華南師范大學(xué)附屬中學(xué)南海實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)(528200) 孔小瓊

玩轉(zhuǎn)長(zhǎng)方體 突破三視圖

華南師范大學(xué)附屬中學(xué)南海實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)(528200) 孔小瓊

三視圖是新課程高考的一個(gè)新增內(nèi)容,高考試題主要圍繞空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、空間幾何體的三視圖以及表面積和體積等運(yùn)算,核心考查學(xué)生空間想象能力及運(yùn)算能力.《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)于空間幾何體要求讓學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)物模型—三視圖—直觀圖”這一相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程認(rèn)識(shí)空間幾何體.筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn),學(xué)生在解決這類問(wèn)題上能力差異較大.空間想象能力稍好的學(xué)生,能通過(guò)自己的理解和想象順利地解決問(wèn)題,而對(duì)于能力較弱的學(xué)生來(lái)說(shuō),解決此類問(wèn)題只能“碰運(yùn)氣”.有沒(méi)有解決這類問(wèn)題顯化的、可操作性的通法呢?不妨回到三視圖的定義,通過(guò)對(duì)定義的本質(zhì)再認(rèn)識(shí)去尋找答案.

所謂三視圖,就是光線分別從幾何體的前面向后面、左面向右面和上面向下面三個(gè)方向正投影,得到的投影圖.一般地,側(cè)視圖在正視圖的右邊,俯視圖在正視圖的下邊,它們都是平面圖形,常用“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”來(lái)描述其數(shù)量關(guān)系.所以,給出了幾何體的三視圖,就從宏觀上知道了“幾何體的長(zhǎng)、寬、高”,也就是說(shuō),以三視圖中給出的幾何體的長(zhǎng)、寬、高可以構(gòu)造出包含該幾何體的最小長(zhǎng)方體.有了長(zhǎng)方體這樣一個(gè)載體,接下來(lái)只需分別根據(jù)正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的形狀,按部就班地對(duì)長(zhǎng)方體進(jìn)行“切割”,最終獲得幾何體的直觀圖.因此,在解決三視圖問(wèn)題時(shí),借助長(zhǎng)方體可以有效解決一類三視圖問(wèn)題.

圖1

例1 (2014年新課標(biāo)卷I,理12)如圖2,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的幾條棱中,最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為( )

圖2

分析本題以三棱錐的三視圖為背景,計(jì)算其最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)為素材創(chuàng)新設(shè)計(jì),需要考生先根據(jù)三視圖畫出幾何體,再計(jì)算各棱長(zhǎng).直接還原幾何體需要考生具有較強(qiáng)的空間想象能力,但根據(jù)三視圖中的網(wǎng)格和直角三角形兩個(gè)顯著特征,若以正方體為載體,可以幫我們較好的識(shí)圖、想圖和畫圖.

第一步,根據(jù)給出的三視圖的數(shù)量關(guān)系,構(gòu)造一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體;第二步,分別根據(jù)正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的形狀對(duì)正方體進(jìn)行相應(yīng)的切割,使切割后的幾何體三視圖與已知相符;第三步,畫出直觀圖,得到如圖的三棱錐A-BCD(其中A為正方體其中一條側(cè)棱的中點(diǎn)).在正方體中由勾股定理易計(jì)算出六條棱長(zhǎng)分別為因此,最長(zhǎng)的棱為AD=6.

圖3

例2 (2008年新課標(biāo)卷,理12)某幾何體的一條棱長(zhǎng)為在該幾何體的正視圖中,這條棱的投影是長(zhǎng)為的線段,在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中,這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線段,則a+b的最大值為( )

分析可結(jié)合長(zhǎng)方體的對(duì)角線在三個(gè)面的投影來(lái)理解計(jì)算,問(wèn)題迎刃而解.如圖,設(shè)長(zhǎng)方體的高寬長(zhǎng)分別為x,y,z,根據(jù)題意構(gòu)造對(duì)角線則棱AC1在正視圖中的投影為在側(cè)視圖中的投影為C1D=a,在俯視圖中的投影為AC=b.則解得y=1,又所以(a2-1)+(b2-1)=6,解得a2+b2=8,從而(a+b)2=a2+2ab+b2=8+2ab≤8+a2+b2=16,得a+b≤4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)等號(hào)成立.故a+b的最大值為4.

圖4

本題最大的特點(diǎn)是用文字語(yǔ)言描述三視圖的特征,需要將其轉(zhuǎn)化為具體的直觀圖.這其中最困難的是幾何體的特征需要從文字描述的關(guān)系中獲得,試題對(duì)能力的要求比較高：第一,要求考生有較高的閱讀理解能力,能把題目的條件和所求讀懂;第二,要求考生有較強(qiáng)的轉(zhuǎn)化能力,能把文字的語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言;第三,要求考生有較好的空間想象能力,能根據(jù)三視圖想象出該幾何體;第四,要求考生有較強(qiáng)的邏輯推理能力,能根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)基本不等式進(jìn)行變形和轉(zhuǎn)化;第五,要求考生有一定的計(jì)算能力,能抓住圖形中的數(shù)量關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算.借助長(zhǎng)方體這一載體后,找投影、勾股定理、均值不等式等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)自然就串聯(lián)了起來(lái),陌生的問(wèn)題化歸為熟悉的問(wèn)題.

在三視圖的教學(xué)中,建議深入挖掘正方體,在正方體中設(shè)計(jì)出探究活動(dòng),有效培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.在教學(xué)中可設(shè)計(jì)如下兩個(gè)探究活動(dòng)：

探究活動(dòng)1由正方體ABCD-A1B1C1D1(圖5)可截得如圖6至圖10的幾何體,分別畫出這些幾何體的三視圖.

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

設(shè)計(jì)意圖由正方體出發(fā)截得的幾何體,學(xué)生畫出其三視圖較為容易,通過(guò)幾何體的變化,一方面讓學(xué)生養(yǎng)成依托正方體畫三視圖的習(xí)慣,另一方面可以讓學(xué)生突破三視圖的認(rèn)識(shí)封閉,體會(huì)幾何體和三視圖之間的充要性.

學(xué)生作答圖6的三視圖為：

圖11

圖7的三視圖與圖6的三視圖一致;

圖8的三視圖為：

圖12

圖9的三視圖為：

圖10的三視圖與圖9的三視圖一致.

由此還可以讓學(xué)生體會(huì)：不同的幾何體可以有相同的三視圖,即說(shuō)明三視圖不能完全唯一表達(dá)一個(gè)幾何體.如下面這道高考題：

例3 (2010年福建卷,理12)若一個(gè)底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示,則其表面積等于___.

圖14

分析給出的參考答案是顯然是將該幾何體視著底面邊長(zhǎng)為2的正三角形,側(cè)棱長(zhǎng)為1的直三棱柱進(jìn)行求解.由此正視圖就一定能確定該幾何體是直三棱柱嗎?其實(shí)容易看出,題目給出的三棱柱可以說(shuō)斜三棱柱(有無(wú)窮多個(gè)),其表面積并不是常數(shù),當(dāng)然體積是定值,所以題目可以修改為求三棱柱的體積.

由此可以讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)：一個(gè)幾何體的位置確定之后,它的三視圖是唯一的,但反過(guò)來(lái),相同的三視圖可以對(duì)應(yīng)不同的幾何體.稍有不慎,高考題都會(huì)犯錯(cuò)誤,更需要我們有辯證的思考能力.

探究活動(dòng)2 根據(jù)下列三視圖還原該幾何體.

設(shè)計(jì)意圖在歷年各省市的高考題中,不乏很多已知幾何體的三視圖求面積或體積的題目,下面的題目改編自模擬題或高考題,目的是讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)借助正方體解決三視圖問(wèn)題.

圖15

圖16

圖17

圖18

學(xué)生作答依次還原幾何體為：

圖19

圖20

圖21

圖22

認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征,能根據(jù)三視圖識(shí)別和設(shè)計(jì)制作幾何模型,這是《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求考生具備的技能.三視圖是立體幾何中一個(gè)重要的概念,也是歷年高考中的?？碱},建議從對(duì)空間幾何體的整體觀察入手,認(rèn)識(shí)整體圖形,再以長(zhǎng)方體為載體,培養(yǎng)識(shí)圖、畫圖和想圖能力.而長(zhǎng)方體的面剛好可以起到投影面的作用,較好的幫助學(xué)生無(wú)圖想圖,有效的降低空間想象能力要求.而且我們通過(guò)將三視圖具有的特征和原幾何模型對(duì)照研究,將長(zhǎng)方體中的三棱錐模型化,以及通過(guò)對(duì)不同類型三視圖的分類處理,會(huì)有效地提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,更加有效的培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.

[1]數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制組.普通高中數(shù)學(xué)課程(實(shí)驗(yàn))解讀[M].南京：江蘇教育出版社,2004.

[2]楊林軍.宏觀 本質(zhì) 思維[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2015,54(12).