曲忠憲，武文華，王春紅

(海南熱帶海洋學(xué)院海洋信息工程學(xué)院，海南三亞572022)

1 經(jīng)典破產(chǎn)理論模型

破產(chǎn)論具有代表性的幾個(gè)研究方向．完全離散經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的研究［1～2］;重尾部分布破產(chǎn)論的研究［3］;具有投資收益破產(chǎn)論的研究［4］;保險(xiǎn)數(shù)學(xué)與金融數(shù)學(xué)交叉的研究［5～6］;隨機(jī)投保費(fèi)下多險(xiǎn)種破產(chǎn)模型的研究［7～8］．

設(shè)保險(xiǎn)公司在時(shí)刻t的盈余為

其中:u為初始資本;c為保險(xiǎn)公司單位時(shí)間征收的保險(xiǎn)費(fèi)率;Xk(k≥1)為第k次索賠額;N(t)為到時(shí)刻t為止發(fā)生的索賠次數(shù);稱公式(1)為經(jīng)典破產(chǎn)模型．

假設(shè){Xk:k≥1}是獨(dú)立同分布于X的變量序列，記X的分布函數(shù)為F(x)，數(shù)學(xué)期望為μ;{N(t):t≥0}是以λ為強(qiáng)度的泊松過程;{Xk:k≥1}與{N(t):t≥0}相互獨(dú)立．保險(xiǎn)公司為了保證安全，要求cλμ ＞ 0．

盈余過程有可能取負(fù)值，這時(shí)稱保險(xiǎn)公司“破產(chǎn)”．以下恒記T為保險(xiǎn)公司首次破產(chǎn)的時(shí)刻，簡(jiǎn)稱為破產(chǎn)時(shí)刻，即令T=inf{t:U(t)＜0}．

記最終破產(chǎn)概率為Ψ(u)，則Ψ(u)=P(T＜"U(0)=u)．

假設(shè)個(gè)體索賠額的矩母函數(shù)

至少在包含原點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)存在，并且下述方程

具有正解．方程(3)若有正根，必是唯一的，記正根為R并稱其為調(diào)節(jié)系數(shù)．

定理1［9］若上述假設(shè)成立，則有Ψ(u)≤e－Ru，u≥0．

2 經(jīng)典破產(chǎn)理論模型的推廣

在文獻(xiàn)［10］中，將經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型(1)推廣到多險(xiǎn)種破產(chǎn)模型(4)得到了下面的定理2．

設(shè)保險(xiǎn)公司在時(shí)刻t的盈余為

其中為保險(xiǎn)公司單位時(shí)間征收的保險(xiǎn)費(fèi)率;ci為第i個(gè)險(xiǎn)種單位時(shí)間征收的保險(xiǎn)費(fèi)率;Xik為第i個(gè)險(xiǎn)種的第k次索賠額;Ni(t)為至?xí)r刻t為止第i個(gè)險(xiǎn)種發(fā)生的索賠次數(shù)．

假設(shè){Xik:k≥1}是獨(dú)立同分布于Xi的隨機(jī)變量序列，記Xi的分布函數(shù)為Fi(x)，數(shù)學(xué)期望為μi＞是以λi為參數(shù)的Poisson過程;{Xik:k≥1}與{Ni(t):t≥0} 相互獨(dú)立;各{Xik:k≥1}，i=1，2，…，m相互獨(dú)立;各{Ni(t):t≥0}，i=1，2，…，m相互獨(dú)立;各個(gè)調(diào)節(jié)系數(shù)Ri存在且唯一．

保險(xiǎn)公司為了保險(xiǎn)起見，對(duì)于第i險(xiǎn)種要求ci－λiμi＞0，因此即單位時(shí)間平均獲利大于零．

以下恒記T為保險(xiǎn)公司首次破產(chǎn)的時(shí)刻，即令T=inf{t:U(t)＜0}，最終破產(chǎn)概率記為φ(u)，則φ(u)=P(T ＜"U(0)=u)．

設(shè)Mi(r)是變量Xi的矩母函數(shù)，函數(shù)－rc，則有如下定理．

定理2 破產(chǎn)模型(4)的最終破產(chǎn)概率φ(u)≤e－Ru，其中R是方程h(r)=0的唯一正根，u是初始資本．

3 多險(xiǎn)種初始資本分配策略

保險(xiǎn)公司有m個(gè)險(xiǎn)種，每個(gè)險(xiǎn)種獨(dú)立經(jīng)營(yíng)，自負(fù)盈虧．u是初始資本，ci是第i個(gè)險(xiǎn)種的單位時(shí)間征收的保險(xiǎn)費(fèi)率．問題:能否提供較優(yōu)的分配初始資本u的策略，使關(guān)心的險(xiǎn)種最終破產(chǎn)的概率都小于等于一個(gè)小正數(shù)．

設(shè)0＜α ＜ 1，對(duì)于第i(i=1，2，…，m)個(gè)險(xiǎn)種應(yīng)用定理1，令其中:Ri為調(diào)節(jié)系數(shù)是方程λiMi(r)=λi+cir的正根．求解不等式(5)可得:

3．1 如果，則第i(i=1，2，…，m) 個(gè)險(xiǎn)種初始資金分配即可，可以保證第i個(gè)險(xiǎn)種最終破產(chǎn)的概率φi(vi)≤α，i=1，2，…，m;此時(shí)初始資本有結(jié)余額面討論如何將M追加到這m個(gè)險(xiǎn)種之中．

3．1．1 加權(quán)平均的分配策略

取以 k1，k2，…，km為權(quán)來分配余額 M．令

其中:ωj為追加到第j個(gè)險(xiǎn)種的資本，從而第j個(gè)險(xiǎn)種的初始資本為uj=vj+ωj．故第j險(xiǎn)種最終破產(chǎn)概率φj(vj+ ωj) ≤ e－Rj(vj+ωj)≤ α，j=1，2，…，m．

3．1．2 減少α的值到達(dá)α0的分配策略

令方程

求方程(7)的解α0，可知

從而第i個(gè)險(xiǎn)種追加

故第i(i=1，2，…，m)個(gè)險(xiǎn)種分配到初始資金時(shí)，就能使各個(gè)險(xiǎn)種破產(chǎn)的概率都小于等于α0．

顯然，分配策略 3．1．1 與 3．1．2 是一致的．

3．2 如果，那么有可能滿足不了使每個(gè)險(xiǎn)種最終破產(chǎn)的概率都小于等于α，因此必須再注入資本下面給出沒有資本可以注入的條件下，如何分配初始資本u．

3．2．1 序下的分配策略

將m個(gè)險(xiǎn)種按平均單位時(shí)間的獲利由大到小排序，比如排序?yàn)榈趇1，i2，…，im險(xiǎn)種，即cik－λikμik≥cij－ λijμij，1 ≤ k ＜ j≤ m．按照公式

可以算出vi1，vi2，…，vim的值，這些數(shù)從左到右累加，求出使得下式成立的k，

于是保險(xiǎn)公司優(yōu)先經(jīng)營(yíng)第i1，i2，…，ik險(xiǎn)種，考慮放棄其它m－k個(gè)險(xiǎn)種的經(jīng)營(yíng)．

3．2．2 預(yù)留儲(chǔ)備資金的分配策略

從初始資本 u中取出儲(chǔ)備資金 u0，記調(diào)節(jié)系數(shù) R1，R2，…，Rk中的最小的數(shù)為 R(1)，并且假定．將資本u－u0分配到每個(gè)險(xiǎn)種中，令函數(shù)

則 H(x)=u－u0有唯一解x1，x1∈(α，1)，于是分配到第i個(gè)險(xiǎn)種的資本是出儲(chǔ)備資金u0的目的是將它追加入第i(i=1，2，…，m)個(gè)險(xiǎn)種能夠使得最終破產(chǎn)的概率不超過α，即

可得分配到第i個(gè)險(xiǎn)種的資本

綜上，當(dāng)這m個(gè)險(xiǎn)種中首個(gè)即將破產(chǎn)時(shí)，就將儲(chǔ)備資金u0注入該險(xiǎn)種可使最終破產(chǎn)的概率不超過α，但對(duì)于來臨的第二個(gè)破產(chǎn)險(xiǎn)種，就無能為力了．

以上考慮了m個(gè)險(xiǎn)種的每個(gè)險(xiǎn)種獨(dú)立經(jīng)營(yíng)自負(fù)盈虧時(shí)較優(yōu)的分配初始資本u的幾個(gè)策略方案．如果這m個(gè)險(xiǎn)種的盈余可以互補(bǔ)，把m個(gè)險(xiǎn)種作為一個(gè)整體來考慮，我們建立了多險(xiǎn)種破產(chǎn)模型(4)，下面討論保險(xiǎn)公司準(zhǔn)備多少初始資本u，可使模型(4)最終破產(chǎn)的概率不超過α．

由定理2可知求解不等式e－Ru≤α比獨(dú)立經(jīng)營(yíng)自負(fù)盈虧時(shí)的初始資本少的多了．

參考文獻(xiàn)

［1］ Cheng Shixue，Wu Bao．The survival probability infinite time period in fully discrete risk model［J］．Applied Mathematics，A Journal of Chinese Universities:B，1999，14(1):67－74．

［2］ Cheng Shixue，H．U．Gerber，E．S．W．Shiu．Discounted probabilities and ruin theory in the compound binomial model［J］．Insurance:Mathematics and Economics，2000，26(2):239－250．

［3］ P．Embrechts，T．Mikosch．Modelling extremal events:for insurance and finance［M］．New York:Springer－Verlag，1997:183－199．

［4］ J．Paulsen．Ruin theory with compounding assets－a survey［J］．Insurance:Mathematics and Economics，1998，22(1):3－16．

［5］ H．U．Gerber，E．S．W．Shiu．Pricing perpetual options for jump processes［J］．North American Actuarial Journal，1998，2(3):101－107．

［6］ H．U．Gerber，E．S．W．Shiu．From ruin theory to pricing reset guarantees and perpetual put options［J］．Insurance:Mathematics and Economics，1999，24(1/2):3－14．

［7］ 曲中憲，徐中海．隨機(jī)投保費(fèi)下多險(xiǎn)種破產(chǎn)模型的研究［J］．東北師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010，42(1):18－21．

［8］ 曲中憲，武文華．隨機(jī)保費(fèi)的多險(xiǎn)種破產(chǎn)模型［J］．東北電力大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，29(2):59－63．

［9］ 成世學(xué)．破產(chǎn)論研究綜述［J］．?dāng)?shù)學(xué)進(jìn)展，2002，31(5):403－422．

［10］曲中憲，武文華，徐中海．L－C經(jīng)典破產(chǎn)模型的推廣及應(yīng)用［J］．北華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，10(4):300－303．