鄭 航，吳奕初，楊 薇，劉海林,李美亞

(武漢大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430072)

不同晶體模型的微波布拉格衍射

鄭 航，吳奕初，楊 薇，劉海林,李美亞

(武漢大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430072)

研究了不同晶體模型下布拉格衍射規(guī)律，討論了簡單立方(100)晶面微波衍射圖出現(xiàn)2級(jí)衍射和3級(jí)衍射所需的條件. 將簡單立方模型改造成四方模型，討論了四方晶體模型的衍射峰隨晶面間距的變化規(guī)律. 設(shè)計(jì)了體心和底心立方模型，并觀察到了(100)晶面的消光現(xiàn)象. 采用有限點(diǎn)陣?yán)碚撃M計(jì)算結(jié)果也與實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)一致.

微波;布拉格衍射;晶體模型;晶面間距

微波光學(xué)與布拉格衍射是近代物理實(shí)驗(yàn)的重要內(nèi)容[1]. X射線布拉格衍射實(shí)驗(yàn)，技術(shù)含量高，自動(dòng)化程度高，但也存在不足：成本高，學(xué)生的參與度低，對(duì)實(shí)驗(yàn)儀器各部件了解不足[2]. 而在微波布拉格衍射實(shí)驗(yàn)中，3 cm固態(tài)微波源易獲取，模擬晶體結(jié)構(gòu)可調(diào)節(jié)，整個(gè)儀器結(jié)構(gòu)組成簡單. 微波波長在0.001～1 m之間,X射線波長介于0.001～10 nm之間,微波的波長遠(yuǎn)大于X射線，用微波模擬X射線的布拉格衍射實(shí)驗(yàn)，可以得到肉眼可視的模擬晶格，即將現(xiàn)象從微觀尺度放大到宏觀尺度. 因此有利于學(xué)生對(duì)X射線在實(shí)際晶體布拉格衍射的了解和認(rèn)知.

早在1981年天津大學(xué)的應(yīng)廣壽等[3]使用向量疊加的辦法，推出了布拉格衍射峰的位置并解釋了衍射圖中次級(jí)峰出現(xiàn)的原因. 俞書樂等[4]制作了底心立方模型，觀察到消光現(xiàn)象. 2006年起，可檢索到國內(nèi)刊物發(fā)表的微波單縫及布拉格衍射相關(guān)論文有十余篇，例如，文獻(xiàn)[5]證明了入射波一定時(shí)衍射極大由晶面間距決定；文獻(xiàn)[6]介紹了微波單縫衍射實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的畸變現(xiàn)象；文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)了線陣模擬晶體，能有效地調(diào)節(jié)晶面間距；文獻(xiàn)[8-9]討論了布拉格定律的衍射級(jí)數(shù)與微波波長的關(guān)系及實(shí)驗(yàn)測量系統(tǒng)的改進(jìn). 柳艷等[10]測量發(fā)現(xiàn)體心立方的衍射峰強(qiáng)度比簡單立方的衍射峰強(qiáng)度明顯增加，但文獻(xiàn)中未給出模擬晶體的點(diǎn)陣參量及各晶面如何同時(shí)測量等細(xì)節(jié)；劉強(qiáng)春等[11]改變模擬晶體的實(shí)際位置，研究了模擬晶體位置對(duì)布拉格衍射峰位置的影響. 另外，文獻(xiàn)檢索發(fā)現(xiàn)國外學(xué)者也對(duì)微波布拉格實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了深入研究或?qū)x器設(shè)備進(jìn)行了改進(jìn)，值得國內(nèi)同行參考和借鑒，相關(guān)內(nèi)容可參考文獻(xiàn)[12-14].

考慮到簡單立方結(jié)構(gòu)的晶體非常罕見，本文在研究簡單立方模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步探討四方、體心立方及底心立方等不同晶體模型的微波布拉格衍射實(shí)驗(yàn). 實(shí)驗(yàn)中觀察到了體心立方和底心立方模型(100)面的消光現(xiàn)象，并在向量模擬方法確定衍射峰的位置[3]基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了多層晶體的模擬公式.

1 實(shí)驗(yàn)原理及方法

1.1 微波布拉格衍射實(shí)驗(yàn)原理

在微波布拉格衍射實(shí)驗(yàn)中，仿照X射線衍射與真實(shí)晶體的相互作用關(guān)系，以微波代替X射線，以晶格常量與微波波長相近的模擬晶體代替真實(shí)晶體，用微波照射模擬晶體，得出從不同晶面的格點(diǎn)上反射的微波產(chǎn)生干涉應(yīng)該具有的條件，即布拉格衍射條件：

2dsinθ=nλ,n=1,2,…，

(1)

其中，d為面間距，θ為掠入射角，λ為微波波長，n為衍射級(jí)數(shù).

1.2 實(shí)驗(yàn)儀器和晶體模型

實(shí)驗(yàn)采用北京大華無線電儀器廠生產(chǎn)的DHMS-1微波分光儀． 3 cm固態(tài)微波發(fā)射源提供波源，它是由固態(tài)信號(hào)發(fā)生器生成與所需微波頻率相同的電流，而后由喇叭口天線發(fā)出具有平面波面的微波，經(jīng)過中間的實(shí)驗(yàn)儀器后，到達(dá)接收喇叭天線再將微波強(qiáng)度信號(hào)轉(zhuǎn)變成電流信號(hào)，電流信號(hào)由微安表讀出.

點(diǎn)陣常量為4 cm簡單立方模型由5×5×5共125顆小金屬球組成，將每條橫線上的小球等間距排列好，前后上下一致，可以逐層調(diào)節(jié)，先粗調(diào)后細(xì)調(diào). 四方模型實(shí)際就是原來的簡單立方模型，調(diào)節(jié)微波入射方向的(100)晶面間距，由簡立方調(diào)節(jié)成四方(a≠b=c)，a可以2～5 cm變化，b=c=4 cm保持不變． 體心立方和底心立方模型是在4 cm簡單立方模型的基礎(chǔ)上添加位于體心64顆金屬球或底心的80顆金屬球. 實(shí)驗(yàn)中采用9 mm尼龍線作連接線，白色棉線用于給小球提供足夠的摩擦力使之不易滑動(dòng)，在木框架打孔，用于給位于體心的金屬球提供連接線固定位置，最后組裝成點(diǎn)陣常量為4 cm體心立方和底心立方模型.

2 實(shí)驗(yàn)探究

2.1 簡單立方的峰位模擬和實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)

簡單立方的模擬晶體的晶格常量a=4 cm，微波源波長3 cm固定不變. 在測定(100)晶面的衍射強(qiáng)度分布圖時(shí)，選取合理的入射角20°～70°，法線和入射角組成的平面與(100)晶面相互垂直，且法線始終在另一個(gè)與被測(100)晶面相互垂直的(010)面內(nèi)，測量(100)面隨掠入射角θ變化的衍射波強(qiáng)度，可得到(100)面和(200)面的衍射峰. 同樣(110)面和(120)面與(100)面存在固定夾角，只是比(100)面的操作多一步，即事先轉(zhuǎn)動(dòng)固定的角度差. 對(duì)于簡單立方(110)面，固定角度差是45°，(120)面與(100)面的固定角度差是25.6°.

A1=cos 2φ,A2=cosφ，A3=1,

A4=cos (-φ),A5=cos (-2φ),

(2)

合向量為

A=A0(1+2cos 2φ+2cosφ)，

(3)

強(qiáng)度正比于振幅的平方值，因此

I=I0(1+2cos 2φ+2cosφ)2.

(4)

圖1 矢量合成示意圖

實(shí)驗(yàn)中，簡單立方的(100)面的1級(jí)衍射強(qiáng)于2級(jí)衍射，是因?yàn)槲⒉ㄔ诰骈g進(jìn)行了多次衍射，最后結(jié)果是多次衍射結(jié)果的疊加. 列出前5層的晶體模型的模擬公式組：

(5)

(6)

實(shí)際上，由125顆金屬球構(gòu)成的5×5×5晶體模型包含著4×4×4晶體模型、3×3×3晶體模型、2×2×2晶體模型和1個(gè)小球晶體模型，其衍射圖中必然有這些晶體模型的組分． 取各組分的比例因數(shù)均為0.5，各層的向量如上，則總合向量為

A=A0(6.562 5+10cos 2φ+12.5cosφ+

5cos 1.5φ+6.25cos 0.5φ).

(7)

所以簡立方(100)晶面衍射強(qiáng)度模擬公式為

I(100)=I0(6.562 5+10cos 2φ+12.5cosφ+

(8)

同理，得到簡立方(110)和(120)晶面衍射強(qiáng)度模擬公式：

I(110)=I0(8.062 5+2cos 4φ+5cos 3φ+

(9)

(10)

A= 3.312 5+2cos 6φ+2cos 5φ+cos 4.5φ+

4cos 4φ+4.5cos 3φ+cos 3φ,

B= 2cos 2.5φ+6.5cos 2φ+6cosφ+

2.25cos 1.5φ+2.25cos 0.5φ.

由以上公式繪圖，取θ為20°～70°，就可得到簡立方3個(gè)主要晶面模擬圖.

圖2給出了4 cm簡立方3個(gè)主要晶面(100)，(110)和(120)衍射的模擬圖與實(shí)驗(yàn)圖. 通過比較模擬和實(shí)測結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)(100)面的衍射峰和(200)面的衍射峰的位置合理，并且2個(gè)峰的強(qiáng)度也比較合理. 然而(100)面強(qiáng)度明顯大于(200)，是因?yàn)樯⑸洳ㄔ诜瓷渎烦讨胁糠直黄渌饘偾蛟俅紊⑸涞狡渌较?，路程越遠(yuǎn)，強(qiáng)度越?。?這說明微波在晶格中衍射有多次散射，最終結(jié)果是多次散射的復(fù)合結(jié)果. (110)面的衍射峰的峰位在32°，(120)面的衍射峰的峰位在57°，擬合比較好，對(duì)次級(jí)峰的擬合也比較好. 次級(jí)峰是由各晶面的子散射波疊加而來的，可以由擬合式(8)～(10)計(jì)算出. 目前理論模擬圖中的各曲線可解釋各晶面的多次衍射強(qiáng)度相對(duì)強(qiáng)弱及次級(jí)峰出現(xiàn)位置，但各晶面的衍射峰相對(duì)強(qiáng)弱取決于晶體模型的大小、點(diǎn)陣金屬球數(shù)以及晶面間距等多種因素，圖2(a)只能給出相對(duì)強(qiáng)度的變化趨勢.

(a)模擬圖

(b)實(shí)驗(yàn)圖圖2 4 cm簡立方3個(gè)主要晶面衍射的模擬圖與實(shí)驗(yàn)圖

將晶體的晶格常量增加為a=5 cm，取θ為20°～70°，繪出(100)晶面的模擬圖和實(shí)驗(yàn)圖． 結(jié)果表明：圖3(a)的37°和64°主峰，分別對(duì)應(yīng)(200)和(300)晶面，圖3(b)在37°和62°處出現(xiàn)這2個(gè)主峰，分別與它們相對(duì)應(yīng)，在23°，26°和30°附近出現(xiàn)次級(jí)峰，而(100)峰位小于20°，微波可能直射部分而未被測量到；在25°和57°出現(xiàn)2個(gè)衍射峰，分別對(duì)應(yīng)(110)和(220)晶面，這與理論值的25°和58°基本吻合.

比較圖2和圖3，可觀察到晶面間距變大衍射峰向低入射角方向移動(dòng)；選擇較大的晶面間距(如5 cm)，可觀察到(100)晶面的2級(jí)和3級(jí)衍射峰，及(110)晶面的1級(jí)和2級(jí)衍射峰. 采用有限點(diǎn)陣向量疊加模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)一致，可解釋相對(duì)衍射峰的強(qiáng)度變化和次級(jí)峰出現(xiàn)的位置.

(a)模擬圖

(b)實(shí)驗(yàn)圖圖3 5 cm簡立方(100)和(110)面衍射的模擬圖與實(shí)驗(yàn)圖

2.2 四方模擬晶體峰位變化規(guī)律

在本次實(shí)驗(yàn)中，波長不變，模擬點(diǎn)陣可以由簡立方調(diào)節(jié)成四方(a≠b=c)，a可以從1～5 cm變化. 當(dāng)a較小時(shí)，小球大小不可忽略，在間距a大于小球的直徑2 cm時(shí)，測量誤差較小. 模擬晶體在水平面中的面指數(shù)表示為(hk0)，則面間距可表示為

(11)

代入布拉格公式，得到：

(12)

實(shí)驗(yàn)中θ角從20°開始，到儀器極限74°，因此0.34≤sinθ≤0.96.

當(dāng)n=1，λ=3時(shí)，對(duì)于四方晶體的間距為a的(100)面，計(jì)算可得1.56≤a≤4.39，在此范圍內(nèi)可以得到(100)晶面的衍射峰；對(duì)于(110)晶面，要想看到峰，則a≥1.70；同樣，對(duì)于(120)晶面，1.59≤a≤5.25；對(duì)于(210)晶面，a≥0.42.

當(dāng)n=2，λ=3時(shí)，對(duì)于四方晶體的間距為a的(200)面，計(jì)算可得3.12≤a≤8.77;對(duì)于(220)晶面，要想看到峰，則3.58≤a≤6.23. 同樣，對(duì)于(240)晶面，a≥3.40；對(duì)于(420)晶面，a≥1.25.

當(dāng)n=3，λ=3時(shí)，對(duì)于四方晶體的間距為a的(300)面，計(jì)算可得4.68≤a≤13.19;對(duì)于(330)晶面，沒有合理范圍，所以在本次實(shí)驗(yàn)不可能找到(330)的衍射峰. 事實(shí)上，如果晶面間距太大，衍射峰強(qiáng)度太弱，實(shí)驗(yàn)上也觀察不到.

結(jié)合2≤a≤5，獲得本次實(shí)驗(yàn)可以得到的衍射峰和四方晶體中可變值a的允許范圍見表1.

表1 四方晶體中點(diǎn)陣參量a的允許范圍

對(duì)比a=3.5 cm的四方模型的(100)，(110)晶面，a=4.0 cm的四方(簡立方)模型的峰位發(fā)生移動(dòng). 對(duì)于a=4.8 cm的四方的(100)晶面出現(xiàn)2次與3次衍射，衍射強(qiáng)度分布圖在39°和70°，分別是(200)面和(300)面的峰位. 作3種四方模型的峰位比較圖4，可發(fā)現(xiàn)(100)晶面和(200)晶面的衍射峰隨間距變大而向低掠入射角方向移動(dòng)，因?yàn)?級(jí)峰在1級(jí)峰后側(cè)，所以間距增大到一定程度時(shí)，(100)衍射峰會(huì)先行移出20°角外側(cè)而消失. 類似地，四方晶體模型(110)晶面的衍射峰隨間距變大而也向低掠入射角移動(dòng)，而在3種四方晶體模型中(010)的峰位始終不變，保持在22°位置，因?yàn)閎=4 cm，(010)晶面間距保持不變.

圖4 3種不同間距四方模型的峰位

2.3 體心立方和底心立方的衍射強(qiáng)度分布和消光現(xiàn)象

由固體物理學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)可知[15]，對(duì)于體心立方結(jié)構(gòu)，晶胞中的2個(gè)相同的原子位于(0,0,0)和(0.5,0.5,0.5)，則衍射波的強(qiáng)度可表示為

Imh,mk,ml∝f2[1+cos π(nh+nk+nl)]2+

f2[sin π(nh+nk+nl)]2.

(13)

式中f是散射因子，n是衍射級(jí)數(shù). (13)式表明，衍射圖中找不到衍射面指數(shù)和(nh+nk+nl)為奇數(shù)的衍射斑，故(100)的峰位將消失或被有效減弱.

同理，對(duì)于底心立方結(jié)構(gòu)，晶胞中的2個(gè)相同的原子位于(0,0,0)和(0.5,0.5,0)，則衍射波的強(qiáng)度可表示為

Imh,mk,ml∝f2[1+cos π(nh+nk)]2+

f2[sin π(nh+nk)]2.

(14)

(14)式表明：衍射圖中找不到衍射面指數(shù)和(nh+nk)為奇數(shù)的衍射斑，故其(100)的峰位也將消失或被有效減弱.

圖5給出點(diǎn)陣常量為4 cm的簡單立方、體心立方和底心立方3種不同晶體模型(100)面衍射強(qiáng)度分布. 從圖中可以看出，對(duì)比簡單立方，體心立方衍射圖中原有的(100)晶面衍射峰被消光，而(200)晶面衍射峰仍存在，并且比簡單立方的更陡，微波的散射波更強(qiáng)，這符合體心立方模型的(200)面的層數(shù)以及體心立方模型中參與衍射的金屬球都多于簡單立方的實(shí)驗(yàn)事實(shí).

圖5 簡立方、體心立方和底心立方(100)面衍射峰比較

同樣，底心立方的(100)衍射強(qiáng)度分布類似于體心立方，在其衍射圖中(200)晶面的峰位在49°，而(100)面由于被消光而未出現(xiàn). 另外，實(shí)驗(yàn)也證實(shí)(110)晶面衍射峰未出現(xiàn)消光，且觀察到(120)晶面也存在消光現(xiàn)象.

3 結(jié) 論

立方晶體實(shí)驗(yàn)滿足布拉格衍射規(guī)律，晶面間距變大衍射峰向低入射角方向移動(dòng)；選擇較大的晶面間距(如5 cm)，可觀察到(100)晶面的2級(jí)和3級(jí)衍射峰，以及(110)晶面的1級(jí)和2級(jí)衍射峰. 采用有限點(diǎn)陣向量疊加模擬計(jì)算結(jié)果也與實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)一致，可解釋相對(duì)衍射峰的強(qiáng)度變化和次級(jí)峰出現(xiàn)的位置. 四方晶體比簡單立方更復(fù)雜，詳細(xì)分析了四方晶體模型不同晶面的衍射峰隨晶面間距的變化規(guī)律，并示例實(shí)驗(yàn)證實(shí)四方與簡單立方的異同. 體心立方和底心立方模型的衍射實(shí)驗(yàn)中觀察到衍射消光現(xiàn)象，即(100)晶面的衍射峰被明顯減弱. 揭示了微波布拉格衍射中隨著晶體結(jié)構(gòu)類型和結(jié)構(gòu)參量變化而引起的衍射峰強(qiáng)度和位置的變化.

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[責(zé)任編輯：任德香]

Microwave Bragg diffraction of different macroscopic crystal models

ZHENG Hang, WU Yi-chu, YANG Wei， LIU Hai-lin, LI Mei-ya

(Experiment Teaching Center for Physics, Wuhan University, Wuhan 430072, China)

The rules of microwave Bragg diffraction under different macroscopic crystal models were investigated. Experimental results showed that 2nd- and 3rd-order diffraction peaks appeared in simple cubic (100) plane when choosing larger plane spacing (e.g 5 cm). The relationship between the position of diffraction peaks and the spacing of different crystal planes was analyzed by adjusting simple cubic model into tetragonal crystal model. Both body-centered and base-centered cubic models were exquisitely designed and constructed, the extinction phenomenon of the (100) crystal plane was observed. Finally, the results simulated by the interference of the scattered waves from limited lattice points were in good agreement with the measured data.

microwave; Bragg diffraction; crystal model; plane spacing

2016-07-04

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(No.J1210061);湖北省及武漢大學(xué)教學(xué)改革研究項(xiàng)目(No.JG201429)

鄭 航(1993-)，男，福建平潭人，武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院2012級(jí)本科生.

吳奕初(1964-)，男，福建上杭人，武漢大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院教授，博士，主要從事正電子湮沒技術(shù)在材料科學(xué)中的應(yīng)用研究和近代物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)工作.

O436.1

A

1005-4642(2017)03-0006-05