羅羨華

摘要：隨機事件的獨立性是概率論與數理統(tǒng)計中的一個重要概念。本文討論了隨機事件獨立性定義的方式選擇問題，分析了由兩個事件到三個事件、由有限個事件到無限個事件的獨立性概念的遞推過程。

關鍵詞：隨機事件；獨立性；平凡事件；互不相容；條件概率

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）14-0085-03

一、前言

隨機事件的獨立性是概率論與數理統(tǒng)計中的一個重要概念。隨機事件獨立性的概念貌似直觀，由二個事件到三個事件、由有限個事件到無限個事件的獨立性概念轉換遞推過程中，許多初等概率論與數理統(tǒng)計教材只是述而不證，在一些細節(jié)上缺乏討論，容易造成學習上的困難。本文的主要目的在于對事件獨立性這個概念的一些細節(jié)問題進行討論，便于讀者理解事件獨立性概念。

二、兩個事件獨立性定義的方式選擇問題

設有兩個事件A與B，一般地，事件A發(fā)生的無條件概率P（A）與其在給定事件B發(fā)生的條件下的條件概率P（A|B）是不相等的，此時表明了事件A與B之間存在某種關系。當P（A|B）>P（A）時，表明事件B的發(fā)生導致事件A發(fā)生的可能性增大。當P（A|B）

定義1[1]：設（Ω，F，P）為一概率空間，A，B∈F為兩個事件，且P（B）>0，如果

則稱事件B隨機獨立于事件A，簡稱B獨立于A。

由定義1和定義2，如果A獨立于B且B獨立于A，則稱A與B相互獨立。進一步注意到，根據概率的乘法公式容易證明如下性質成立。

性質1：設（Ω，F，P）為一概率空間，A，B∈F為兩個事件，且P（A）>0，P（B）>0，則A獨立于B等價于B獨立于A。

因此根據性質1，可以得到A與B相互獨立的如下定義。

定義3：設（Ω，F，P）為一概率空間，A，B∈F為兩個事件且P（A）>0，P（B）>0，如果P（A|B）=P（A），則稱事件A與B相互獨立，簡稱A與B獨立。

應該注意到定義3與定義1的區(qū)別：增加了條件P（A）>0的約束。一個事件獨立于另一個事件也可用一種非常類似的方式來描述，即是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的可能性無影響?？捎脭祵W式子來刻畫之：如果事件B發(fā)生的概率0

在概率論中常用（4）來充當兩個事件獨立性的一般定義。

定義4[1]-[4]：設（Ω，F，P）為一概率空間，A，B∈F為兩個事件，如果（4）式成立，則稱事件A與B相互獨立，簡稱A與B獨立。

用定義3來刻畫兩個事件的獨立性，其優(yōu)點在于兩個事件的獨立性概念的直觀理解，缺點在于受到條件P（A）>0，P（B）>0的約束，而且不便于推廣到多個事件的獨立性。而用定義4來刻畫兩個事件的獨立性，雖然在兩個事件的獨立性概念的理解上不那么直觀，但是其好處在于：其形式關于兩個事件是對稱的，不會受到條件P（A）>0，P（B）>0的約束，即，當P（A）=0或P（B）=0時它仍然成立，從而它總是有意義的，而且便于推廣到任意多個事件的獨立性[1][2]。

注1：由性質2可知，當P（A）=0或P（B）=0，定義4與定義3是不等價的。當P（A）>0，P（B）>0時，定義4與定義3是等價的，此時，再根據性質1可知，A獨立于B，B獨立于A，A與B相互獨立，三者等價。這種情形下，術語“A獨立于B”與“A與B相互獨立”可以交替使用。一些教材，例如文獻[5]，在討論這個問題的時候，并沒有強調條件P（A）>0，P（B）>0的約束，請讀者加以注意。

注2：當P（B）=0時，也可以給出條件概率P（A|B）的定義，這一般是屬于高等概率論的研究內容，超出本文的討論范圍，有興趣的讀者可參考有關專著或教材，例如，文獻[6]給出了相對容易理解的條件概率的嚴格定義。

注3：在判斷兩個事件獨立時，可用定義4來驗證。但是，在許多實際問題中，常常根據實際意義或實際背景或經驗來考察兩個事件有無相互影響，從而判斷這兩個事件的相互獨立性[1]-[4]。用實際意義、背景、經驗來判斷事件獨立性的理由來源于一個所謂的因果獨立性的概念。如果能夠從所研究現象的性質中判斷出兩事件A與B之間不存在任何因果關系，則稱事件A與B是因果獨立的，此時，也就自然地認為它們是相互獨立的[7]。

注4：如果事件A滿足P（A）=0或P（A）=1，則稱事件A是平凡的。如果事件A滿足0

三、三個事件獨立性定義的問題

八、結語

隨機事件的獨立性是概率論與數理統(tǒng)計中的一個重要概念。隨機變量的獨立性、隨機試驗的獨立性、事件域的獨立性等概念都可以源于事件的獨立性的概念。因此，深刻理解事件獨立的概念對隨機變量獨立性等概念的學習理解具有重要作用。

參考文獻：

[1]梁之舜，鄧集賢，楊維權，等.概率論與數理統(tǒng)計（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1988.

[2]陳希孺.概率論與數理統(tǒng)計[M].合肥：中國科學技術大學出版社，1992.

[3]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統(tǒng)計教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統(tǒng)計（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2008.[5]Dekking，F.M. Kraaikamp，C. Lopuhaa，H.P. et al. A Modern Introduction to Probability and Statistics：Understanding Why and How[M].London：Springer-Verlag，2005.

[6]鄭忠國，童行偉，趙慧.高等統(tǒng)計學[M].北京：北京大學出版社，2012.

[7]Cramer，H. The Elements of Probability Theory and Some of Its Applications[M].New York：Wiley & Sons，1955.

[8]Shiryaev，A. N. Problems in Probability[M].New York：Springer，2012.

[9]Borovkov，A. A. Probability Theory[M].London：Springer-Verlag，2013.

[10]毛綱源.概率論與數理統(tǒng)計解題方法技巧歸納[M].武漢：華中理工大學出版社，1999.

[11]王梓坤.概率論基礎及其應用[M].北京：北京師范大學出版社，1996.

[12]林正炎，白志東.概率不等式[M].北京：科學出版社，2006.

Abstract：The independence of random events is one of the important concepts in Probability and Statistics. The selection of the patterns of definition of independence on random events is discussed in this paper. The recursive process，from two to three events and from finite to infinite events，on the concepts of independence is also analyzed in this paper.

Key words：random event；independence；trivial event；mutually exclusive；conditional probability