劉揚(yáng),何先平

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

一類常利率下帶干擾的雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型

劉揚(yáng),何先平

(長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

討論了一類常利率下帶干擾、保單收取次數(shù)為復(fù)合Poisson過程、保險(xiǎn)賠付次數(shù)服從負(fù)二項(xiàng)分布的風(fēng)險(xiǎn)模型，運(yùn)用鞅方法和盈余過程的性質(zhì)得到了破產(chǎn)概率的表達(dá)式和Lundberg不等式。

風(fēng)險(xiǎn)模型；破產(chǎn)概率；鞅；Poisson過程

瑞典精算師Filip Lundberg于1903年首次將Poisson過程引入破產(chǎn)理論研究，時(shí)至今日，破產(chǎn)理論日益豐富，已成為一門應(yīng)用數(shù)學(xué)模型來描述和研究保險(xiǎn)公司經(jīng)營的重要學(xué)科。經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型[1,2]用常數(shù)速率考慮保費(fèi)的收取問題，但實(shí)際生活中無論是保費(fèi)的到達(dá)還是險(xiǎn)種的賠付往往是隨機(jī)的，所以有必要將經(jīng)典的風(fēng)險(xiǎn)模型加以推廣。文獻(xiàn)[3]引入了廣義雙險(xiǎn)種模型，但未考慮利率因素對(duì)模型的影響。文獻(xiàn)[4]加入了利率因素，但沒考慮市場通貨膨脹及保險(xiǎn)公司本身的不確定因素形成的干擾。文獻(xiàn)[5]引入了隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)對(duì)模型的影響，文獻(xiàn)[6]進(jìn)一步將模型推廣到常利率下帶干擾的風(fēng)險(xiǎn)模型，但單位時(shí)間內(nèi)保費(fèi)的收入為常數(shù)，文獻(xiàn)[7]豐富了保費(fèi)收入，建立了保費(fèi)收入和理賠均為復(fù)合Poisson過程的風(fēng)險(xiǎn)模型。筆者將單一險(xiǎn)種推廣為雙險(xiǎn)種，為考慮干擾項(xiàng)和常利率因素，假設(shè)保費(fèi)收取次數(shù)為Poisson過程，理賠次數(shù)符合負(fù)二項(xiàng)分布，建立了常利率下帶干擾的雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型，最終求解出新模型的破產(chǎn)概率表達(dá)式和Lundberg不等式。

1 模型的建立

設(shè)u≥0 ，以下隨機(jī)變量都定義在給定的概率空間(Ω，F(xiàn),P) 上,建立風(fēng)險(xiǎn)模型：

式中，U(t)，S(t)分別表示保險(xiǎn)公司在時(shí)刻t的盈余與盈利；u為保險(xiǎn)公司的初始資本；c為常數(shù)，是保險(xiǎn)公司單位時(shí)間內(nèi)收取的保費(fèi)；常數(shù)i表示利率；M(t)表示在[0,t]內(nèi)收到的保單總數(shù)，且服從參數(shù)為λt的Poisson分布；Nj(t)(j=1,2)分別表示第j險(xiǎn)種在[0,t]內(nèi)發(fā)生的理賠次數(shù)，且分別服從參數(shù)為(t,pj)(00為干擾因子； {Xi,i≥1},{Yi,i≥1},{Zi,i≥1},{M(t),t≥0},{N1(t),t≥0},{N2(t),t≥0},{W(t),t≥0}是相互獨(dú)立的。

定義1T=inf{t|U(t)<0}為破產(chǎn)時(shí)刻，若對(duì)任意t≥0,均有U(t)≥0，即破產(chǎn)不會(huì)發(fā)生，記T=∞。則在初始資金為u的條件下，保險(xiǎn)公司的最終破產(chǎn)概率為：

ψ(u)=P{T<∞|U(0)=u}

為保證公司穩(wěn)定經(jīng)營，要求單位時(shí)間內(nèi)平均保費(fèi)收入大于平均理賠額，即：

2 主要結(jié)果

引理1 盈利過程{S(t),t=0,1,2,…}具有平穩(wěn)獨(dú)立增量。

定理1 對(duì)于盈利過程{S(t),t=0,1,2,…} ，存在函數(shù)g(r)，使得E[e-rS(t)]=etg(r)。

證明 因?yàn)椋?/p>

=etg(r)

所以：

其中，MX(-r)、MY(r)、MZ(r)分別為Xi、Yi、Zi的矩母函數(shù)。

定理2 方程g(r)=0在(0,+∞)存在唯一的正解R，稱R為調(diào)節(jié)系數(shù)。

證明 由于：

因?yàn)間″(r)>0，所以曲線g(r)在r>0內(nèi)是上凹的，g′(r)在r>0內(nèi)單調(diào)遞增，且：

又因?yàn)閞→+∞時(shí)，g′(r)→+∞，所以存在r1∈(0,+∞),使得g′(r1)=0，從而g(r1)為g(r)在(0,+∞)上的極小值。

又因?yàn)間(0)=0,r→∞時(shí),g(r)→∞,所以g(r)=0在(0,+∞)存在唯一的正解R。

定理3 對(duì)于盈利過程{S(t),t≥0}，定義事件域：

令:

證明 對(duì)于任意t1∈[0,t]，由定理1有：

=Mu(t1)

定理4 在風(fēng)險(xiǎn)過程{U(t),t≥0}下，設(shè)R為調(diào)節(jié)系數(shù)，則最終破產(chǎn)概率為：

證明

E{exp}[-rU(t)]}=E{exp[-rU(t)]|T≤t}P(T≤t)

+E{exp[-rU(t)]|T>t}P(T>t)

(1)

因?yàn)椋?/p>

所以式(1)左端可以寫為：

由定理2，取r=R，有g(shù)(R)=0,E[e-RU(t)]=e-Ru(1+i)，則式(1)變?yōu)椋?/p>

e-Ru(1+i)=E[e-RU(t)|T≤t]P(T≤t)+E[e-RU(t)|T>t]P(T>t)

(2)

又因?yàn)椋?/p>

U(t) =U(T)+(U(t)-U(T))

所以式(2)右端第1項(xiàng)：

E[e-RU(t)|T≤t]P(T≤t)

=E[e-RU(T)+(t-T)g(R)|T≤t]P(T≤t)=E[e-RU(T)|T≤t]P(T≤t)

因?yàn)?

E{exp[-RU(t)]|T>t}P(T>t)=E[e-RU(t)·I(T>t)]≤E[e-RU(t)·I(U(t)>0)]

式中,I(T>t)為{T>t}的示性函數(shù)。

又因?yàn)?≤e-RU(t)·I(U(t)>0)≤1，故由強(qiáng)大數(shù)定律可得：

由Lebesgue控制收斂定理得：

于是當(dāng)t→∞時(shí)，式(2)可化簡為：

e-Ru(1+i)=E{exp[-RU(t)]|T≤t}ψ(u)

即：

推論1 在上述風(fēng)險(xiǎn)過程{U(t),t≥0}下，最終破產(chǎn)概率ψ(u)符合Lundberg不等式，即ψ(u)≤exp[-Ru(1+i)]，e-Ru(1+i)為ψ(u)的Lundberg上界。

3 結(jié)語

在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的基礎(chǔ)上，加入了利率因素和通貨膨脹、管理者自身等不確定因素造成的擾動(dòng)項(xiàng)，最終得到了新模型的破產(chǎn)概率一般表達(dá)式及破產(chǎn)概率上界，加深和豐富了風(fēng)險(xiǎn)模型的討論。但隨著保險(xiǎn)業(yè)的發(fā)展，險(xiǎn)種類別愈加多樣化，險(xiǎn)種不僅局限在相互獨(dú)立的狀態(tài)下，還出現(xiàn)了相關(guān)聯(lián)的情況。今后該模型可在險(xiǎn)種間的保費(fèi)到達(dá)過程、索賠到達(dá)過程及干擾項(xiàng)的相關(guān)性問題上做出進(jìn)一步改進(jìn)，實(shí)現(xiàn)可以為風(fēng)險(xiǎn)預(yù)警和控制提供重要指標(biāo)、更加貼近現(xiàn)實(shí)需要的風(fēng)險(xiǎn)模型。

[1]GrandellJ.AspectsofRiskTheory[M] .NewYork:SpringerVerlag， 1991.

[2] 蔣志明, 王漢興. 一類多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)過程的破產(chǎn)概率[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2001,14 (1):9～16.

[3] 郭立娟, 劉冬元. 一類廣義雙險(xiǎn)種二項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率[J]. 數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用, 2007, 27 (4):49～52.

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[7] 贠小青. 帶干擾的泊松風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率及推廣[J]. 統(tǒng)計(jì)與決策, 2013,373(1):18～21.

[編輯] 洪云飛

2016-09-27

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(60873021/F0201)。

劉揚(yáng)(1986-)，女，碩士生，現(xiàn)主要從事數(shù)理統(tǒng)計(jì)、風(fēng)險(xiǎn)模型方面的研究工作。

何先平(1964-)，男，碩士，教授，現(xiàn)主要從事數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面的教學(xué)與研究工作,hxp@yangtzeu.edu.cn。

O211.6

A

1673-1409(2017)01-0036-04

[引著格式]劉揚(yáng),何先平.一類常利率下帶干擾的雙險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型[J].長江大學(xué)學(xué)報(bào)(自科版)，2017,14(1)：36～39.