摘要：針對“平行線的判定”常規(guī)教學(xué)的不足，從HPM的視角來設(shè)計(jì)和實(shí)施本節(jié)課的教學(xué)：利用重構(gòu)式，從學(xué)生對平行線的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，為學(xué)生創(chuàng)造更多的探究機(jī)會，與數(shù)學(xué)史上數(shù)學(xué)家們對平行線的認(rèn)知相呼應(yīng)，讓學(xué)生更深刻地理解平行線的判定方法一和基本性質(zhì)；采用附加式，展示歷史上平行線符號的演變過程，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)文化。課后反饋表明，這樣的教學(xué)取得了較好的效果，體現(xiàn)了融入數(shù)學(xué)史的“探究之樂”“知識之諧”“方法之美”和“文化之魅”“德育之效”。

關(guān)鍵詞：HPM歷史相似性平行線教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)生反饋

“平行線的判定”是滬教版初中數(shù)學(xué)七年級下冊第十三章《相交線、平行線》第二節(jié)的內(nèi)容。作為其第一課時(shí)的內(nèi)容，教材以生活中的一些實(shí)例為切入點(diǎn)，讓學(xué)生找出身邊的一些平行形象，從而引出平行線的關(guān)鍵屬性（“同一平面內(nèi)不相交”）以及畫法；接著從實(shí)驗(yàn)幾何的角度，通過平推三角尺的操作實(shí)踐得到公認(rèn)正確的基本事實(shí)“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行”，作為平行線的判定方法一；然后仍然通過操作實(shí)踐得到平行線的基本性質(zhì)“過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行”；最后通過例題講解得到平行線的傳遞性。教師通常認(rèn)為，平行線的判定方法很基本，讓學(xué)生一起背幾遍即可。但是，在教學(xué)實(shí)踐中存在著以下問題：（1）平行線是幾何中抽象的概念之一，如何讓學(xué)生在有限不延伸的范圍內(nèi)畫出無限延伸的兩條平行直線？（2）如何讓學(xué)生自然判定它們的平行關(guān)系？（3）怎樣的探究過程更容易讓學(xué)生理解和接受平行線的判定方法一？（4）怎樣讓學(xué)生更好地理解和接受平行線的基本性質(zhì)不能被證明？此外，常規(guī)教學(xué)也無法讓學(xué)生了解平行線符號的演變過程。

教學(xué)前測表明，學(xué)生對“平行線的判定”的理解存在著歷史相似性。因此，我們可以從HPM的視角來設(shè)計(jì)和實(shí)施“平行線的判定”的教學(xué)，從學(xué)生對平行線的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，為學(xué)生創(chuàng)造更多的探究機(jī)會，與數(shù)學(xué)史上數(shù)學(xué)家們對平行線的認(rèn)知相呼應(yīng)，讓學(xué)生更深刻地理解平行線的判定方法一和基本性質(zhì)。此外，我們還可以展現(xiàn)歷史上平行線符號的演變過程，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)文化。當(dāng)然，我們也不能忽視以下教學(xué)目標(biāo)：理解平行線的概念，滲透平面上兩條直線位置關(guān)系的分類思想；會畫已知直線的平行線，體會平行線的判定方法一和基本性質(zhì)的應(yīng)用。

一、歷史材料梳理

（一）平行線及其判定的認(rèn)識過程

“平行線的判定”是從實(shí)驗(yàn)幾何向論證幾何過渡的重要內(nèi)容。人們對平行線及其判定的認(rèn)識與幾何學(xué)的發(fā)展密切相關(guān)，也有實(shí)驗(yàn)和論證兩個(gè)維度。

在西方，“geometry”一詞含有“測地術(shù)”的意思；在中國，“幾何”一詞也含有“多少”與“測地術(shù)”的意思——所以我國明末科學(xué)家徐光啟（1562～1633）將“geometry”翻譯成“幾何學(xué)”（當(dāng)然，也有“geo”與“幾何”發(fā)音相近的原因）。這其實(shí)反映了最初的幾何學(xué)知識來源于人類的生產(chǎn)生活實(shí)踐。古代人民在征服大自然的過程中，逐步認(rèn)識了各種幾何形體，形成了各種幾何概念，發(fā)現(xiàn)了各種幾何規(guī)律和幾何命題。各個(gè)文明古國都以實(shí)踐為主，在幾何學(xué)的一些領(lǐng)域取得了一定的成就。以古代中國為例，春秋戰(zhàn)國時(shí)期，墨家學(xué)派創(chuàng)始人墨翟（約公元前478～公元前392）和其弟子共同完成《墨經(jīng)》一書，在其中對一些直觀的幾何知識作了進(jìn)一步的抽象，比如“平，同高也”，意思就是“距離處處相等的兩條直線的關(guān)系是平行”，即用“距離處處相等”刻畫平行。清朝康熙時(shí)期，梅瑴成主編的《御制數(shù)理精蘊(yùn)》（簡稱《數(shù)理精蘊(yùn)》）是一部包括了西方數(shù)學(xué)知識在內(nèi)的數(shù)學(xué)百科全書，其中有這樣的描述：“凡二線之間寬狹相離之分俱等，則此二線謂之并行線也?！狈g成現(xiàn)代文就是：如果兩條直線之間的距離處處相等，那么這兩條直線平行。與《墨經(jīng)》中一樣，這里也用“距離處處相等”刻畫平行。

以實(shí)踐為主所獲得的幾何知識基本是碎片化的，缺乏理論的系統(tǒng)性。古希臘是一個(gè)早慧、早熟的文明。古埃及的幾何知識傳入古希臘后，隨著古希臘手工業(yè)、商業(yè)和造船業(yè)的發(fā)展，古希臘人逐漸感到那些碎片化、經(jīng)驗(yàn)性的幾何知識不夠用了，需要系統(tǒng)性、理論化的幾何知識來解決各種實(shí)際問題（以及滿足強(qiáng)烈好奇心理）。在這種情況下，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid，約公元前330～公元前275）創(chuàng)造了公理化方法，以論證的方式把當(dāng)時(shí)西方所知道的幾何知識加以整理，寫成了《幾何原本》，成為后世幾何理論的范本?！稁缀卧尽饭?3卷中的幾何知識都是以第1卷中的5個(gè)公理和5個(gè)公設(shè)為基礎(chǔ)的。其中的“第五公設(shè)”也被稱作“平行公理”，即“一條直線與另外兩條直線相交，若某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角和小于兩直角，則這兩條直線不斷延長后在這一側(cè)相交”。這說明了，由角的關(guān)系可以得到平行的位置關(guān)系，即用角的關(guān)系來刻畫平行。從《幾何原本》中可以看出，歐幾里得對于直接承認(rèn)“平行公理”似乎也不太滿意，總是竭力避免或推遲應(yīng)用它，但是最后還是不可避免地用到了它，不然平行線的理論就無法建立，幾何學(xué)中的一系列論斷也就缺乏理論基礎(chǔ)。在歐幾里得以后，許多數(shù)學(xué)家對“平行公理”仍然抱著懷疑的態(tài)度，總是企圖從其他更“明顯”的論斷出發(fā)來推導(dǎo)它，但是最后都以失敗告終。18世紀(jì)，蘇格蘭數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家普萊菲爾（J.Playfair，1748～1819）發(fā)現(xiàn)了與“平行公理”等價(jià)、比“平行公理”通俗易懂的結(jié)論，即“過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行”，并把它作為替代公理，得到了廣泛的認(rèn)同。直到19世紀(jì)，德國數(shù)學(xué)家高斯（C.F.Guass，1777～1855）、俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基（Lobatchevsky，1793～1856）和匈牙利數(shù)學(xué)家亞諾什·鮑耶（J.Bolyai，1802～1860）才發(fā)現(xiàn)了“平行公理”是不可證明的（并且不約而同地用其他公理來代替“平行公理”，從而創(chuàng)造出非歐幾何學(xué)）。

（二）平行線符號的演變過程

符號化是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要基礎(chǔ)，先進(jìn)符號的采用是不可抗拒的歷史選擇，在很大程度上決定著數(shù)學(xué)的發(fā)展。古希臘數(shù)學(xué)家海倫（Heron，約1世紀(jì)）最早創(chuàng)用“OV”或“P”作為表示兩條直線平行的符號。古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯（Pappus，約300～350）看到海倫創(chuàng)用的平行線符號后，感覺不是特別滿意，就將“OV”或“P”中的字母去掉，改用“=”來表示平行（有時(shí)也用“OL”來表示）。顯然，平行線符號“=”是仿照兩條直線平行的形象來創(chuàng)造的?？上У氖?，這個(gè)符號沒有被世人普遍認(rèn)可。雖然17世紀(jì)一些法國數(shù)學(xué)家仍然用“=”表示平行，但是當(dāng)時(shí)等號“=”已經(jīng)被世人普遍接受，若再用它表示平行，會使數(shù)學(xué)符號出現(xiàn)混亂現(xiàn)象。1657年，英國數(shù)學(xué)家奧特雷德（W.Oughred，1574～1660）在《三角形》一書中首次將橫躺著的“=”直立了起來，即用“∥”作為表示兩條直線平行的符號。1685年，英國人卡斯韋爾（J.Kaswell，1655～1712）在著作中使用了這個(gè)平行線符號。之后，這個(gè)平行線符號就一直沿用至今。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

（一）情境引入

學(xué)生在小學(xué)階段接觸過平行線。因此，本節(jié)課的引入以此為基礎(chǔ)，從生活中的實(shí)例出發(fā)，抽象出平行線，并給出文字語言描述性定義；同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生對同一平面內(nèi)兩條不重合的直線的位置關(guān)系進(jìn)行分類，為接下來的新知探究做準(zhǔn)備——

師在我們周圍的世界中到處可見平行線的形象，你能否說出一些身邊的平行線形象？

生雙杠。

生黑板邊框。

生窗框。

師很好！誰能根據(jù)觀察到的平行線形象，嘗試用文字語言給出平行線的定義？

生不相交的兩條直線叫作平行線。

師還有誰能補(bǔ)充一下？

生永遠(yuǎn)不相交的兩條直線叫作平行線。

師還需要補(bǔ)充嗎？

生同一平面內(nèi)永遠(yuǎn)不相交的兩條直線叫作平行線。

師很好！這就是平行線的文字語言描述性定義。同學(xué)們強(qiáng)調(diào)的“永遠(yuǎn)不相交”也體現(xiàn)了兩條直線的無限延伸。那么在這種無限延伸的情況下，同一平面內(nèi)兩條不重合的直線可能有怎樣的位置關(guān)系呢？

生垂直。

師這是什么位置關(guān)系的特殊情況？

生相交。

師還有別的位置關(guān)系嗎？

生（不確定）平行吧。

師很好！同一平面內(nèi)兩條不重合的直線的位置關(guān)系就是相交和平行，其中相交又包括斜交和垂直。（稍停）其實(shí)，今天我們要研究的平行線有專門的符號表示，同學(xué)們想了解它的演變歷史嗎？

生想。

（教師播放微視頻“平行線符號的歷史”，學(xué)生觀看。）

師通過這段微視頻，同學(xué)們能用符號語言表示兩條直線的相互平行關(guān)系嗎？

生a∥b。

（二）新知探究

了解了平行線的文字語言描述性定義之后，學(xué)生需要探究這種無限延伸范圍內(nèi)的“永不相交”如何體現(xiàn)在平行線的實(shí)際畫法和有效判定中。基于歷史相似性，以《墨經(jīng)》《數(shù)理精蘊(yùn)》和《幾何原本》中對平行線的判定（定義）方式為切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從“用距離刻畫平行”到“用角刻畫平行”的探究——

師大家都初步了解了平行線的形象，也知道了平行線的文字語言定義，但是，直線是無限延伸的，這里的形象和定義顯然不能幫助我們畫出和判斷平行線。那么，老師給你一條已知直線，你怎樣才能畫出它的平行線呢？怎么才能判斷它們平行呢？

（學(xué)生小組討論。）

生（出示圖1）在已知直線上取兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)分別作垂線，然后分別在距離為1 cm處取點(diǎn)連線。

生（出示圖2）在已知直線上取三點(diǎn)，過三點(diǎn)分別作垂線，然后在距離為1個(gè)單位處作垂線的垂線。

師這兩位同學(xué)是用兩條直線之間的距離相等來刻畫平行的，與中國古代《墨經(jīng)》中的“平，同高也”和《數(shù)理精蘊(yùn)》中的“凡二線之間寬狹相離之分俱等，則此二線謂之并行線也”是完全一致的。如果穿越到那個(gè)時(shí)代，這兩位同學(xué)都是“小小數(shù)學(xué)家”。（稍停）同學(xué)們再想一想我們前一節(jié)剛學(xué)習(xí)的“三線八角”，能不能考慮用角度關(guān)系來刻畫平行關(guān)系呢？

（學(xué)生小組討論。）

生（出示圖3）我這樣畫可以嗎？

師你是怎么畫的？

生先畫已知直線a的垂線，再畫垂線的垂線b，b就是a的平行線。

師很好！其實(shí)，這種畫法與古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的“一條直線與另外兩條直線相交，若某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角和小于兩直角，則這兩條直線不斷延長后在這一側(cè)相交”思想有著相似之處：如果等于兩直角，就不會相交。這位同學(xué)穿越到那個(gè)時(shí)代，也一定是一位“小小數(shù)學(xué)家”。實(shí)際上，歐幾里得在《幾何原本》中將這一結(jié)論作為最基本的、不證自明的公設(shè)（即公理或基本事實(shí)）之一。（稍停）除此之外，還有別的畫法嗎？

生（出示圖4）按照前面距離的想法，我可以這樣畫嗎？

師你是怎么畫的？

生用三角尺的直角沿直尺上推1 cm，然后沿著邊畫一條直線。

師很好！那么說明兩條直線平行的依據(jù)是什么？

生因?yàn)樵谕频倪^程中，三角尺的直角始終沒有發(fā)生變化，所以可以說同位角都是直角，即是相等的。

師對的，很聰明！不過，這只是一種特殊情況。試想：用三角尺其余任意某個(gè)角和直尺能推出來嗎？

生應(yīng)該能。

師同學(xué)們試一試。

生（出示圖5）我這樣畫可以嗎？

師太棒了！接下來，老師在黑板上給同學(xué)們做個(gè)演示。（演示作圖過程，如圖6所示）通過大家的實(shí)踐操作，可以探究出兩條直線平行的判斷方法一：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩直線平行。簡單地說成：同位角相等，兩直線平行。有了這個(gè)判定方法，同學(xué)們再思考一下：過直線a外一點(diǎn)P畫直線a的平行線，可以畫幾條呢？

生一條。

師對的。這就是平行線的基本性質(zhì)：過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行。這個(gè)結(jié)論與上述古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得《幾何原本》中的公設(shè)是等價(jià)的。顯然，這個(gè)結(jié)論通俗易懂一些。因此，這個(gè)結(jié)論被蘇格蘭數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家普萊菲爾作為替代公設(shè)，得到了廣泛的認(rèn)同。

（三）例題講解

教師通過PPT展示如下教材例題，引導(dǎo)學(xué)生利用兩條直線平行的判斷方法一解決問題。

例題如圖7，直線L與直線a、b、c分別相交，且∠1=∠2=∠3。

（1）從∠1=∠2可以得出哪兩條直線平行？為什么？

（2）從∠1=∠3可以得出哪兩條直線平行？為什么？

在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生思考平行于同一直線的兩條直線是否平行，得到平行線的傳遞性，并嘗試簡單地說理，為以后學(xué)習(xí)幾何證明打下基礎(chǔ)。

（四）“牛刀小試”

教師引導(dǎo)學(xué)生完成如下兩道習(xí)題，鞏固兩條直線平行的判斷方法一的應(yīng)用以及幾何證明的推理。

1.如圖8，為了加固房屋，要在人字形屋架上加一根橫梁DE，使得DE∥BC。如果∠ABC=29°，那么∠ADE應(yīng)為多少度？

2.如圖9，如果同一平面內(nèi)的兩條直線垂直于同一直線，那么這兩條直線平行嗎？

（1）寫出結(jié)論：；

（2）根據(jù)圖示，說明直線a與直線b平行的理由。

∵a⊥c（已知），

∴∠1=（垂直的意義）。

同理，∠2=（垂直的意義）。

得∠1=∠2（等量代換），

∴ab（）。

（五）課堂小結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的知識要點(diǎn)：平行線的文字語言、圖形語言、符號語言表示，平行線判定方法一，平行線的基本性質(zhì)，平行線的傳遞性。然后，教師進(jìn)行點(diǎn)評：“平行線從文字語言到符號語言經(jīng)歷了漫長的演變過程，了解其歷史有助于我們理解平行線；平行線的判定方法一也是依據(jù)歷史，從‘用距離刻畫平行’到‘用角刻畫平行’一步步探究而來的；平行線的基本性質(zhì)也是通過數(shù)學(xué)家的努力，才以現(xiàn)在的通俗易懂的形式出現(xiàn)在課本上的；而有了前面這些知識，我們自然會通過簡單的說理得到平行線的傳遞性。熟記這些知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用于解題固然重要，但是知識的探究過程以及來龍去脈也不能忽視。本節(jié)課中以數(shù)學(xué)史為引導(dǎo)的探究過程也是同學(xué)們以數(shù)學(xué)家的認(rèn)知方式對知識進(jìn)行‘再創(chuàng)造’的過程，可以加深對知識本身的理解。數(shù)學(xué)史上，所有知識的成熟都經(jīng)歷了漫長的發(fā)展歷程。同學(xué)們學(xué)習(xí)知識的過程大致與知識發(fā)展的過程是類似的：由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般，由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)?！?/p>

三、學(xué)生反饋

課后，我們對全班41名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查。結(jié)果顯示：

92.7%的學(xué)生對本節(jié)課整體感覺好，其中18位學(xué)生對本節(jié)課整體感覺非常好，20位學(xué)生對本節(jié)課整體感覺良好；95.1%的學(xué)生喜歡融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)方式，其中20位學(xué)生非常喜歡，19位學(xué)生喜歡；92.7%的學(xué)生認(rèn)為融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)對自己的學(xué)習(xí)有幫助，其中16位學(xué)生認(rèn)為很有幫助，22位學(xué)生認(rèn)為有些幫助。

關(guān)于本節(jié)課中印象最深的內(nèi)容，學(xué)生的回答歸類后按照頻次高低依次為：（1）平行線符號歷史的微視頻；（2）平行線判定方法一的探究過程；（3）歷史上數(shù)學(xué)家對平行線的不斷研究。

關(guān)于本節(jié)課中相關(guān)數(shù)學(xué)史知識對學(xué)習(xí)的幫助和啟示，學(xué)生的回答歸類后按照頻次高低依次為：（1）懂得了數(shù)學(xué)符號是一步步演變過來的；（2）更好地理解并認(rèn)識數(shù)學(xué)了；（3）對數(shù)學(xué)有點(diǎn)興趣了；（3）更加理解平行了。

回答“上完這節(jié)課后，你認(rèn)為還有其他判定同一平面內(nèi)兩條直線平行的方法嗎？為什么”這個(gè)問題時(shí)，有些同學(xué)已經(jīng)可以自主探究推出后續(xù)的兩個(gè)判定定理：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩直線平行；兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩直線平行。

課后，我們還對部分學(xué)生進(jìn)行了訪談。訪談中學(xué)生提到：（1）第一次認(rèn)識到平行線符號是慢慢演變而來的，而不是一下子表示出來的；（2）數(shù)學(xué)史中的平行線定義通俗易懂，像“平，同高也”，“凡二線之間寬狹相離之分俱等，則此二線謂之并行線也”都可以幫助我們加深對平行線的認(rèn)識；（3）數(shù)學(xué)家很厲害，竟然把“平行公理”替代成“過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行”這么簡單的話；（3）老師引導(dǎo)我們動(dòng)手探究，使我們對“三線八角”印象更深。

四、結(jié)語

從學(xué)生課堂探究和課后反饋的情況來看，作為“平行線”的第一課，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知過程，能夠激發(fā)學(xué)生從無到有、從有到優(yōu)的“再創(chuàng)造”興趣，基本實(shí)現(xiàn)了擬定的教學(xué)目標(biāo)，也為后面的學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。

本節(jié)課中，融入數(shù)學(xué)史的內(nèi)容、方式與價(jià)值主要體現(xiàn)在如下方面：

基于學(xué)生對平行線的判定與《墨經(jīng)》《數(shù)理精蘊(yùn)》和《幾何原本》對平行線的判定的歷史相似性，從學(xué)生的已有認(rèn)知出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從“兩條直線之間的距離處處相等”到“同位角相等”的探究過程，很自然地探究出平行線的判定方法一，同時(shí)明白平行線的判定定理是經(jīng)過數(shù)學(xué)家們的不斷努力，逐漸發(fā)展而來的，即采用重構(gòu)式，體現(xiàn)“探究之樂”與“知識之諧”。而且，先用靜態(tài)的距離判定平行，再上升到動(dòng)態(tài)的推角，這種從易到難的方法體現(xiàn)了“方法之美”；先推三角尺的直角，再推三角尺的其余一般角，這種從特殊到一般的方法也體現(xiàn)了“方法之美”。

通過微視頻展現(xiàn)歷史上平行線符號的演變過程，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)文化，即采用附加式，體現(xiàn)“文化之魅”。而且，通過自己對平行線的認(rèn)識（從文字語言、圖形語言到符號語言的過程）與數(shù)學(xué)史上數(shù)學(xué)家們對平行線的認(rèn)識的對比，讓學(xué)生身臨其境，體會到穿越時(shí)空與數(shù)學(xué)家對話的感覺，培養(yǎng)了他們的自信心，體現(xiàn)了“德育之效”。

*本文系本刊連載的汪曉勤教授團(tuán)隊(duì)開發(fā)的HPM案例之一，也系西藏自治區(qū)高校青年教師創(chuàng)新支持計(jì)劃項(xiàng)目“HPM優(yōu)化西藏中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的研究”（編號：QCR2016-63）的系列研究成果之一。本文第一作者現(xiàn)就讀于華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院。

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