北京豐臺二中(100071) 甘志國

數(shù)學(xué)文化高考題舉隅(I)*

北京豐臺二中(100071) 甘志國

2016年10月8日,教育部考試中心公布了《關(guān)于2017年普通高考考試大綱修訂內(nèi)容的通知》(教試中心函〔2016〕179號).關(guān)于數(shù)學(xué)科目修訂的內(nèi)容主要是以下兩條：

(1)在能力要求內(nèi)涵方面,增加了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的要求,增加了數(shù)學(xué)文化的要求.同時對能力要求進行了加細(xì)說明,使能力要求更加明確具體.

(2)在現(xiàn)行考試大綱三個選考模塊中刪去“幾何證明選講”,其余2個選考模塊的內(nèi)容和范圍都不變.考生從“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”“不等式選講”2個模塊中任選1個作答.

著名數(shù)學(xué)教育家、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系張奠宙(1933～)教授在《數(shù)學(xué)教學(xué)》2015年第9期封底的“教育隨筆”欄發(fā)表了文章《多一點數(shù)學(xué)文化的考題》[1],該文詮釋了數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵：“數(shù)學(xué)文化指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點、語言,以及它們的形成和發(fā)展.數(shù)學(xué)作為一種文化現(xiàn)象,早已是人們的常識.狹義的數(shù)學(xué)文化指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點、語言,以及它們的形成和發(fā)展;廣義的數(shù)學(xué)文化除上述內(nèi)涵以外,還包含數(shù)學(xué)家,數(shù)學(xué)史,數(shù)學(xué)美,數(shù)學(xué)教育.數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系,等等.在即將公布的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中給予了特別的重視,數(shù)學(xué)文化是一個單獨的板塊.”

本文將談?wù)勔郧案呖贾谐霈F(xiàn)過的數(shù)學(xué)文化試題的特點,旨在師生對2017屆高考復(fù)習(xí)備考有所裨益.

1 以數(shù)學(xué)史為背景的數(shù)學(xué)文化高考試題

1.1 中國古代數(shù)學(xué)名著及數(shù)學(xué)家

題1 (1)(2011年高考湖北卷文科第9題)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第5節(jié)的容積為( )

(2)(2011年高考湖北卷理科第13題)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第5節(jié)的容積為___升.

解(1)B.(2)

這兩道小題實質(zhì)是同一道題,解法也相同：設(shè)這9節(jié)竹子自上而下各節(jié)的容積形成公差為d升的等差數(shù)列{an}(升),可得

評析在兩千多年的世界數(shù)學(xué)發(fā)展史上,大數(shù)學(xué)家燦若明珠,數(shù)學(xué)著作浩如煙海,這些著作對世界科學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響,比較起來,現(xiàn)在各國數(shù)學(xué)家普遍認(rèn)為下面七部名著對數(shù)學(xué)的發(fā)展影響最大：

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得(公元前330年～公元前275年)的《幾何原本》,中國古代的《九章算術(shù)》(其作者不詳,大約成書于公元前3世紀(jì)至公元前1世紀(jì),它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)體系的形成),阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米(約780～約850)的《代數(shù)學(xué)》,法國哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家笛卡爾(Rene Descartes,1596～1650)的《幾何學(xué)》,英國科學(xué)家牛頓(Isaac Newton,1642～1727)的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》,瑞士數(shù)學(xué)大師歐拉(Leonhard Euler,1707-1783)的《無窮分析引論》,德國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家高斯(C.F.Gauss,1777～1855)的《算術(shù)研究》.

“竹九節(jié)”問題,就出自《九章算術(shù)》,考生見到該題,自然會從內(nèi)心產(chǎn)生強烈的民族自豪感,所以該題也是對學(xué)生進行愛國主義教育的好材料.

這兩道小題還是一對姊妹題,考查的知識點相同,都是等差數(shù)列的性質(zhì)及通項公式的求法.

題2 (1)(2012年高考湖北卷理科第10題)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù),以十六乘之,九而一.所得開立方除之,即立圓徑.“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V,求其直徑d的一個近似公式人們還用過一些類似的近似公式.根據(jù)π=3.14159···判斷,下列近似公式中最精確的一個是( )

(2)(2013年高考湖北卷文科第16題)我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時,用一個圓臺形的天池盆接雨水,天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是___寸.

(注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸)

(3)(2014年高考湖北卷理科第8題即文科第10題)《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍,其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h(yuǎn),計算其體積V的近似公式它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么,近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為( )

(4)(2015年高考湖北卷文科、理科第2題)我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧,有人送米1534石,驗得米內(nèi)夾谷,抽樣取米一把,數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒,則這批米內(nèi)夾谷約為( )

A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石

(2)3.由題設(shè)可得,天池盆盆口的半徑為14寸,盆底的半徑為6寸,得盆口的面積為196π寸2,盆底的面積為36π寸2.

評析這四道題均出自于中國古代的重要數(shù)學(xué)著作,它們對考生的閱讀能力有較強的考查;還對近似計算,球、圓臺、圓錐的體積計算,分層抽樣都有較好的考查.

題3 (2015年高考全國卷I文科、理科第6題)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問：積及為米幾何?”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖1,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有( )

A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D 66斛

圖1

題4 (2015年高考全國卷II文科、理科第8題)下邊程序框圖14的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”.執(zhí)行該程序框圖,若輸入的a,b分別為14,18,則輸出的a=()

圖2

A.0 B.2 C.4 D.14

題5 (2016年高考四川卷理科第6題)秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進的算法.如圖3所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例,若輸入n,x的值分別為3,2,則輸出v的值為( )

A.9 B.18 C.20 D.35

圖3

答案：B.(此題與2016年高考四川卷文科第8題實質(zhì)一樣,只是后者的選項變成了“A.35 B.20 C.18 D.9”.)

評析普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)3·必修· A版》(人民教育出版社,2007年第3版)(下簡稱《必修3》)第34-45頁講述了“輾轉(zhuǎn)相除法”和“更相減損術(shù)”、“秦九韶算法”、“進位制”這三個算法案例.以上題4,5考查的就是其中的內(nèi)容.

秦九韶(1202～1261),生于山東,是南宋杰出的數(shù)學(xué)家,他所著《數(shù)書九章》中載有多項中國首創(chuàng)的、世界領(lǐng)先的重大數(shù)學(xué)成果,其中繼承發(fā)展自劉益、賈憲以來的我國求高次方程近似解的“秦九韶法”與歐洲人的“霍納-魯菲尼法”相同,而且時間上“秦九韶法”要早五百多年.

題6(1)(2015年高考湖北卷理科第19題)《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.

如圖4所示,在陽馬P-ABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,過棱PC的中點E,作EF⊥PB交PB于點F,連接DE,DF,BD,BE.

圖4

①證明：PB⊥平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑,若是,寫出其每個面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,說明理由.

②若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為求的值.

(2)(2015年高考湖北卷文科第20題)《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.

在如圖5所示的陽馬P-ABCD中,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,點E是PC的中點,連接DE,BD,BE.

圖5

①證明：DE⊥平面PBC.試判斷四面體EBCD是否為鱉臑,若是,寫出其每個面的直角(只需寫出結(jié)論);若不是,請說明理由.

②記陽馬P-ABCD的體積為V1,四面體EBCD的體積為V2,求的值.

答案(1)① 四面體DBEF是一個鱉臑,其四個面的直角分別為∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.②

(2)①四面體EBCD是一個鱉臑,其四個面的直角分別是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB.②4.

評析該題又是出自我國古代的重要經(jīng)典著作《九章算術(shù)》,同時該題也是立體幾何的一道好題,注重基礎(chǔ)常規(guī),對空間想象能力和基本計算的考查到位.

1.2 阿波羅尼斯圓

題7 (2008年高考江蘇卷第13題)若AB=2,AC=

解由于AB為定長,因此△ABC的面積由AB邊上的高決定,而動點C滿足AC=所以可如圖6所示建立平面直角坐標(biāo)系,求出點C滿足的方程.

圖6

評析可以證明：在平面內(nèi)到兩個定點的距離之比是不為1的正常數(shù)的點的軌跡是圓(這個圓就是阿波羅尼斯(Apollonius of Perga,公元前262～公元前190)圓).

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)2·必修·A版》(人民教育出版社,2007年第3版)(下簡稱《必修2》)第140頁的例題“已知點P(2,0),Q(8,0),點M與點P的距離是它與點Q的距離的用《幾何畫板》探究點M的軌跡,并給出軌跡的方程.(答案：軌跡方程是(x-1.75)2+y2=1.252)”及第144頁復(fù)習(xí)參考題B組第2題“已知點M(x,y)與兩個定點M1,M2距離的比是一個正數(shù)m,求點M的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形(考慮m=1和m/=1兩種情形)”都是阿波羅尼斯圓的問題.

對于題7,考生若不知道其背景是阿波羅尼斯圓,就會用解三角形的知識來求解,運算量會大不少：

下面的題8～11的背景也都是阿波羅尼斯圓：

題8 (2006年高考四川卷理科第6題)已知兩定點A(-2,0),B(1,0),如果動點P滿足|PA|=2|PB|,則點P的軌跡所包圍的面積等于( )

A.πB. 4πC. 8πD. 9π

答案：B.

題9 (2014年高考湖北卷文科第 17題)已知圓O:x2+y2=1和點A(-2,0),若定點B(b,0)(b/=-1)和常數(shù)λ滿足：對圓O上任意一點M,都有|MB|=λ|MA|,則

題10 (2013年高考江蘇卷第17題)如圖7,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A(0,3),直線l:y=2x-4.設(shè)圓C的半徑為1,圓心在l上.

圖7

(1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點A作圓C的切線,求切線的方程;

(2)若圓C上存在點M,使MA=2MO,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

答案(1)y=3或3x+4y-12=0.(2)

題11 (2015年高考湖北卷理科第14題)如圖8所示,圓C與x軸相切于點T(1,0),與y軸的正半軸交于兩點A,B(B在A的上方),且|AB|=2.

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____;

圖8

評析1)以上解答并沒有用到題設(shè)“三點M,A,N共線”.

2)可把該題的結(jié)論推廣為：若圓C與x軸相切于點T(1,0),與y軸的正半軸交于兩點(a是已知的正數(shù)),則

(1)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

1.3 米勒問題

題12 (2005年高考天津卷文科、理科第20題)某人在一山坡P處觀看對面山項上的一座鐵塔,如圖9所示,塔高BC=80(米),塔所在的山高OB=220(米),OA=200(米),圖9中所示的山坡可視為直線l且點P在直線l上,l與水平地面的夾角為試問此人距水平地面多高時,觀看塔的視角∠BPC最大(不計此人的身高)?

圖9

解可如圖10所示建立平面直角坐標(biāo)系xOy,可求得直線PA直線PA與y軸的交點T(0,-100).

可以證明“當(dāng)且僅當(dāng)過點B,C的圓與射線AP相切于點P(點P在第一象限)時,∠BPC最大”：

對于射線AP上不同于點P的點P′,設(shè)直線BP′交圓于點D,可得∠BP′C＞∠BDC=∠BPC.由切割線定理,可得|TP|2=|TB|· |TC|=(100+220)(100+

評析在圖10中,在射線AP上尋找點P使∠BPC最大的問題就是米勒(Joannes miiller,德國數(shù)學(xué)家)問題,其起源是米勒于1471年向諾德爾(Christion roder)教授提出的一個類似問題.

圖10

下面的題13～16的背景也都是米勒問題：

題13 (2005年高考浙江卷理科第17題)如圖11,已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點,焦點F1,F2在x軸上,長軸A1A2的長為4,左準(zhǔn)線l與x軸的交點為M,|MA1|:|A1F1|=2:1.

圖11

(1)求橢圓的方程;

(2)若直線l1:x=m(|m|＞1),P為l1上的動點,使∠F1PF2最大的點P記為Q,求點Q的坐標(biāo)(用m表示).

解(1)(過程略).

(2)由米勒問題的解答可知,當(dāng)且僅當(dāng)過點F1,F2的圓與線l1相切時∠F1PF2最大(如圖12所示).此時,設(shè)線l1與x軸交于點M,由切割線定理,可得|MQ|2=|TF1|·|TF2|=|m+1|·|m-1|=m2-1,|MQ|=所以點Q的坐標(biāo)是

圖12

題14 (2005年高考浙江卷文科第19題)如圖13,已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點,焦點F1,F2在x軸上,長軸A1A2的長為4,左準(zhǔn)線l與x軸的交點為M,|MA1|:|A1F1|=2:1.

圖13

(1)求橢圓的方程;

(2)若點P在直線上運動,求∠F1PF2的最大值.

解(1)(過程略).

(2)由米勒問題的解答可知,當(dāng)且僅當(dāng)過點F1,F2的圓與線l1相切時,∠F1PF2最大(如圖2所示).

題15 (2010年高考江蘇卷第17題)某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位：m),如圖14,垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.

圖14

(1)該小組已經(jīng)測得一組α、β的值,算出了tanα=1.24,tanβ=1.20,請據(jù)此算出H的值;

(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后,發(fā)現(xiàn)適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d(單位：m),使α與β之差較大,可以提高測量精度.若電視塔的實際高度為125m,試問d為多少時,α-β最大?

解(1)略.

題16 (1986年全國高考理科第19題)如圖15,在平面直角坐標(biāo)系中,在y軸的正半軸(坐標(biāo)原點出外)上給定兩點A,B.試在x軸的正半軸(坐標(biāo)原點出外)上求點C,使∠ACB取得最大值.

圖15

解可設(shè)點A,B的坐標(biāo)分別是(0,a),(0,b)(0＜a＜b).

由米勒問題解法可得,當(dāng)且僅當(dāng)過點A,B的圓與x軸的正半軸相切于點C時,∠ACB取得最大值.此時,由切割線定理可得|OC|2=|OA|·|OB|=ab,|OC|=所以所求點C的坐標(biāo)是

1.4斐波那契數(shù)列

題17 (2013年高考北京卷理科第4題即文科第6題)執(zhí)行如圖16所示的程序框圖,輸出的S值為( )

答案：C.

評析筆者注意到運行圖16所示的程序后得到的分?jǐn)?shù)的分子和分母中出現(xiàn)的數(shù)1,2,3,13,21,610,987均是斐波那契 (Leonardo Fibonacci,約 1170～1250)數(shù)列{Fn}：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,···中的項(數(shù)列{Fn}由“F1=F2=1,Fn+2=Fn+Fn+1(n∈N?)”確定),所以筆者發(fā)現(xiàn)了該題的背景是Fibonacci數(shù)列{Fn}：

斐波那契數(shù)列(也叫兔子數(shù)列,1963年美國創(chuàng)刊《斐波那契季刊》來專門研究該數(shù)列),即滿足F1=F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n=3,4,···)的數(shù)列{Fn}.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)5·必修·A版》(人民教育出版社,2007年第3版)第32-33頁的閱讀與思考《斐波那契數(shù)列》對該數(shù)列作了詳細(xì)介紹,有不少高考題都是以該數(shù)列為背景的,比如下面的題18～21(其中的題18～20很好的考查了歸納推理).

圖16

題18 (2011年高考湖北卷理科第15題)給n個自上而下相連的正方形著黑色或白色.當(dāng)n≤4時,在所有不同的著色方案中,黑色正方形互不相連的著色方案如圖17所示：

圖17

由此推斷,當(dāng)n=6時,黑色正方形互不相連的著色方案共有____種,至少有兩個黑色正方形相連的著色方案共有___種.(結(jié)果用數(shù)值表示)

解設(shè)按題設(shè)要求給n(n=1,2,···)個自上而下相連的正方形著色的方案數(shù)是an.當(dāng)n≥3時,這種著色方案包括兩種情形：(1)第1個正方形著白色,則后面的n-1個正方形的著色方案數(shù)是an-1;(2)第1個正方形著黑色,則第2個正方形著白色,后面的n-2個正方形的著色方案數(shù)是an-2.所以a1=2,a2=3,an=an-1+an-2(n=2,3,···),進而得數(shù)列{an}的各項依次是2,3,5,8,13,21,···,所以第一空填“21”.

因為給6個自上而下相連的正方形著黑色或白色的方案數(shù)是26=64種,所以第二空的答案是64-21=43.

題19 (1)(2009年高考福建卷理科第15題)5位同學(xué)圍成一圈報數(shù),規(guī)定：

①第1位同學(xué)首次報出的數(shù)為1,第2位同學(xué)首次報出的數(shù)也為1,之后每位同學(xué)所報出的數(shù)都是前2位同學(xué)所報出的數(shù)之和;

②若報出的數(shù)為3的倍數(shù),則報該數(shù)的同學(xué)需拍手1次.已知甲同學(xué)第1個報數(shù),當(dāng)5位同學(xué)依序循環(huán)報到第100個數(shù)時,甲同學(xué)拍手的次數(shù)為____;

(2)(2009年高考福建卷文科第16題)五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報數(shù),規(guī)定：

①第一位同學(xué)首次報出的數(shù)為1.第二位同學(xué)首次報出的數(shù)也為1,之后每位同學(xué)所報出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報出的數(shù)之和;

②若報出的是為3的倍數(shù),則報該數(shù)的同學(xué)需拍手一次.當(dāng)?shù)?0個數(shù)被報出時,五位同學(xué)拍手的總次數(shù)為___.

解(1)5.設(shè)所有人第n次報的數(shù)為Fn,則數(shù)列{Fn}為 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,···,Fn,···,F100由條件②知,只有所報的數(shù)是F4k(k∈N?)時才拍手.

又因為甲報的數(shù)是F5l+1(l∈N),所以當(dāng)且僅當(dāng)兩者均滿足即甲報的數(shù)是F16,F36,F56,F76,F96時,甲才拍手,所以甲拍手的次數(shù)為5.

(2)7.解法同(1).

題20 (2012年高考江西卷理科第6題)觀察下列各式：a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,···,則a10+b10=( )

A.28 B.76 C.123 D.199

解C.可觀察出數(shù)1,3,4,7,11,···的特點是后一個數(shù)總是它前面兩個數(shù)的和,從而可算得答案.還可對此答案給予嚴(yán)格證明：由a+b=1,a2+b2=3,得2ab=(a+b)2-(a2+b2)=12-3=-2,ab=-1,所以a10+b10=(a5+b5)2-2(ab)5=112-2(-1)2=123.

當(dāng)n=1時,已證命題成立.

假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立,即x2k＞x2k+2.

易知x2k＞0,得

即x2(k+1)＞x2(k+1)+2,說明當(dāng)n=k+1時命題也成立,所以要證結(jié)論成立.

評析題21(2)中的數(shù)列{Fn}就是斐波那契數(shù)列,這也說明高考題21(1)有此背景.

[1]張奠宙.多一點數(shù)學(xué)文化的考題[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2015(9)：封底

[2]甘志國.高考壓軸題(上)[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2015.28-29

(未完待續(xù))

*該文為連載文章,共有三個部分,這是其中的第I部分—編者注.