靳海濤

【摘要】 高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高一直是教育者關(guān)注的熱點(diǎn).極限是高等數(shù)學(xué)最重要的概念，是整個(gè)微積分的基礎(chǔ).本文結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)極限概念的教學(xué)進(jìn)行了一些探討.

【關(guān)鍵詞】 高等數(shù)學(xué)；極限；教學(xué)

【基金項(xiàng)目】 國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金（項(xiàng)目號(hào)：11501416）.

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)非數(shù)學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)核心課程，一般在大學(xué)一年級(jí)開(kāi)設(shè).從內(nèi)容上講，高等數(shù)學(xué)既是中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的推廣和擴(kuò)展，又為后續(xù)各專(zhuān)業(yè)課程提供必要的基礎(chǔ)；從教學(xué)要求上講，高等數(shù)學(xué)通過(guò)介紹微積分學(xué)的理論與方法，力求培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理能力，以期提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和應(yīng)用能力.鑒于高等數(shù)學(xué)的重要性，它一直是絕大多數(shù)專(zhuān)業(yè)研究生入學(xué)考試的必考科目.然而，教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生對(duì)這門(mén)課的掌握程度完全沒(méi)有達(dá)到預(yù)期目標(biāo).很多學(xué)生“談高數(shù)而色變”，戲稱(chēng)“從前有一棵高高的樹(shù)，上面掛了很多人”.因此，高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容改革和教學(xué)方法研究逐漸成了大家的研究熱點(diǎn).本文結(jié)合自身經(jīng)驗(yàn)，對(duì)極限概念的教學(xué)方面做了一些探討.

一、極限概念的重要性與教學(xué)要求

極限是微積分的主要理論基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)中的后續(xù)概念如導(dǎo)數(shù)、積分、級(jí)數(shù)等都要以極限概念為基礎(chǔ)來(lái)建立，后續(xù)的諸多計(jì)算性質(zhì)也是由極限性質(zhì)來(lái)直接推出的.因此，如果極限概念掌握不好，后續(xù)學(xué)習(xí)將相當(dāng)困難.由于當(dāng)下高數(shù)課程的課時(shí)較為緊張，很多教師要么完全摒棄嚴(yán)格的極限概念，要么直接講嚴(yán)格的ε-N極限表達(dá)，這使得學(xué)生云里霧里，對(duì)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)十分不利.

另一方面，按照高等數(shù)學(xué)的課程標(biāo)準(zhǔn)，教學(xué)中須遵循“以應(yīng)用為目的，以必需、夠用為度”的原則，注重理論聯(lián)系實(shí)際，強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生基本運(yùn)算能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)，以努力提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)和素質(zhì).因此，極限概念不宜講得過(guò)難，關(guān)鍵是要讓學(xué)生建立起極限思維和認(rèn)識(shí)到極限是一個(gè)變化過(guò)程.

二、極限概念的引入與建立

結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者在教學(xué)中一般采取如下教學(xué)步驟：

（一）還原極限發(fā)展過(guò)程，引發(fā)學(xué)生興趣

自公元前三四世紀(jì)產(chǎn)生極限思想的萌芽到德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯給出課本上的嚴(yán)格定義，前后跨越兩千三百余年，極限理解之難可見(jiàn)一斑.在教學(xué)中，首先，我們粗略介紹極限概念的發(fā)展歷程，使學(xué)生不感枯燥且能體會(huì)極限的基本思想.比如，《九章算術(shù)》中用割圓術(shù)計(jì)算圓的面積時(shí)，提出的“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”.在教學(xué)中，我們介紹阿基里斯悖論后，很多學(xué)生就已產(chǎn)生興趣，覺(jué)得這是“不可能的”，但細(xì)想之下又覺(jué)得有一定道理，迫切想知道正確解釋.

（二）采用“導(dǎo)—學(xué)—研”模式，從感性到理性，逐步引導(dǎo)學(xué)生探索

《莊子》中記載“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，將其用數(shù)列來(lái)描述，即每日的截取量為 1 2 ， 1 4 ， 1 8 ，…， 1 2n .第n天的截取量即為通項(xiàng)an= 1 2n .學(xué)生們可以很直觀地認(rèn)識(shí)到，隨著天數(shù)增加，所剩長(zhǎng)度越來(lái)越小，會(huì)無(wú)限地接近于零但又不為零，即“萬(wàn)世不竭”.由此，即可得到極限的描述性概念：給定一個(gè)數(shù)列{an}，隨著n越來(lái)越大時(shí)，若通項(xiàng)an無(wú)限地接近一個(gè)常數(shù)A，則稱(chēng)該數(shù)列的極限為A，記作 lim n→∞ an=A.此時(shí)，給出 lim n→∞ 1 n =？學(xué)生立刻會(huì)答：“等于零.”這表明已經(jīng)建立了感性認(rèn)識(shí).

為了給出嚴(yán)格定義，可以提出問(wèn)題：如何定量地表達(dá)“接近”？什么叫“無(wú)限接近”？一般的，學(xué)生很容易想到利用距離的大小來(lái)衡量接近程度，部分學(xué)生也能想到“無(wú)限接近”指的是“要多近就有多近”.這就可以理解為給定一個(gè)規(guī)定的接近程度（用正數(shù)ε來(lái)刻畫(huà)接近程度），只要n很大，就一定可以達(dá)到該程度.對(duì)上例而言，若取ε=0.1，要想|an-A|= 1 n <0.1，就需要n>10.換言之，只有從第十項(xiàng)開(kāi)始（我們用N=10來(lái)刻畫(huà)這個(gè)開(kāi)始下標(biāo)），才能達(dá)到該接近程度.于是，為了表達(dá)無(wú)限接近，只需要對(duì)給定的任意一個(gè)正數(shù)ε，都能找到這樣一個(gè)開(kāi)始下標(biāo)N，從第N項(xiàng)開(kāi)始，都有|an-A|= 1 n <ε.自然，該N可通過(guò)解不等式獲得.

至此，教師可以與學(xué)生一起將極限的描述性概念用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)：若對(duì)任給的ε>0，總存在一個(gè)正整數(shù)N，對(duì)任意的n>N，都有|an-A|<ε，則稱(chēng)數(shù)列{an}的極限為A并記作lim n→∞ an=A.

（三）用定義證明數(shù)列極限，強(qiáng)化理解

在公共數(shù)學(xué)的研究生入學(xué)考試中，一般不會(huì)考查嚴(yán)格的極限定義.雖然如此，我們還是認(rèn)為，應(yīng)當(dāng)適時(shí)地讓學(xué)生練習(xí)一下如何利用極限定 義來(lái)證明極限.如下的例1是今后計(jì)算極限時(shí)常用的結(jié)論，例2則是從小學(xué)時(shí)代就困惑的循環(huán)小數(shù)問(wèn)題.

例1 對(duì)給定的|q|<1，有 lim n→∞ qn=0.

例2 記an= 0.99 … 9 n個(gè) ，有 lim n→∞ an=1.

（四）趁熱打鐵，將數(shù)列極限概念推廣到函數(shù)極限

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，知識(shí)不是通過(guò)教師傳授得到，而是學(xué)習(xí)者憑借原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，在他人的幫助和引導(dǎo)下，通過(guò)意義建構(gòu)的方式而獲得的.在完成數(shù)列極限的概念后，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列極限包含兩個(gè)變化過(guò)程，一是自變量n的變換，一是函數(shù)值an的變化.這樣，我們很容易引導(dǎo)學(xué)生自己給出函數(shù)極限lim x→+∞ f（x）=A的概念：就是隨著自變量x趨于正無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)值f（x）無(wú)限接近于A.在此基礎(chǔ)上，逐步引導(dǎo)學(xué)生建立其他極限概念（包括x→-∞，x→a，x→a+，x→a-）.講解時(shí)可以利用圖形的直觀性來(lái)展示，此外還要特別注意引導(dǎo)學(xué)生了解本質(zhì)：就是隨著自變量x越來(lái)越接近某一值時(shí)，函數(shù)值無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù).

三、結(jié) 語(yǔ)

對(duì)極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，對(duì)這一概念掌握的好壞將直接影響后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)和理解，也將決定學(xué)生大學(xué)數(shù)學(xué)功底的修煉水平.本文通過(guò)極限部分教學(xué)中的一些具體問(wèn)題來(lái)探索教學(xué)方法.當(dāng)然，教無(wú)成法.要提高教學(xué)質(zhì)量，還要從多方面入手.筆者將不斷努力，積累教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，探索教學(xué)方法，以期從根本上提高教學(xué)效果，讓學(xué)生們真正熱愛(ài)數(shù)學(xué)！

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)第六版[M].北京：北京高等教育出版社，2007.

[2]齊民友.從微積分的發(fā)展看微積分的教學(xué)[J].高等數(shù)學(xué)研究，2004（2）：2-6.

[3]李娜.高等數(shù)學(xué)極限概念引入探究及極限求解方法[J].大學(xué)教育，2014（8）：60-62.

[4]何克抗.建構(gòu)主義的教學(xué)模式、教學(xué)方法與教學(xué)設(shè)計(jì)[J].北京師范大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），1997（5）：74-81.