李泓顥

G633.6

縱觀數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，數(shù)學(xué)這門(mén)科學(xué)曾出現(xiàn)三次重大的飛躍.第一次是從算數(shù)到代數(shù)的過(guò)度，第二次是常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的過(guò)度，第三次就是從確定數(shù)學(xué)到隨機(jī)數(shù)學(xué)的過(guò)度。從哲學(xué)的角度講，世界是變化的，世界唯一不變的本質(zhì)就是無(wú)時(shí)無(wú)刻在變化。現(xiàn)實(shí)世界的隨機(jī)本質(zhì)使得各個(gè)領(lǐng)域從確定性理論轉(zhuǎn)向隨機(jī)理論成為自然；而隨機(jī)數(shù)學(xué)就是研究事物變化的最主要的數(shù)學(xué)工具。概率論是隨機(jī)數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的部分，使我們高中學(xué)生所必修的一門(mén)基礎(chǔ)課.但我們已經(jīng)習(xí)慣了用確定思維方式去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，在學(xué)習(xí)概率論時(shí)時(shí)常會(huì)感覺(jué)到基本概念抽象難以理解，思維難以發(fā)散展開(kāi)。這些都使得我們對(duì)這門(mén)課望而生畏，甚至有放棄的念頭。我認(rèn)為在概率論的學(xué)習(xí)過(guò)程中建立學(xué)習(xí)隨機(jī)數(shù)學(xué)的思維方法就十分重要。作為高三生，在學(xué)習(xí)過(guò)程中有一些心得在這里想跟大家探討。

一、了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，概率論產(chǎn)生的時(shí)代背景

這不僅是了解一點(diǎn)點(diǎn)知識(shí)，而是從應(yīng)用的角度，生活的角度宏觀的了解這門(mén)學(xué)科的實(shí)用意義 ，也是思維中建立數(shù)學(xué)模型的一個(gè)基礎(chǔ)。比如說(shuō)概率論中最重要的分布——正態(tài)分布，就是在18 世紀(jì)，為解決天文觀測(cè)誤差而提出的.在17到18 世紀(jì)，由于觀測(cè)儀器不完善以及經(jīng)驗(yàn)缺乏等原因，天文觀測(cè)誤差很大，是天文學(xué)發(fā)展的重要問(wèn)題，科學(xué)家投入了大量的研究。1733年，由德國(guó)的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家德莫弗（DeMoivre）首次提出正態(tài)分布概念，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯（Gauss）率先將正態(tài)分布應(yīng)用于天文學(xué)研究，他指出正態(tài)分布可以很好地“ 擬合” 誤差分布，故正態(tài)分布又叫高斯分布。時(shí)至今日，正態(tài)分布公認(rèn)為最重要的一種概率分布，也是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布。我們知道概率論中，古典概型要求樣本空間有限，而幾何概型恰好可以消除這一條件，這兩種概型我們不難理解。但是繼而出現(xiàn)的概率公理化定義，我們總認(rèn)為抽象、難以理解。尤其是概率公理化定義里出現(xiàn)的σ 代數(shù)這一概念：設(shè)Ω 為樣本空間，若Ω 的一些子集所組成的集合？ 滿足下列條件：（1）Ω∈？ ；（2）若A∈ ？ ，則A∈ ？ ；（3）若∈ n A ？ ，n =1， 2，？？，則∈∞=nnA ∪1？ ，則我們稱 ？ 為Ω 的一個(gè)σ 代數(shù)。我們?cè)鯓硬拍芨玫睦斫膺@一概念呢？很多同學(xué)相比之下更適合形象思維，于是我們引入幾何概型的一點(diǎn)歷史，幫助理解為什么要建立概率的公理化定義，為什么需要σ 代數(shù)。幾何概型計(jì)算方法是19 世紀(jì)末新發(fā)展起來(lái)的，是在古典概型基礎(chǔ)上進(jìn)一步的發(fā)展，是等可能事件的概念，從有限向無(wú)限的延伸。1899 年，法國(guó)學(xué)者貝特朗提出了所謂“ 貝特朗悖論” ，矛頭直指幾何概率概念本身.這個(gè)悖論是：給定一個(gè)半徑為1 的圓，隨機(jī)取它的一條弦，問(wèn)：

弦長(zhǎng)不小于3 的概率為多大？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，我們假定端點(diǎn)在圓周上均勻分布，結(jié)果概率等于1/3；假定弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布，得出概率為1/2；假定弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布，隨之概率又等于1/4。同一個(gè)問(wèn)題，竟有3 種不同的答案，原因在于取弦時(shí)采用了不同的等可能性假定！這3 種答案針對(duì)的是3 種完全不同的隨機(jī)試驗(yàn)，于各自的隨機(jī)試驗(yàn)而言，都是正確的.因此在使用“ 隨機(jī)” 、“ 等可能”、“ 均勻分布” 等條件概念時(shí)，應(yīng)明確其含義，這又因試驗(yàn)而不同而不同.也就是說(shuō)我們?cè)诩俣ǘ它c(diǎn)在圓周上均勻分布時(shí)，就不能考慮弦的中點(diǎn)在直徑上均勻分布或弦的中點(diǎn)在圓內(nèi)均勻分布所對(duì)應(yīng)的事件。換言之，我們?cè)诩俣ǘ它c(diǎn)在圓周上均勻分布時(shí)，只把端點(diǎn)在圓周上均勻分布所對(duì)應(yīng)的元素看成為事件。

二、廣泛運(yùn)用案例學(xué)習(xí)法

案例與一般例題不同，它有產(chǎn)生問(wèn)題的實(shí)際背景，并能夠?yàn)槲覀兯斫狻Ｎ覀兺ㄟ^(guò)案例引導(dǎo)到實(shí)際問(wèn)題中去，通過(guò)分析和討論，提出解決問(wèn)題的途徑和方法。我們可以從直觀性、趣味性和易于理解的角度把概率論基礎(chǔ)知識(shí)加以認(rèn)知。條件概率一節(jié)時(shí)有一個(gè)有趣的案例——“ 瑪麗蓮問(wèn)題” ：十多年前，美國(guó)的“ 瑪利亞幸運(yùn)搶答”

了這樣一道題在電臺(tái)公布：三扇門(mén)的背后，我們分別定義為1號(hào)、2號(hào)、3號(hào)，分別藏了兩只羊與一輛小汽車，如果你猜對(duì)了藏汽車的門(mén)，汽車就歸你所有。如果你第一個(gè)選擇了1 號(hào)門(mén)，然后主持人打開(kāi)了剩余兩扇門(mén)其中的一個(gè)，這扇門(mén)背后是只羊，你看到了，接著問(wèn)你是否應(yīng)該重新選擇，以增大猜對(duì)汽車的概率？

這個(gè)問(wèn)題與類似于當(dāng)前電視上一些娛樂(lè)競(jìng)猜節(jié)目，我們很容易積產(chǎn)生興趣。討論的結(jié)果是這個(gè)問(wèn)題的答案與主持人是否知道所有門(mén)背后的東西相關(guān)，這樣就可以很自然的理解條件概率。在這樣熱烈的氣氛里學(xué)習(xí)新的概念，一方面使得我們積極性高漲，另一方面讓我們認(rèn)識(shí)到所學(xué)的概率論知識(shí)與我們的日常生活息息相關(guān)。因此在學(xué)習(xí)概率論基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)，關(guān)注有關(guān)經(jīng)典的案例，會(huì)幫助我們理解。例如看電影《賭神》時(shí)，我們分析撲克牌出現(xiàn)三A的概率或者同花順的概率；再比如我們看世界杯時(shí)分析某支球隊(duì)的奪冠概率等。

總之，在概率論的學(xué)習(xí)中，建立學(xué)習(xí)隨機(jī)數(shù)學(xué)的思維方法，通過(guò)信息手段的多樣化，來(lái)豐富的所學(xué)內(nèi)容，加深我們對(duì)客觀隨機(jī)現(xiàn)象的理解與認(rèn)知。概率論在我們的生活中應(yīng)用廣泛，我們必須掌握這些知識(shí)，以便于我們今后的工作和學(xué)習(xí)中靈活運(yùn)用。