摘要：在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生主動參與知識建構(gòu)和問題解決的過程，發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知策略，培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知能力。在《函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像》一課的教學(xué)中，設(shè)計“創(chuàng)設(shè)情境，引出課題”“組織討論，設(shè)計方案”“引導(dǎo)探究，解決問題”“啟發(fā)反思，感悟方法”等環(huán)節(jié)，表明數(shù)學(xué)教學(xué)須授人以“漁”，揭示本質(zhì)，促進(jìn)探究。

關(guān)鍵詞：圖像變換教學(xué)設(shè)計核心素養(yǎng)認(rèn)知策略

近年來，“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”成為數(shù)學(xué)教育研究中一個備受關(guān)注的問題，也成為很多國家數(shù)學(xué)教育的基本價值取向。普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿特別強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)；同時提出幫助學(xué)生學(xué)會“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”“用數(shù)學(xué)的思維分析世界”“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”。如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？筆者認(rèn)為，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生主動參與知識建構(gòu)和問題解決的過程，發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知策略，培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知能力。下面，以《函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像》一課的教學(xué)為例，談?wù)劰P者的實踐與反思。

一、內(nèi)容解析

“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像”是高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識的一個重要內(nèi)容。通過探討函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像與函數(shù)y=sinx的圖像之間的關(guān)系，有助于進(jìn)一步深化對函數(shù)圖像變換的理解和認(rèn)識，也有助于進(jìn)一步體會三角函數(shù)能夠描述周期現(xiàn)象的原因。

《函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像》教學(xué)的重點是分別探討φ、A、ω對函數(shù)y=sin（x+φ）、y=Asinx（A>0）、y=sinωx（ω>0）的圖像的變化規(guī)律。函數(shù)圖像是由點構(gòu)成的，圖像變換的本質(zhì)是圖像上點的變換，而點的位置變化對應(yīng)著點的坐標(biāo)變化。因此，研究函數(shù)圖像的變換規(guī)律，只需研究圖像上每個點的坐標(biāo)的變化規(guī)律。于是，本節(jié)課的教學(xué)可以依據(jù)從“由形導(dǎo)數(shù)”到“由數(shù)釋形”的思路，幫助學(xué)生突破難點，實現(xiàn)思維水平的提升。

二、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

師三角函數(shù)是研究周期現(xiàn)象的，摩天輪就是周期現(xiàn)象的生活實例。請看下面的問題：（PPT出示）如圖1，摩天輪的半徑為Am（A>0），逆時針做勻速轉(zhuǎn)動，角速度為ωrad/min（ω>0）。如果從摩天輪上的點P位于圖中的點P0處開始計時，請在如圖所示的坐標(biāo)系中確定時刻為xmin時點P的縱坐標(biāo)y。

（教師引導(dǎo)學(xué)生先將點P0置于x軸正半軸上，利用正弦函數(shù)的定義得到y(tǒng)=A·sinωx；再將點P0置于如圖1所示的位置，得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）。）

師形如y=Asin（ωx+φ）的函數(shù)在生活中經(jīng)?？梢姟＃ǔ鍪緢D2）比如，彈簧振子在振動過程中離開平衡位置的位移與時間的關(guān)系滿足y=Asin（ωx+φ）。又如，潮汐現(xiàn)象中水位的高度、單擺中的擺角等與時間的關(guān)系也滿足這個解析式。因此，今天我們來探討這個函數(shù)。為了探討方便，令這里的A>0，ω>0。（稍停）按照我們以往的經(jīng)驗，一般我們通過什么方法或途徑探討函數(shù)的性質(zhì)呢？

生圖像。

師（板書課題：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖像）顯然，參數(shù)φ、A、ω取不同實數(shù)，我們就得到不同的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而函數(shù)圖像就發(fā)生變化。在這個“大家庭”中，有你熟悉的函數(shù)嗎？

生函數(shù)y=sinx。

[設(shè)計意圖：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）是刻畫自然界周期現(xiàn)象的重要模型。借助于實際意義來理解函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像性質(zhì)是自然的、清楚的、明白的，不僅能激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生感受研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的必要性，而且抓住了三角函數(shù)的本質(zhì)特征——周期性，同時能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)抽象能力。]

（二）組織討論，設(shè)計方案

師（PPT出示）問題1：如何由y=sinx的圖像得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖像？

（學(xué)生制定研究方案后進(jìn)行交流。教師板書學(xué)生提出的方案，如圖3。）

師對于方案1，已知圖像特征，“五點法”是作簡圖的一種方法，但是此時五點以外其余點的特征尚不清晰，需要深入分析。對于方案2，研究由y=sin（x+φ）的圖像得到y(tǒng)=sin（ωx+φ）的圖像的過程本質(zhì)上還是研究ω的影響，而φ的存在可能會對研究造成干擾。在比較討論的基礎(chǔ)上，可以確定本節(jié)課的研究方案為方案3：相對固定其中2個參數(shù)，變化另外1個參數(shù)，即先分別探討φ、A、ω對函數(shù)y=sin（x+φ）、y=Asinx（A>0）、y=sinωx（ω>0）的圖像的變化規(guī)律，再綜合三者。這里，不僅關(guān)注對φ、A、ω的理解，而且形成類似的多參數(shù)問題的一般研究策略——控制變量，從而將復(fù)雜問題簡單化。

[設(shè)計意圖：首先，面對一個問題，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生規(guī)劃研究思路，重在引導(dǎo)學(xué)生主動參與知識建構(gòu)和問題解決的過程，這有利于學(xué)生認(rèn)知策略的發(fā)展。其次，面對多變量問題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會通過控制變量的個數(shù)將復(fù)雜問題簡單化，體會從簡單到復(fù)雜的研究問題的一般方法。]

（三）引導(dǎo)探究，解決問題

師（PPT出示）問題2：如何由y=sinx的圖像得到y(tǒng)=sin（x+1）的圖像？

生向左平移一個單位。

（其他學(xué)生表示贊同。）

師（利用幾何畫板作圖驗證）你們怎么知道是向左平移一個單位？

生“左加右減”，初中就知道。

師能說明原理嗎？

生比如，取y=sinx的圖像上的點π2，1，在y=sin（x+1）的圖像上對應(yīng)的點是π2-1，1，縱坐標(biāo)沒變且橫坐標(biāo)減少1，所以是向左平移一個單位。

師你取了一對特殊的點，那么圖像上其他的點都有這樣的變化規(guī)律嗎？

生是啊?？梢栽偃讉€點驗證一下。

師你覺得保險了嗎？

生取y=sinx的圖像上的任意一點，記作M（x0，y0），在y=sin（x+1）的圖像上對應(yīng)的點記為N，則N是（x0-1，y0），可見所有的點都向左平移一個單位。

（其他學(xué)生表示贊賞。）

師這位同學(xué)說得很好！我們?nèi)D像上的任意一點M（x0，y0），從變化后對應(yīng)點N的坐標(biāo)不難看出，所有點“齊步向左走了一個單位”，當(dāng)然圖像就向左平移了一個單位。

（教師再舉幾個例子，如y=sin（x-1）、y=sinx+π3等，讓學(xué)生說說變化規(guī)律和理由。）

師可見，函數(shù)圖像是由點構(gòu)成的，圖像變換的本質(zhì)是圖像上點的變換，而點的位置變化對應(yīng)著點的坐標(biāo)變化。因此，研究函數(shù)圖像的變換規(guī)律，只需研究圖像上每個點的坐標(biāo)的變化規(guī)律。

（教師利用幾何畫板出示圖4，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出φ對y=sin（x+φ）的圖像的變化規(guī)律。然后教師完成板書，如圖5。）

y=sinx向左平移1個單位y=sin（x+1）

點M（x0，y0）點N（x0-1，y0）

y=sinx向左（φ>0）或向右（φ<0）平移|φ|個單位y=sin（x+φ）

點M（x0，y0）點N（x0-φ，y0）

[設(shè)計意圖：第一，人們總是借助于具體的事物來理解抽象的概念，這里讓學(xué)生結(jié)合具體的實例，增加歸納的樣本，抽象的概念就簡單了。第二，重點引導(dǎo)學(xué)生“由形導(dǎo)數(shù)”“由數(shù)釋形”說明為什么：圖像變換從形上說是圖像上每個點的位置變化，從數(shù)上講是點的坐標(biāo)變化，這里找出縱坐標(biāo)相同的兩點，從橫坐標(biāo)的變化關(guān)系解釋變換。在說理的過程中引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析問題，從形的直觀走向數(shù)的本質(zhì)。]

師（PPT出示）問題3：（1）如何由y=sinx的圖像得到y(tǒng)=Asinx（A>0）的圖像？（2）如何由y=sinx的圖像得到y(tǒng)=sinωx（ω>0）的圖像？

（學(xué)生類比問題2的解決方法獨立探究，然后交流。教師利用幾何畫板出示圖6，引導(dǎo)學(xué)生得到：y=Asinx（A>0）的圖像是把y=sinx的圖像上所有點在橫坐標(biāo)不變的情況下縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍得到的。然后教師完成板書，如圖7。教師又利用幾何畫板出示圖8，引導(dǎo)學(xué)生得到：y=sinωx（ω>0）的圖像是把y=sinx的圖像上所有點在縱坐標(biāo)不變的情況下橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω倍得到的。然后教師完成板書，如圖9。）

y=sinx橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍y=Asinx（A>0）

點M（x0，y0）點N（x0，Ay0）

y=sinx縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?ω倍y=sinωx（ω>0）

點M（x0，y0）點Nx0ω，y0

[設(shè)計意圖：類比前面的探討方法，請學(xué)生獨立探究A、ω對y=Asinx、y=sinωx的圖像的影響。著重探討φ對y=sin（x+φ）的圖像的變化規(guī)律之后，學(xué)生不難將探討方法遷移到對A、ω的探討中去。此處學(xué)生再次經(jīng)歷“由形導(dǎo)數(shù)”“由數(shù)釋形”的過程，更加突出從點的坐標(biāo)（即數(shù)的本質(zhì)）理性分析、認(rèn)識圖像變換的規(guī)律，體驗探究方法，提升思維水平。]

（四）啟發(fā)反思，感悟方法

師（PPT出示）探究問題：如何由函數(shù)y=sin2x的圖像得到函數(shù)y=sin（2x+1）的圖像？

（學(xué)生思考后交流。）

生我認(rèn)為是向左平移12個單位。

師為什么？

生和前面一樣，取函數(shù)y=sin2x的圖像上的任意一點M（x0，y0），則變換后函數(shù)y=sin（2x+1）的圖像上的對應(yīng)點N的坐標(biāo)是x0-12，y0，所以是向左平移12個單位。

（教師完成板書，如圖10。）

y=sin2x向左平移12個單位y=sin（2x+1）

點M（x0，y0）點Nx0-12，y0

[設(shè)計意圖：探討y=sin（2x+1）的圖像與y=sin2x的圖像的關(guān)系，鞏固本節(jié)課所學(xué)的方法，深化對變換本質(zhì)的把握，也為下節(jié)課的研究做鋪墊。這樣做有利于實現(xiàn)“為理解而學(xué)習(xí)、教學(xué)”這一建構(gòu)主義的核心目標(biāo)。鼓勵學(xué)生進(jìn)行探究，并利用自己的語言進(jìn)行表述，充分暴露學(xué)生的思維；鼓勵學(xué)生對出現(xiàn)的不同結(jié)論進(jìn)行探討，找出問題的正確解答。這樣做有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的理性思維。]

（五）規(guī)劃任務(wù)，拓展延伸

師今天我們分別探討了φ、A、ω對函數(shù)y=sin（x+φ）、y=Asinx（A>0）、y=sinωx（ω>0）的圖像的變化規(guī)律，接下來探討什么呢？

……

[設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生反思的習(xí)慣，確定接下來的探討內(nèi)容和方法。]

三、教學(xué)反思

（一）數(shù)學(xué)教學(xué)須授人以“漁”

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿中界定的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)及其成分實際上是基于一些基本思想方法、思維習(xí)慣的能力。因此，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)本質(zhì)上就是發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知策略，培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知能力。為此，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要教給學(xué)生具體知識和解題過程，而且要教給學(xué)生建構(gòu)知識和解決問題的思路、方法，訓(xùn)練學(xué)生的思維。也就是說，數(shù)學(xué)教學(xué)既要授人以“魚”，更須授人以“漁”，才能切實發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知策略，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。需要注意的是，由于每個人的知識、經(jīng)驗、能力背景不同，認(rèn)識問題的習(xí)慣與特點不同，即使面對同一事物，往往也有不同的理解。這要求我們充分尊重學(xué)生的主體地位，為學(xué)生提供開放的問題，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知策略。

回到本節(jié)課的問題1：“如何由y=sinx的圖像得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖像？”這里，教師并不急于按照教材的安排展開研究，而是鼓勵學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗設(shè)計解決問題的方案。實際教學(xué)中，學(xué)生給出了三種不同的方案，進(jìn)而通過教師引導(dǎo)下的相互交流，深入認(rèn)識了這些方案。雖然課堂時間有限，只能選擇一種方案展開研究，但是學(xué)生得到了一個開放的、動態(tài)的研究過程，從中自然地體悟到分析問題、解決問題的思想方法——將復(fù)雜問題簡單化；形成了對類似的多參數(shù)問題的一般研究策略——控制變量。而且，學(xué)生形成了相應(yīng)的思想方法和研究策略后，可以將其遷移到其他情境的學(xué)習(xí)中，比如物理學(xué)中的多變量問題。學(xué)生能用數(shù)學(xué)的方法思考問題、解決問題，就是具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn)。

（二）數(shù)學(xué)教學(xué)須揭示本質(zhì)

早在近代科學(xué)的黎明時期，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲就指出：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)不在于它的對象，而在于它的思想方法?！睌?shù)學(xué)教學(xué)中，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)對促進(jìn)學(xué)生發(fā)展思維，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)十分有幫助。

回到本節(jié)課的問題2：“如何由y=sinx的圖像得到y(tǒng)=sin（x+1）的圖像？”其實，學(xué)生在初中學(xué)習(xí)二次函數(shù)時，便有“左加右減”的經(jīng)驗了，那么，為什么還要提出這個問題，進(jìn)而深入探討呢？這是因為此時學(xué)生的認(rèn)識僅建立在圖形的直觀上，尚缺乏理性的思考。與初中不同的是，高中階段更注重從代數(shù)的角度深入分析圖像變換的本質(zhì)。在問題解決的過程中，學(xué)生逐步體會到圖像變換的本質(zhì)，即函數(shù)圖像是由點構(gòu)成的，圖像的變換其實是圖像上每個點位置的變化，而點的位置變化對應(yīng)著點的坐標(biāo)變化。因此，只需研究圖像上每個點的坐標(biāo)變化規(guī)律，就能獲得函數(shù)圖像的變換規(guī)律。通過揭示圖像變換的這一數(shù)學(xué)本質(zhì)，學(xué)生從過去的“由形導(dǎo)數(shù)”深化為“由數(shù)釋形”，實現(xiàn)了思維水平的提升，提升了數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等素養(yǎng)。從課堂后續(xù)問題的順利解決能夠看出，理解了圖像變換的數(shù)學(xué)本質(zhì)，難點和易錯點也就迎刃而解了。

（三）數(shù)學(xué)教學(xué)須促進(jìn)探究

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，不能單純地通過接受數(shù)學(xué)事實來實現(xiàn)，更多地需要通過對思想方法的領(lǐng)悟、對數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)和對數(shù)學(xué)問題的解決等活動來實現(xiàn)。而數(shù)學(xué)的思想方法和觀念不能由教師直接告訴學(xué)生，應(yīng)該讓學(xué)生主動探究，通過參與數(shù)學(xué)知識建構(gòu)、數(shù)學(xué)問題解決的過程來獲得。因為在教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生的合作、討論、探究過程中，學(xué)生能不斷完善對事物的理解，看清事物的各個方面。在探究過程中，學(xué)生要不斷對自己的思考過程進(jìn)行反思，對各種觀念進(jìn)行組織和重新組織。這種做法不僅有利于深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識和思想方法，而且有利于提高建構(gòu)與解決的能力，形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

再次回到本節(jié)課的問題1：“如何由y=sinx的圖像得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖像？”面對這個問題，教師鼓勵學(xué)生獨立探索，自由表述，充分暴露學(xué)生的思維。課上，所有的研究方案都是由學(xué)生自主探究生成的，教師因勢利導(dǎo)，鼓勵學(xué)生將自己的不同想法進(jìn)行交流。這樣做有效調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，同時培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力。長此以往，能促進(jìn)學(xué)生形成探究習(xí)慣，從“學(xué)會”到“會學(xué)”，逐步形成數(shù)學(xué)的眼光、思維、語言。

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