林發(fā)輝

[摘 要] 一道應(yīng)用題，首先要認(rèn)真閱讀，認(rèn)真理解題意，將問(wèn)題中的每一句話（主要是關(guān)系型陳述句）轉(zhuǎn)譯成文字型關(guān)系，再將文字型關(guān)系轉(zhuǎn)譯為文字型等式或不等式，最后將文字型等式或不等式轉(zhuǎn)譯為方程、函數(shù)、不等式等數(shù)學(xué)模型.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；應(yīng)用題；教學(xué)；探討

從教十余年，筆者深感應(yīng)用題教學(xué)之難：教之重點(diǎn)，學(xué)之難點(diǎn)，考試之重要內(nèi)容. 為了解決這個(gè)重要內(nèi)容，初上講壇時(shí)，筆者翻閱資料，向同仁們學(xué)習(xí)了畫(huà)圖分析法、列表分析法，但總覺(jué)得有些缺陷，因?yàn)檫@些方法只能解決一類問(wèn)題或一些問(wèn)題. 后來(lái)，筆者學(xué)習(xí)、探究、借鑒，形成了自己的教學(xué)模式. 現(xiàn)在，筆者總結(jié)出來(lái)，與方家討論.

掌握必備的基礎(chǔ)知識(shí)

如果廚房?jī)?nèi)沒(méi)有各種食物原料，那么再高明的廚娘也做不出飯來(lái)，充其量只能燒水；反之，廚房?jī)?nèi)食物原料豐盛，那么再蹩腳的廚師也能把飯做出來(lái)，可能只是不可口而已. 各類基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)就是食物原料，掌握它們是解題的基礎(chǔ)和依據(jù).

解決應(yīng)用題需要哪些必備的基礎(chǔ)知識(shí)呢？數(shù)與式的化簡(jiǎn)和計(jì)算、方程的解法，一元一次不等式的解法，一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)等. 下面重點(diǎn)說(shuō)一些關(guān)系（包括相等關(guān)系和不等關(guān)系）.

1. 關(guān)系型基礎(chǔ)知識(shí)

（1）總量=各個(gè)部分量之和.

（2）表示同一個(gè)量的兩個(gè)不同的式子相等.

（3）甲比乙大丙：甲=乙+丙；甲比乙小丙：甲=乙-丙；甲是乙的k倍：甲=k乙.

（4）甲比乙多x% ： 甲=乙+x%乙=（1+x%）乙； 甲比乙少x%：甲=乙-x%乙=（1-x%）乙；甲是乙的x%：甲=x%乙.

（5）甲大于乙：甲>乙；甲小于乙：甲<乙；甲不大于乙：甲≤乙；甲不小于乙：甲≥乙.

2. 公式型基礎(chǔ)知識(shí)

（2）行程問(wèn)題中的公式：路程=速度×?xí)r間（S=vt）；平均速度=；順風(fēng)速度=靜風(fēng)速度+風(fēng)速；逆風(fēng)速度=靜風(fēng)速度-風(fēng)速等.

（3）工程問(wèn)題中的公式：工作量=工作效率×工作時(shí)間.

（4）經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的公式：本息和=本金+利息；利息=本金×利率×?xí)r間；利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)；利潤(rùn)率=.

（5）濃度問(wèn)題中的公式：溶液=溶質(zhì)+溶劑；濃度=×100%.

3. 事實(shí)性基礎(chǔ)知識(shí)

線段的和差倍分、各種圖形的性質(zhì)（如正方形的四條邊相等，長(zhǎng)方形的對(duì)邊相等）、等式的有關(guān)性質(zhì)（如對(duì)稱性、傳遞性）、等量加（減）等量還得等量等.

問(wèn)題的轉(zhuǎn)譯

一道應(yīng)用題，首先要認(rèn)真閱讀，認(rèn)真理解題意，將問(wèn)題中的每一句話（主要是關(guān)系型陳述句）轉(zhuǎn)譯成文字型關(guān)系，再將文字型關(guān)系轉(zhuǎn)譯為文字型等式或不等式，最后將文字型等式或不等式轉(zhuǎn)譯為方程、函數(shù)、不等式等數(shù)學(xué)模型. 筆者將這個(gè)過(guò)程叫問(wèn)題的轉(zhuǎn)譯.

因此，問(wèn)題的轉(zhuǎn)譯包括如下程序：將問(wèn)題中的每一句話（主要是關(guān)系型陳述句）轉(zhuǎn)譯成文字型關(guān)系，再將文字型關(guān)系轉(zhuǎn)譯為文字型等式或不等式，最后將文字型等式或不等式轉(zhuǎn)譯為方程、函數(shù)、不等式等數(shù)學(xué)模型.

1. 將問(wèn)題中的每一句話（主要是關(guān)系型陳述句）轉(zhuǎn)譯成文字型關(guān)系，再將文字型關(guān)系轉(zhuǎn)譯為文字型等式或不等式

研究表明，成功的問(wèn)題解決者比不成功者更清楚如何理解應(yīng)用題中的句子，尤其是如何理解包含兩個(gè)變量之間關(guān)系的陳述句. 不成功的問(wèn)題解決者缺乏問(wèn)題轉(zhuǎn)譯的技能.

那么，如何轉(zhuǎn)譯呢？

筆者以為，應(yīng)該認(rèn)真閱讀題目，認(rèn)真考慮每一個(gè)數(shù)據(jù)所表示的量的意義以及它們之間的關(guān)系，進(jìn)而參照已經(jīng)掌握的必備基礎(chǔ)知識(shí)，選擇適用于本題的關(guān)系式. 當(dāng)確定了適用于本題的關(guān)系式后，再對(duì)照、模仿、考慮哪一個(gè)量相當(dāng)于甲，哪一個(gè)量相當(dāng)于乙……從而得出文字等式或不等式. 為了更好地說(shuō)明筆者的思想，以下通過(guò)幾個(gè)例子補(bǔ)充說(shuō)明轉(zhuǎn)譯的方法.

例1 為了拉動(dòng)內(nèi)需，廣東啟動(dòng)“家電下鄉(xiāng)”活動(dòng). 某家電公司銷售給農(nóng)戶的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在啟動(dòng)活動(dòng)前一個(gè)月共售出960臺(tái)，啟動(dòng)活動(dòng)后的第一個(gè)月銷售給農(nóng)戶的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱的銷量分別比啟動(dòng)活動(dòng)前一個(gè)月增長(zhǎng)30%，25%，這兩種型號(hào)的冰箱共售出1228臺(tái).

（1）在啟動(dòng)活動(dòng)后的第一個(gè)月，銷售給農(nóng)戶的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分別為多少臺(tái)？

（2）若Ⅰ型冰箱的價(jià)格是2298元/臺(tái)，Ⅱ型冰箱的價(jià)格是1999元/臺(tái)，根據(jù)“家電下鄉(xiāng)”的有關(guān)政策，政府按每臺(tái)冰箱價(jià)格的13%給購(gòu)買冰箱的農(nóng)戶補(bǔ)貼，問(wèn)：?jiǎn)?dòng)活動(dòng)后的第一個(gè)月銷售給農(nóng)戶的1228臺(tái)Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱，政府共補(bǔ)貼了多少元（結(jié)果保留兩個(gè)有效數(shù)字）？

分析 第一句話是本題的背景. 由“某家電公司銷售給農(nóng)戶的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在啟動(dòng)活動(dòng)前一個(gè)月共售出960臺(tái)”得到“Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在啟動(dòng)活動(dòng)前一個(gè)月共售出960臺(tái)”，即啟動(dòng)活動(dòng)前一個(gè)月，Ⅰ型冰箱+Ⅱ型冰箱=960①. 由“啟動(dòng)活動(dòng)后的第一個(gè)月銷售給農(nóng)戶的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱的銷量分別比啟動(dòng)活動(dòng)前一個(gè)月增長(zhǎng)30%，25%”得到“Ⅰ型冰箱的銷量比啟動(dòng)活動(dòng)前一個(gè)月增長(zhǎng)30%，Ⅱ型冰箱的銷量比啟動(dòng)活動(dòng)前一個(gè)月增長(zhǎng)25%”，即啟動(dòng)活動(dòng)后的第一個(gè)月，Ⅰ型冰箱的銷量=（1+30%）×啟動(dòng)活動(dòng)前一個(gè)月Ⅰ型冰箱的銷量②；啟動(dòng)活動(dòng)后第一個(gè)月Ⅱ型冰箱的銷量=（1+25%）×啟動(dòng)活動(dòng)前一個(gè)月Ⅱ型冰箱的銷量③. 由“啟動(dòng)活動(dòng)后的第一個(gè)月，兩種型號(hào)的冰箱共售出1228臺(tái)”得“啟動(dòng)活動(dòng)后的第一個(gè)月，Ⅰ型冰箱的銷量+Ⅱ型冰箱的銷量=1228” ④. 由“政府按每臺(tái)冰箱價(jià)格的13%給購(gòu)買冰箱的農(nóng)戶補(bǔ)貼”得“政府每臺(tái)冰箱的補(bǔ)貼=13%×每臺(tái)冰箱的價(jià)格”⑤.

例2 某家電商場(chǎng)計(jì)劃用32400元購(gòu)進(jìn)“家電下鄉(xiāng)”指定產(chǎn)品中的電視機(jī)、冰箱、洗衣機(jī)共15臺(tái). 三種家電的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表所示：

（1）在不超出現(xiàn)有資金的前提下，若購(gòu)進(jìn)電視機(jī)的數(shù)量和冰箱的數(shù)量相同，洗衣機(jī)數(shù)量不大于電視機(jī)數(shù)量的一半，商場(chǎng)有哪幾種進(jìn)貨方案？

（2）國(guó)家規(guī)定：農(nóng)民購(gòu)買家電后，可根據(jù)商場(chǎng)售價(jià)的13%領(lǐng)取補(bǔ)貼. 在（1）的條件下，如果這15臺(tái)家電全部銷售給農(nóng)民，國(guó)家財(cái)政最多需補(bǔ)貼農(nóng)民多少元？

分析 由“某家電商場(chǎng)計(jì)劃用32400元購(gòu)進(jìn)‘家電下鄉(xiāng)指定產(chǎn)品中的電視機(jī)、冰箱、洗衣機(jī)共15臺(tái)”得到“電視機(jī)、冰箱、洗衣機(jī)共15臺(tái)”，即電視機(jī)的數(shù)量+冰箱的數(shù)量+洗衣機(jī)的數(shù)量=15①；“不超出現(xiàn)有資金”，即購(gòu)電視機(jī)的費(fèi)用+購(gòu)冰箱的費(fèi)用+購(gòu)洗衣機(jī)的費(fèi)用≤32400②. 由“購(gòu)進(jìn)電視機(jī)的數(shù)量和冰箱的數(shù)量相同”得“電視機(jī)的數(shù)量=冰箱的數(shù)量” ③；由“洗衣機(jī)數(shù)量不大于電視機(jī)數(shù)量的一半”得“洗衣機(jī)數(shù)量≤×電視機(jī)數(shù)量” ④；由“商場(chǎng)售價(jià)的13%領(lǐng)取補(bǔ)貼”得“補(bǔ)貼=13%×商場(chǎng)售價(jià)”④.

許多學(xué)生在解決應(yīng)用題時(shí)，或者缺乏必要的閱讀理解能力（語(yǔ)言性知識(shí)），或者不肯認(rèn)真、仔細(xì)、耐心地分析，或者沒(méi)有熟練掌握上述必備的基礎(chǔ)知識(shí)，因此出現(xiàn)轉(zhuǎn)譯障礙，從而影響問(wèn)題的解決. 長(zhǎng)此以往，學(xué)生便會(huì)產(chǎn)生對(duì)應(yīng)用題的畏難情緒. 調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生覺(jué)得應(yīng)用題很難，很大的原因就是基于此.

為了克服這種障礙，教師至少應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生做好三件事情：第一，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣；第二，讓學(xué)生熟練掌握必備的基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)各種關(guān)系爛熟于心；第三，培養(yǎng)學(xué)生耐心分析問(wèn)題的能力. 教師可以先分析幾道題作為示范，然后學(xué)生嘗試分析. 長(zhǎng)此以往，學(xué)生便會(huì)自己分析問(wèn)題. “磨刀不誤砍柴工”，教師和學(xué)生千萬(wàn)不要覺(jué)得分析會(huì)浪費(fèi)時(shí)間和精力.

2. 將文字型等式或不等式轉(zhuǎn)譯為方程、函數(shù)、不等式等數(shù)學(xué)模型

在這個(gè)轉(zhuǎn)譯過(guò)程中，首先需要確定未知數(shù)（變量），然后將文字等式（或不等式）轉(zhuǎn)譯成方程、函數(shù)、不等式.

（1）未知數(shù)的確定

未知數(shù)主要有兩種設(shè)法：直接設(shè)元、間接設(shè)元. 所謂直接設(shè)元，就是問(wèn)什么量設(shè)什么量；所謂間接設(shè)元，就是問(wèn)這個(gè)量，設(shè)與之關(guān)聯(lián)的另一個(gè)量. 無(wú)論哪種設(shè)法，都應(yīng)該根據(jù)相等關(guān)系進(jìn)行. 選擇哪種設(shè)法，一般無(wú)定法，原則上哪一種設(shè)法利于解題（所謂利于解題指設(shè)未知數(shù)后，其余的量可以由它直接或簡(jiǎn)單變形得到），就選擇哪種設(shè)法.

比如例1中就應(yīng)該間接設(shè)元. 設(shè)在啟動(dòng)活動(dòng)前的一個(gè)月，銷售給農(nóng)戶Ⅰ型冰箱x臺(tái)，則銷售給農(nóng)戶的Ⅱ型冰箱有（960-x）臺(tái)（由①得），啟動(dòng)活動(dòng)后的第一個(gè)月Ⅰ型冰箱的銷量為（1+30%）x臺(tái)（由②得）， Ⅱ型冰箱的銷量為（1+25%）·（960-x）臺(tái)（由③得）. 若直接設(shè)啟動(dòng)活動(dòng)后第一個(gè)月Ⅰ型冰箱的銷量，則其余的量用它表示起來(lái)就復(fù)雜了，且方程也很復(fù)雜，不利于求解. 例2直接設(shè)元即可. 設(shè)購(gòu)買電視機(jī)x臺(tái)，則購(gòu)買冰箱x臺(tái)（由③得），購(gòu)買洗衣機(jī)（15-2x）臺(tái)（由①得）.

（2）方程、函數(shù)、不等式的確定

相等關(guān)系在設(shè)未知數(shù)時(shí)已經(jīng)用掉一些，剩下的關(guān)系用于列方程（組）、不等式（組）、函數(shù). 只需要把文字等式左右兩邊分別轉(zhuǎn)譯成相應(yīng)的代數(shù)式即可.

如例1的第（1）問(wèn)可以通過(guò)方程（1+30%）x+（1+25%）（960-x）=1228（由④得）解決；第（2）問(wèn)可以通過(guò)算式13%×2298×（1+30%）x +13%×1999×（1+25%）·（960-x）解決. 例2的第（1）問(wèn)可以通過(guò)不等式組 ，2000x+2400x+1600（15-2x）≤32400解決；第（2）問(wèn)可以通過(guò)函數(shù)y（財(cái)政補(bǔ)貼）=13%×2100x+13%×2500x+13%×1700（15-2x）解決.

方案的執(zhí)行

當(dāng)方程、不等式、函數(shù)解析式得到以后，利用它們求解是比較容易的. 當(dāng)求出未知數(shù)后，需要檢驗(yàn)解的合理性，同時(shí)寫(xiě)出答案. 最后，筆者再通過(guò)一例說(shuō)明筆者的應(yīng)用題教學(xué)思路.

例3 某校團(tuán)委為了教育學(xué)生，開(kāi)展了以感恩為主題的有獎(jiǎng)?wù)魑幕顒?dòng)，并為獲獎(jiǎng)的同學(xué)頒發(fā)獎(jiǎng)品. 小紅與小明去文化商店購(gòu)買甲、乙兩種筆記本作為獎(jiǎng)品，若買甲種筆記本20個(gè)，乙種筆記本10個(gè)，共用110元；且買甲種筆記本30個(gè)比買乙種筆記本20個(gè)少花10元.

（1）求甲、乙兩種筆記本的單價(jià)各是多少元；

（2）若本次購(gòu)進(jìn)甲種筆記本的數(shù)量比乙種筆記本的數(shù)量的2倍還少10個(gè)，且購(gòu)進(jìn)兩種筆記本的總數(shù)量不少于80個(gè)，總金額不超過(guò)320元，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出本次購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種筆記本的所有方案.

分析1 （1）由“買甲種筆記本20個(gè)，乙種筆記本10個(gè)，共用110元”得“20本甲種筆記本的錢+10本乙種筆記本的錢=110元”；由“買甲種筆記本30個(gè)比買乙種筆記本20個(gè)少花10元”得“30本甲種筆記本的錢=20本乙種筆記本的錢-10”.

解答 （1）設(shè)甲種筆記本的單價(jià)是x元，乙種筆記本的單價(jià)是y元，根據(jù)題意可得20x+10y=110，

所以甲種筆記本的單價(jià)是3元，乙種筆記本的單價(jià)是5元.

分析2 （2）由“本次購(gòu)進(jìn)甲種筆記本的數(shù)量比乙種筆記本的數(shù)量的2倍還少10個(gè)”得“甲種筆記本的數(shù)量=2×乙種筆記本的數(shù)量-10”；由“購(gòu)進(jìn)兩種筆記本的總數(shù)量不少于80本”得“甲種筆記本的數(shù)量+乙種筆記本的數(shù)量≥80”；由“總金額不超過(guò)320元”得“買甲種筆記本的錢+買乙種筆記本的錢≤320”.

總之，筆者在應(yīng)用題教學(xué)時(shí)，以基礎(chǔ)知識(shí)和基本關(guān)系為依據(jù)，以練習(xí)和訓(xùn)練為橋梁，通過(guò)分析、設(shè)元、建模、解模、檢驗(yàn)、答案等步驟，將應(yīng)用題這一重點(diǎn)和難點(diǎn)化解于無(wú)形.