[摘 要] 在高中數學教學中，若能適時滲透多種解法，有助于展現思維發(fā)散的獨特性，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力.“多解”不僅是高效題解教學的策略，也為培養(yǎng)創(chuàng)新能力開辟了途徑.以一道向量高考試題為例，從多角度進行變式、探究，以期增強學生靈活應用所學知識解決問題的能力.

[關鍵詞] 幾何；基底；坐標；一題多解

對于同一道題，從不同的角度去分析，會讓我們得到不同的啟示，從而引出多種不同的解法. 通過不同視角的觀察，使我們的思維拓展到不同的方向、不同的層次，防止思維定式，從而達到舉一反三、觸類旁通之效. 本文以2016江蘇卷第13題的“多種解法”為例說明.

[?] 問題展示

例 （2016年江蘇卷第13題）如圖1，△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點. 若·=4，·= -1，則·=_____________.

[A][B][C][E][F][D]

圖1

向量在高中數學中起著重要的工作作用，其在平面幾何、解析幾何、立體幾何，甚至其他學科都有著廣泛的應用. 高考對平面向量的直接考查通常以平面幾何為背景，如三角形、四邊形等. 命題形式通常以數量積、平行、垂直、夾角問題為條件或結論. 問題求解的基本策略是結合平面幾何的幾何性質，利用向量加法的三角形（或平行四邊形）法則、減法的三角形法則進行轉化，或者利用坐標法將幾何問題進行代數化處理.

[?] 多角度探究

1. 幾何性質

解法1 如圖1，由于·=·=[（+）2-（-）2]=[（2）2-2]=

變式1 （2016年四川卷第10題）在平面內，定點A，B，C，D滿足

2的最大值是（ ）

=1，=，則點P在以A為圓心、半徑為1的☉A上運動，且M為CP的中點，因此根據平面幾何中的位似變換可知，點M在以CA的中點O為圓心、半徑為=的圓上運動. 由此，

的最大為2的最大值為.

評析：在本題的求解中根據題目已知條件，結合平面幾何的性質構造出相應的圓是問題順利解決的關鍵.

[?] 選基底

解法2 令=a，=b，則=-b，=2a，=3a，=3a-b，=3a+b，=2a-b，=2a+b，=a-b，=a+b，

則·=9a2-b2，·=a2-b2，·=4a2-b2.

由·=4，·=-1可得9a2-b2=4，a2-b2=-1，因此a2=，b2=，因此·=4a2-b2=-=.

變式2 在△ABC中，點M，N滿足=2，=.若=x+y，則x=________ ；y=________.

解析 由=2，=可得=2（-），-=-，即=，=（+），所以=-=（+）-=-，則x=，y=-.

評析：根據平面向量基本定理，通過平面向量的線性運算，將所求向量表示成已知向量的線性組合，進而使問題順利得解.

[?] 巧建系

解法3 如圖3所示，以點D為坐標原點、BC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系.

設A（x，y），BC=2m，則B（-m，0），C（m，0），D（0，0），=（x+m，y），=（x-m，y）. 所以·=x2-m2+y2=4. ①

又E，F是AD上的兩個三等分點，所以=，=，所以E

①-②得x2+y2=5.

① -②得m2=，m2=.

代入式③得·=x2-m2+y2=-=.

變式3 △ABC三邊BC，CA，AB上的中線分別為AD，BE，CF，記BE∩CF=G，求證：=（+）.

證明：任取一點O作原點，建立平面直角坐標系xOy，記A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則E

所以=2，B，G′，E三點共線；

同理，可得C，G′，F三點共線，按題意，G'即G，從而，得==

-x1，-y1

=（x2+x3-2x1，y2+y3-2y1），

因為+=（x2-x1，y2-y1）+（x3-x1，y3-y1）=（x2+x3-2x1，y2+y3-2y1），

所以=（+）.

評析：本題求解中以坐標的代數運算實現問題的解答. 先按照目標構造點G′，再證題設中的G即為G′. 實質上證明了三角形重心G的一個特征性質：++=0（已知此式成立，設△ABC的重心為G′，則由已證，得++=0，再把兩式相減，得3=0，即=0，故點G為重心.）

[?] 解法評析

一題多解的目的不在于“多”而是啟迪思維、開拓思路、提升發(fā)散思維的水平，幫助學生融會貫通地運用所學知識分析問題與解決問題.

解法1以向量加、減法的三角形法則為工具，結合向量數量積的定義，利用共點向量的運算法則，實現未知向已知的轉化.

解法2基底法作為比坐標法更一般性的方法，有著非常廣泛的應用，解題中當我們一時無法得到對問題直觀形象的幾何解釋時，可借助基底法.基底法是平面向量的本質，是解決向量問題的通法，是培養(yǎng)思維能力的有效途徑.

解法3著眼于向量的坐標運算，通過建立坐標系、引入點的坐標將幾何問題代數化處理.數形結合思想是高中重要數學思想之一，其包括“以形解數”和“以數解形”兩個方面，而向量法就是以數解形的有力體現.

從以上解答的分析過程可見多角度探究一道題目的解答過程，體現了不同知識之間的相互溝通. 這種基于問題結構的合理聯想并和自身的解題思維聯系起來的解題策略，有利于提高學生綜合運用已學知識解答數學問題的能力. 教學中教師要鍛煉學生在不同的知識背景下用不同的方法解決同一個問題的能力，進而可使學生在解決數學問題上快速做出合理判斷，選擇最佳解題途徑.