廣州市增城區(qū)增城中學(xué)(511300) 鄧城

圓錐曲線中一類定值定點(diǎn)問題的再推廣*

廣州市增城區(qū)增城中學(xué)(511300) 鄧城

由文[1]知存在如下定理：已知點(diǎn)P(m,n)為在橢圓上的一定點(diǎn),過P作斜率分別為k1、k2的兩條直線分別交橢圓于S、T,那么,

上述定理無疑是非常漂亮的,且在高考題中常有應(yīng)用.在欣賞之余筆者注意到該定理將點(diǎn)P(m,n)限制在圓錐曲線上,那么如果定點(diǎn)P(m,n)不在圓錐曲線上則又有何結(jié)論?筆者借助超級(jí)畫板進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探索,發(fā)現(xiàn)了如下更為一般情況下的定理：

類比可得雙曲線和拋物線的類似性質(zhì)如下：

定理2 已知雙曲線和給定的一點(diǎn)P(m,n),過P作斜率分別為k1、k2的兩條直線交雙曲線于A、B、C、D,且M、N分別為線段AB、CD的中點(diǎn).

定理3 已知拋物線y2=2px和給定的一點(diǎn)P(m,n),過P作斜率分別為k1、k2的兩條直線交雙曲線于A、B、C、D,且M、N分別為線段AB、CD的中點(diǎn).

定理2和定理3的證明均可仿定理1的思路,此處從略.

[1]曹軍.圓錐曲線上的定點(diǎn)定值子弦的性質(zhì)—圓錐曲線頂點(diǎn)定值子弦性質(zhì)的推廣[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2013(19)：19-21.

本文系廣州市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度課題—“超級(jí)畫板支持下高中數(shù)學(xué)解析幾何教學(xué)的研究”(課題編號(hào)：1201553470)的階段性研究成果之一.