陳海珍

（邵武第一中學(xué)，福建 邵武 354000）

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中需要的“雙基”
——以《直線與圓的位置關(guān)系》為例

陳海珍

（邵武第一中學(xué)，福建 邵武 354000）

文章從《直線與圓的位置關(guān)系》出發(fā)，在情境創(chuàng)設(shè)和教學(xué)流程等方面談教學(xué)過(guò)程需要怎樣的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。在情境創(chuàng)設(shè)中利用王維的詩(shī)句“大漠孤煙直，長(zhǎng)河落日?qǐng)A”，使圓與直線的位置關(guān)系這一抽象的知識(shí)與學(xué)生早已耳熟能詳?shù)墓旁?shī)發(fā)生聯(lián)系，使直線與圓的位置關(guān)系的知識(shí)固著點(diǎn)變得豐富，變得形象生動(dòng)。在教學(xué)流程上，通過(guò)設(shè)計(jì)水平變式和垂直變式闡述變式是高中數(shù)學(xué)所需的基本技能。

基礎(chǔ)知識(shí)；基本技能；水平變式；垂直變式

一、溝通聯(lián)系：基礎(chǔ)知識(shí)建構(gòu)的教學(xué)訴求

基礎(chǔ)知識(shí)一般指數(shù)學(xué)體系中重要的、基礎(chǔ)性的概念和命題，是學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的重要基石。從構(gòu)建主義的觀點(diǎn)分析，學(xué)生對(duì)新知的學(xué)習(xí)既要與原有的知識(shí)體系建立聯(lián)系，產(chǎn)生縱向的知識(shí)延展，又要與新學(xué)習(xí)的其他知識(shí)有效互動(dòng)，發(fā)生橫向聯(lián)系，進(jìn)而形成較為穩(wěn)定的知識(shí)結(jié)構(gòu)和體系。如《直線與圓的位置關(guān)系》的教學(xué)過(guò)程中便可以很好地體現(xiàn)這一特點(diǎn)。

其一，溝通知識(shí)間的縱向聯(lián)系，尋找知識(shí)固著點(diǎn)。如在課的引入階段，先復(fù)習(xí)初中階段學(xué)習(xí)過(guò)的直線與圓的位置關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)尋找到本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容的“歷史”位置，使該節(jié)課所學(xué)的知識(shí)變得“熟悉”。同時(shí)，還可巧妙地利用王維的詩(shī)句“大漠孤煙直，長(zhǎng)河落日?qǐng)A”，使圓與直線的位置關(guān)系這一抽象的知識(shí)與學(xué)生早已耳熟能詳?shù)墓旁?shī)發(fā)生聯(lián)系，使直線與圓的位置關(guān)系的知識(shí)固著點(diǎn)變得豐富，變得形象生動(dòng)。

其二，溝通知識(shí)間的橫向聯(lián)系。該課的核心知識(shí)是圓與直線的位置關(guān)系，共有三種，即相離、相切、相交。這三者從靜態(tài)的角度看，是獨(dú)立的、平行的關(guān)系，從動(dòng)態(tài)的角度看，是連續(xù)的、一體的。首先，借助落日“下沉”，讓學(xué)生感覺(jué)到這三種關(guān)系從量變到質(zhì)變的動(dòng)態(tài)過(guò)程，突出這三種位置關(guān)系的一體性。其次，通過(guò)呈現(xiàn)直線與圓的位置關(guān)系圖示、分析半徑與距離的關(guān)系、討論判別式與位置關(guān)系之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，建立圖示、交點(diǎn)、方程解在直線與圓位置關(guān)系方面的聯(lián)系。最后，通過(guò)設(shè)計(jì)變式呈現(xiàn)直線與位置關(guān)系的不同表征形式和類型，建立解決直線與位置關(guān)系的不同方法之間的聯(lián)系。這樣可以有效把握知識(shí)之間的聯(lián)系，并根據(jù)知識(shí)之間的聯(lián)系組織教學(xué)，有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中自主找到知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，進(jìn)而順利將新知納入原有知識(shí)結(jié)構(gòu)。

二、提供變式：基本技能掌握的教學(xué)訴求

狹義地講，基本技能指運(yùn)用一些常見(jiàn)的、基本的程序性解決問(wèn)題的行為能力［1］；廣義地講，運(yùn)用已掌握的基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題的行為能力，也算基本技能的范疇。

我們反對(duì)重復(fù)的、機(jī)械的技能訓(xùn)練，但不否認(rèn)技能的形成必須借助一定的練習(xí)來(lái)完成。要避免簡(jiǎn)單重復(fù)的技能訓(xùn)練模式，就必須創(chuàng)設(shè)變式情境，引導(dǎo)學(xué)生形成、強(qiáng)化基本技能。在教學(xué)過(guò)程中，可圍繞求圓與直線的位置關(guān)系這一核心技能設(shè)置系列的變式練習(xí)，促使學(xué)生實(shí)現(xiàn)從基礎(chǔ)知識(shí)到基本技能的轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)直線與圓位置關(guān)系判定及應(yīng)用技能的靈活發(fā)展，同時(shí)讓學(xué)生在形式的變化中體會(huì)數(shù)學(xué)核心知識(shí)的“不變”。

所謂變式，即變化事物的非本質(zhì)屬性，如情境、形式、數(shù)量等，在眾多“變”的映襯下凸顯事物“不變”的性質(zhì)，而這些“不變”的性質(zhì)常常是事物的本質(zhì)。［2］因此，變式既有利于提取事物的本質(zhì)屬性，也有利于人們靈活運(yùn)用事物以應(yīng)對(duì)不同的情境或任務(wù)。具體到《直線與圓的位置關(guān)系》教學(xué)而言，文章設(shè)計(jì)了兩種變式。

其一，水平變式。所謂的水平變式，即變化前后信息和思維基本上處于同一水平層次，一般而言，能豐富學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)，但不會(huì)給學(xué)生帶來(lái)認(rèn)知上的負(fù)荷。如在學(xué)生解決完例1（圓的方程為x2+y2+2y-4=0，可化簡(jiǎn)為 x2+（y-1）2=5，直線方程為 3x+y-6=0），即判斷位置關(guān)系和求交點(diǎn)后，提供變式1:當(dāng)r取何值時(shí)，直線l：3x+y-6=0 和圓 C：x2+（y-1）2=r2相切、相交、相離？將圓的方程換成x2+（y-1）2=r，要求學(xué)生判斷直線與圓的位置關(guān)系。 接著提供變式 2：判斷直線 l：（1+m）x+（1-m）y-2=0（m∈R）與圓：x2+（y-1）2=5 的位置關(guān)系。要求學(xué)生判斷直線與圓的位置關(guān)系。這幾個(gè)地方的變式，變化的都是圓或直線解析式的形式，且基本上是用同樣的方法判斷直線與圓的位置關(guān)系。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，能豐富學(xué)生對(duì)“形式”的理解。

其二，垂直變式。所謂垂直變式，指不僅改變了事物的呈現(xiàn)形式或表達(dá)形式，常常也改變了思考方式或方法策略，呈現(xiàn)出一定的層進(jìn)性特征。在變式2的基礎(chǔ)上，提供變式 3：過(guò)點(diǎn) P（2，4）的直線 l與圓 x2+（y-1）2=4相切，試求l的直線方程，并求其切線長(zhǎng)。要解決變式3的問(wèn)題，學(xué)生需要先求直線方程，并綜合點(diǎn)到直線的距離公式等解決問(wèn)題。進(jìn)而提供變式4：若過(guò)點(diǎn)P（3，4）的直線 l與圓 x2+（y-1）2=4 相切，試求其切線長(zhǎng)。同樣是求切線長(zhǎng)，但可直接從“是否需要求切點(diǎn)”引入，實(shí)現(xiàn)方法上的轉(zhuǎn)移——從利用點(diǎn)到直線的距離轉(zhuǎn)向利用勾股定理解決問(wèn)題。最后提供變式5：自直線l：x+y-2=0上的任一點(diǎn)向圓x2+y2=1引切線，求切線長(zhǎng)的最小值。使切線長(zhǎng)“動(dòng)起來(lái)”，同時(shí)蘊(yùn)涵著轉(zhuǎn)化思想（以非切線的OP最小值確定切線長(zhǎng)的最小值）。很顯然，這樣的變式，帶給學(xué)生的不僅僅是“豐富”，還常常伴隨形式、思維或方法的“突破”。

變式教學(xué)，需要研究“變什么”“怎么變”，而“變什么”“怎么變”必須建立在對(duì)知識(shí)本質(zhì)的深刻理解和對(duì)學(xué)生思維特點(diǎn)的準(zhǔn)確把握的基礎(chǔ)之上。

三、合理滲透：隱性知識(shí)［3］獲得的教學(xué)訴求

目前，雖然高中階段還沒(méi)有正式提出基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和基本思想等教學(xué)要求，但高中階段對(duì)思想方法的關(guān)注由來(lái)已久，對(duì)知識(shí)形成過(guò)程和知識(shí)獲得過(guò)程也日漸關(guān)注。

事實(shí)上，任何知識(shí)和技能的獲得都不可能是單一的，必然伴隨著學(xué)習(xí)者探索或建構(gòu)知識(shí)、形成技能的過(guò)程性情緒體驗(yàn)和思維活動(dòng)，而這些恰恰是隱性知識(shí)的重要組成部分?？梢哉f(shuō)，不管有意還是無(wú)意，教學(xué)過(guò)程都會(huì)影響學(xué)生隱性知識(shí)的發(fā)展。

其一，學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)建構(gòu)過(guò)程。從整體來(lái)看，本節(jié)課以“變”研究“不變”，學(xué)生經(jīng)歷了直線和圓的解析式逐步變化、豐富的過(guò)程，經(jīng)歷了解決直線與圓位置關(guān)系問(wèn)題的從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的過(guò)程。在這一過(guò)程中，學(xué)生模糊、零散的知識(shí)逐步變得清晰，變得具有結(jié)構(gòu)性，同時(shí)也會(huì)獲得豐富的活動(dòng)體驗(yàn)。為了使學(xué)生的體驗(yàn)更清晰和深刻，教師除了自己適時(shí)總結(jié)概括，如果能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕涣?、提煉，就可能更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)化和提煉，更有利于學(xué)生將來(lái)有效遷移本課中獲得的學(xué)習(xí)體驗(yàn)或經(jīng)驗(yàn)。

其二，學(xué)生獲得了數(shù)學(xué)思想的陶冶。在該課的教學(xué)中，注重轉(zhuǎn)化思想，引導(dǎo)學(xué)生不斷地建立新問(wèn)題與舊問(wèn)題的聯(lián)系，將新問(wèn)題轉(zhuǎn)化成舊問(wèn)題解決，同時(shí)抓住變中的不變?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （2011年版）》中所說(shuō)的“數(shù)學(xué)的基本思想”指的是抽象、推理、建模。處于“數(shù)學(xué)的基本思想”下一層次的數(shù)學(xué)思想還有很多。教師要結(jié)合教材編排體系和學(xué)生的接受能力合理取舍、有所側(cè)重地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的滲透，還要結(jié)合情境讓學(xué)生學(xué)會(huì)融會(huì)貫通、靈活應(yīng)用。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有“學(xué)結(jié)構(gòu)，用結(jié)構(gòu)”，才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，才能真正讓學(xué)生輕松又靈活地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，形成基本技能，積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感悟基本思想。

［1］包旭苗.初中數(shù)學(xué)基本技能教與學(xué)現(xiàn)狀的調(diào)查研究［D］.揚(yáng)州:揚(yáng)州大學(xué)，2010.

［2］聶必凱.數(shù)學(xué)變式教學(xué)的探索性研究［D］.上海:華東師范大學(xué)，2004.

［3］李永新，毛鳳梅.新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)施中的隱性知識(shí)教學(xué)［J］.平頂山學(xué)院學(xué)報(bào)，2006（10）.

G420

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1673-9884（2017）08-0060-02

2017-06-19

陳海珍，女，邵武市第一中學(xué)一級(jí)教師。