☉江蘇省西亭高級(jí)中學(xué) 戴黃亮

突出本質(zhì)事半功倍
——從一道解析幾何試題談高三復(fù)習(xí)的幾點(diǎn)體會(huì)

☉江蘇省西亭高級(jí)中學(xué) 戴黃亮

如何搞好高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)？很多教師的做法是刷題，筆者則認(rèn)為靠題海來提升分?jǐn)?shù)是不可取的，高三時(shí)間寶貴，如果不注重策略，不僅不容易收到短時(shí)間的成效，還會(huì)造成學(xué)生學(xué)習(xí)心理的負(fù)面影響，導(dǎo)致不必要的丟分，怎么辦呢？筆者認(rèn)為我們的復(fù)習(xí)要抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì).數(shù)學(xué)本質(zhì)屬于數(shù)學(xué)哲學(xué)范疇，人們從不同的角度看數(shù)學(xué)，便對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)有不同的認(rèn)識(shí).張奠宙教授在討論數(shù)學(xué)本質(zhì)時(shí)指出其內(nèi)涵是：數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程；數(shù)學(xué)思想方法的提煉；數(shù)學(xué)理性精神等.本文結(jié)合筆者在和學(xué)生復(fù)習(xí)“解析幾何”時(shí)遇到的一道題為例，談?wù)勛约簩?duì)高三復(fù)習(xí)的一些粗淺的體會(huì).

一、例題呈現(xiàn)

（1）求橢圓C的方程.

（2）若P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：|AN|·|BM|為定值.

方法一：語言轉(zhuǎn)換.

設(shè)P（x，y），則x2+4y2=4（.由已知P是橢圓C上一點(diǎn)轉(zhuǎn)

0000換）

由（1）知，A（2，0），B（0，1）.

直線PA與y軸交于點(diǎn)M轉(zhuǎn)換）

當(dāng)x0=0時(shí)，y0=-1，|BM|=2，|AN|=2，所以|AN|·|BM|=4.

綜上，|AN|·|BM|為定值.

方法二：利用參數(shù)方程.

參數(shù)方程，可以使參與運(yùn)算的量減少，并且，有時(shí)候參數(shù)的幾何意義亦可使運(yùn)算更為簡(jiǎn)潔.

綜上，|AN|·|BM|為定值.

評(píng)注：方法二雖然使用參數(shù)方程作為切入點(diǎn)，但整體的思路還是幾何語言與代數(shù)語言的相互轉(zhuǎn)化.

二、例題的復(fù)習(xí)啟示作用

1.復(fù)習(xí)要關(guān)注主干知識(shí)

從上面的例1我們可以得到的啟示有很多，其中有一點(diǎn)就是我們的復(fù)習(xí)必須抓住高考熱點(diǎn)問題，要借助于例題的設(shè)置來突出高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段的核心知識(shí)、主干知識(shí).與此同時(shí)，要盡可能地挖掘例題的復(fù)習(xí)教學(xué)功能，盡可能深入地研究問題的本質(zhì)，如例1將考查的重點(diǎn)放在用代數(shù)方法研究幾何性質(zhì)上，突出解析幾何的本質(zhì)特征.

其實(shí)我們高中數(shù)學(xué)階段的高考熱點(diǎn)集中度較高，對(duì)于江蘇高考而言，“三角函數(shù)”屬于重點(diǎn)、熱點(diǎn)問題，同時(shí)也應(yīng)該注意到這一部分知識(shí)因其公式繁多，靈活多變，特別是涉及證明與化簡(jiǎn)的問題，要讓學(xué)生理解并不難，但是要活用也不易，對(duì)初學(xué)者更是如此.我們可以精選例題.如筆者在和學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí)時(shí)，選擇了如下例題.

這是一道三角函數(shù)的證明題，其等式左邊的分子與分母是α、3α與5α角的正余弦的和，右邊是3α角的正切值，形式優(yōu)美，和諧簡(jiǎn)潔.

2.引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一題多解

“一題多解”是有效發(fā)散學(xué)生思維的重要抓手，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一題多解，其復(fù)習(xí)價(jià)值在于引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)視角挖掘與問題相關(guān)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，例1作為高考題可以一題多解，例2的解法也有很多.

解法3：利用角變換解決.從分析法可知，只需證sin2α=sin2α，可以嘗試構(gòu)造sin（3α-α）=cos（5α-3α），等式的左右兩邊分別利用兩角差的正、余弦公式，順勢(shì)展開便可以得到sin3αcosα-cos3αsinα=cos3αsin5αsin3αcos5α，再進(jìn)行移項(xiàng)可以得sin3αcosα+sin3αcos5α= cos3αsinα+cos3αsin5α，為了等式兩邊產(chǎn)生公因式，需添加項(xiàng)，即兩邊同加sin3αcos3α，得sin3α（cosα+cos3α+ cos5α）=cos3α（sinα+sin3α+sin5α），得sinα+sin3α+sin5α cosα+cos3α+cos5α =tan3α.

3.適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行變式探究

為了更為有效地發(fā)展學(xué)生的思維，幫助學(xué)生克服思維定勢(shì)，最終其能力能夠達(dá)到高考的要求，我們的問題設(shè)置還應(yīng)該具有連貫性，即在原有問題解決的基礎(chǔ)上進(jìn)行必要的拓展和變式.

例如，基于上述例2的解法，我們可以對(duì)其進(jìn)行以下變式.

此類問題涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)和證法也很多，這些實(shí)際上都是數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)所在.本文就不一一類舉，給出一種較為簡(jiǎn)單的證法：

有時(shí)結(jié)合例題和變式，從問題的解答過程和結(jié)果出發(fā)，我們還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行必要的推廣，例如，上述問題可以得到下面的推廣：

推廣1：若sinα+sin3α+…+sin（2n-1）α=a，cosα+ cos3α+…+cos（2n-1）α=b，b≠0，則tan（nα

推廣2：若sin2α+sin4α+…+sin2nα=a，cos2α+cos4α+…+cos2nα=b，則tan（n+1）

推廣3：sinα+sin（α+β）+…+sin（α+2nβ）=a，cosα+ cos（α+β）+…+cos（α+2nβ）=b，b≠0，則（n∈Z）.F