版《數(shù)學》第一冊（下）” 的“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像”中，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（x∈R，A>0，ω>0）的圖像可由正弦曲線通過伸縮、平移得到. 我們可以適時地讓學生探討一般性函數(shù)y=Af（ax+b）（A>0，a>0）的圖像是否可用類似的方法由y=f（x）的圖像得到，特別是進一步減弱條件（去掉條件A>0，a>0）后的探索. 另外，教師還可以選取一些可用的非常規(guī)解法或可探究出較奇特結論的素材來創(chuàng)設情景，“構筑知識網(wǎng)絡，強化求異心理，注重變式教學”對提高學生聯(lián)想猜測能力和探究能力行之有效.

[?] 對開放性教學活動的思考

教學中實施開放性問題教學引導學生學會主動探索、發(fā)現(xiàn)和體驗，信息的收集和處理，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造能力. 本文就如何將學生置于開放性的數(shù)學問題中，培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維和創(chuàng)造力的教學策略，引發(fā)了一些思考：①如何更有效地組織課堂討論，發(fā)揮學習小組的作用，培養(yǎng)學生合作精神和合作能力，發(fā)揮學生的能動性，激活學生的思維，培養(yǎng)學生的能力？②如何設計課堂提問，引發(fā)學生創(chuàng)造性地思考？在課堂教學中，如何培養(yǎng)學生的質疑能力？③教師如何做好課堂反饋，建立一系列行之有效的評價機制，激發(fā)學生的學習興趣，鼓勵學生創(chuàng)造性地解決問題？④如何更有效地把書本知識與實際生活相聯(lián)系，培養(yǎng)學生的實踐能力？⑤課堂開放后，如何處理好“放”與“收”的關系？

通過對這一問題的探究，我們感到開放性問題的研究和教學，有利于教師轉變教育觀念，激發(fā)教育熱情，擺脫一種淺層次的教學循環(huán)；有利于激發(fā)學生的學習興趣，提高其探究數(shù)學的能力.