楊先山

（長(zhǎng)江大學(xué) 信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023）

行列式及其性質(zhì)的幾何解釋

楊先山

（長(zhǎng)江大學(xué) 信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023）

對(duì)行列式及其性質(zhì)的幾何意義進(jìn)行研究，得到二階行列式是平行四邊形帶符號(hào)的面積，三階行列式是平行六面體帶符號(hào)的體積，將其推廣，引入超平行多面體和多個(gè)向量的向量積的概念，得到高階行列式的幾何意義是超平行多面體帶符號(hào)的廣義體積.最后，以二階行列式為例，對(duì)行列式的性質(zhì)進(jìn)行了幾何直觀上的解釋.

行列式；超平行多面體；向量積；面積；體積

行列式是理工科數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的工具性知識(shí)，不僅在代數(shù)中起著不可或缺的作用，而且在計(jì)算機(jī)科學(xué)，工程技術(shù)，經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域有著廣泛的適用性.在線性代數(shù)教材[1,2]中對(duì)行列式的介紹大多都是“由定義到定理”式的層層推進(jìn)，雖然嚴(yán)密，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)邏輯性強(qiáng)和抽象性的特點(diǎn)，但復(fù)雜、晦澀的表達(dá)式也使得初學(xué)者對(duì)線性代數(shù)望而生畏.下面，筆者將對(duì)行列式的定義及常見(jiàn)性質(zhì)給出幾何直觀的解釋.

1 行列式的幾何意義

證明 如圖1所示，以行向量α1=(a11,a12)與α2=(a21,a22)為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形OACB,記α1=a11i+a12j，α2=a21i+a22j，則α1×α2=(a11a22-a12a21)k，因此平行四邊形OACB的面積

圖1 二階行列式的幾何示意

圖2 三階行列式的幾何示意

證明 如圖2所示，以行向量 α1=(a11,a12,a13)，α2=(a21,a22, a23)，α3=(a31,a32,a33)為相鄰的棱構(gòu)成的平行六面體的體積

另一方面，α1·(α2×α3)=|α1||α2×α3|cosγ，γ為 α2×α3與α1的夾角，當(dāng)α1，α2，α3構(gòu)成右手系時(shí)γ為銳角，行列式符號(hào)為正，反之為負(fù).

將二、三階行列式的幾何意義向n(n＞3)階行列式類推，三維空間中的平行六面體和兩個(gè)向量的向量積的概念推廣到Rn中，引入如下定義：

定義1[3]Rn中m個(gè)行向量α1,α2,…,αm構(gòu)成的形式為

的所有向量的集合稱為由向量α1,α2,…,αm張成的超平行多面體，記作Hm.稱α1,α2,…,αm為Hm的棱.由向量α1,α2,…,αm張成的超平行多面體Hm-1稱為Hm對(duì)應(yīng)于α1的底.記矩陣稱為超平行多面體Hm的廣義體積（面積）.

顯然，如此定義的體積（面積）V(Hm)是二維、三維歐氏空間中面積、體積概念的推廣，當(dāng)α1,α2,…,αm線性相關(guān)時(shí)V (Hm)=0，α1,α2,…,αm線性無(wú)關(guān)時(shí)，體積V(Hm)≠0，稱超平行多面體Hm的維數(shù)為m.

定義 2[4]設(shè)e1,e2,…,en是Rn中的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，Rn中的n-1個(gè)向量αi,=(ai1,ai2,…,ain)的向量積是一個(gè)向量，記作ψ或[α1α2…αn-1].

其中A1j(j=1,2,…,n)為ψ的(1,j)元的代數(shù)余子式.

容易驗(yàn)證ψ與α1，α2，…，αn-1都正交，且ψ的方向由α1，α2，…，αn-1順次按右手法則確定.

引理1 |[α1α2…αn-1]|是由向量α1，α2，…，αn-1張成的超平行多面體Hn-1的廣義體積（面積）.

當(dāng)α1，α2，…，αn-1線性相關(guān)時(shí)，R(AAT)≤R(A)＜n-1，故|AAT|=0；當(dāng)α1，α2，…，αn-1線性無(wú)關(guān)時(shí)，[α1α2…αn-1]2≠0，此時(shí)

上式中|[α2α3…αn]|是由向量α2α3…αn張成的超平行多面體Hn-1的廣義體積，|α1|cosθ是向量α1在向量[α2α3…αn]上的投影，其絕對(duì)值恰好是超平行多面體Hn對(duì)應(yīng)于α1的底上的高，符號(hào)與cosθ的正負(fù)一致.

2 行列式的性質(zhì)[1]的幾何解釋

性質(zhì)1 如果行列式中有一行元素全為零，則行列式等于零；有兩行元素成比例，則行列式等于零；有兩行完全相同，則行列式等于零.

從行列式的幾何意義上看，如果行列式中有一行元素全為零，或有兩行元素成比例，或有兩行完全相同，則α1，α2，…，αn線性相關(guān)，此時(shí)由向量α1，α2，…，αn張成的超平行多面體的維數(shù)小于n，因此其廣義體積等于零.

性質(zhì)2 互換行列式的兩行，行列式變號(hào).

由定義2可知，如果互換α1，α2，…，αn中兩個(gè)向量的順序，則[α2…αn的方向恰好反向，因此[α1α2…αn]與α1的夾角θ變成α±π，余弦值變成原來(lái)的相反數(shù)，故其帶符號(hào)的體積變號(hào).

性質(zhì)3 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.

記 α1=(a11,a12)，α2=(a21,a22)，β1=(a11,a12)，β2=(a21,a22)，則 det的轉(zhuǎn)置行列式為見(jiàn)圖3，按行列式的幾何意義的絕對(duì)值等于平行四邊形OACB的面積（記作S1）的絕對(duì)值等于平行四邊形ODFE的面積（記作S2），

圖3 行列式轉(zhuǎn)置的幾何示意

性質(zhì)4 行列式的某一行中所有的元素都乘以同一個(gè)數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式.

圖4 數(shù)乘行列式的幾何示意

見(jiàn)圖4，將平行四邊形OACB的一邊OA伸長(zhǎng)k倍變成OD，則平行四邊形變成ODEB，其面積也擴(kuò)大k倍.即det

性質(zhì)5 若行列式的某一行的元素是兩數(shù)之和，則等于兩個(gè)行列式之和.

如圖5所示，平行四邊形OACD與平行四邊形ADEC的面積之和等于平行四邊形ODEB的面積.即

圖5 行列式的和的幾何示意

性質(zhì)6 把行列式的某一行的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變.

圖6 行列式的性質(zhì)6的幾何示意

如圖6所示，將向量α2+kα1的起點(diǎn)固定在原點(diǎn)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)k，其終點(diǎn)D落在直線BC上，即平行四邊形OAED與平行四邊形OACB的OA邊上的高相等，所以面積相等.另外，α1，α2與 α1，α2+k α1的相對(duì)方位一致，因此 det

〔1〕同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)[M]．北京：高等教育出版社，2014.

〔2〕王萼芳,石生明.高等代數(shù)[M]．北京：高等教育出版社，2013.

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2016-12-17