龔海萍+于霞

（南通大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南通 226007）

摘 要：線性代數(shù)是許多高校開設(shè)的一門重要的基礎(chǔ)理論課，它具有較強(qiáng)的邏輯性、抽象性和廣泛的實(shí)用性。線性代數(shù)課程的教學(xué)效果直接影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性以及在實(shí)際生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力。為此，本文利用比較學(xué)習(xí)、等價(jià)分類、與其他學(xué)科聯(lián)系、數(shù)學(xué)建模等方法，結(jié)合相關(guān)知識點(diǎn)以及生活實(shí)例，從而有效地提高線性代數(shù)課程的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；教學(xué)效果；方法研究

線性代數(shù)是高等學(xué)校工科專業(yè)的一門重要的公共基礎(chǔ)課，是高等學(xué)校經(jīng)濟(jì)、管理類專業(yè)核心課程經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一，也是研究變量間線性關(guān)系的一門學(xué)科。它有著深刻的實(shí)際背景，在自然科學(xué)、社會科學(xué)、工程技術(shù)、軍事和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。

線性代數(shù)作為一學(xué)期的課程，一般只安排32學(xué)時(shí)或者48學(xué)時(shí)，而該課程具有較強(qiáng)的抽象性與邏輯性，知識相互依懶性強(qiáng)，每個(gè)后續(xù)概念、性質(zhì)和定理都依賴于對先前概念、定理的理解與掌握，如果前面的知識一知半解，沒好好掌握，后續(xù)內(nèi)容學(xué)起來就比較困難。所以在有限的學(xué)時(shí)中如何提高線性代數(shù)教學(xué)效果，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率顯得至關(guān)重要。

1重視比較學(xué)習(xí)在課堂教學(xué)中的應(yīng)用

比較作為數(shù)學(xué)教學(xué)的有力手段，是判斷研究對象的異同點(diǎn)，是學(xué)生理解和掌握知識的重要方法。教學(xué)實(shí)踐表明，通過比較，能使學(xué)生從抽象概括上升為理性認(rèn)知。新知識的學(xué)習(xí)如果不與已有知識進(jìn)行比較，將會變得難以前行，有時(shí)甚至止步不前。線性代數(shù)課程中有許多內(nèi)容既有聯(lián)系又有區(qū)別，在教學(xué)中充分運(yùn)用比較的方法，有助于突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)，這樣學(xué)生才能更容易接受新知識，不至于混淆知識，從而提高了辨析能力和邏輯思維能力，對數(shù)學(xué)知識掌握得更牢固更全面。

例如：行列式和矩陣容易混淆，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)行列式和矩陣之后，分不清矩陣和行列式，就m×n矩陣和n階行列式而言，矩陣的行數(shù)與列數(shù)有時(shí)相等有時(shí)不等，如相等則是方陣，而行列式的行數(shù)與列數(shù)必須相等，學(xué)生還經(jīng)常把兩者的符號混淆使用，并且把行列式和矩陣的計(jì)算性質(zhì)混淆在一起。比如說，m×n矩陣的數(shù)乘和n階行列式的數(shù)乘（常數(shù)k≠0）：用數(shù)k乘以矩陣，即用數(shù)k乘以矩陣中的每個(gè)元素；若用數(shù)k乘以行列式，則行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以k。

行列式實(shí)質(zhì)就是規(guī)定了某種運(yùn)算規(guī)律（即所有不同行不同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和）之后計(jì)算出的一個(gè)數(shù)，而矩陣則代表由一些數(shù)字構(gòu)成的數(shù)表，并且行數(shù)和列數(shù)一般不相等，只有行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣即方陣才有對應(yīng)的行列式。

這樣比較學(xué)習(xí)使學(xué)生清晰辨別行列式與矩陣，理解并掌握相關(guān)數(shù)學(xué)知識。數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用比較，不但能突出事物的本質(zhì)，明確概念的內(nèi)涵和外延，而且可以簡化某些問題的教學(xué)。這不僅有利于學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念，而且是學(xué)生進(jìn)行判斷和推理的重要的思想方法，它有助于學(xué)生提高認(rèn)識事物和解決問題的能力。

2注重等價(jià)分類法在教學(xué)中的應(yīng)用

例如：向量組的線性相關(guān)性這一章主要圍繞五個(gè)關(guān)鍵概念展開：向量組的線性相關(guān)性（線性相關(guān)、線性無關(guān)）、向量組的最大無關(guān)組、向量組的秩、矩陣的秩、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。這五個(gè)關(guān)鍵概念環(huán)環(huán)相扣，把這一章的教學(xué)內(nèi)容串聯(lián)起來。其中向量組的最大無關(guān)組是連接其他四個(gè)概念的紐帶，最大無關(guān)組是向量組線性相關(guān)性的核心。另一方面，最大無關(guān)組給出了向量組的秩和矩陣的秩含義，向量組的秩等于向量組的最大無關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)，矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩。齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系即是它的解向量組（或解空間）的最大無關(guān)組。

對于向量組的線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義，學(xué)生往往感覺抽象難學(xué)，不像行列式、矩陣、線性方程組那么具體了，那么我們可以用等價(jià)分類的方法使得學(xué)生理解概念的內(nèi)涵，并和其他知識點(diǎn)聯(lián)系起來，如：齊次線性方程組、線性組合、線性表示、行列式、矩陣的秩，同時(shí)利用等價(jià)分類討論，從多個(gè)角度詮釋向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)，使得學(xué)生完善對這些概念的理解，且獲得相關(guān)結(jié)論和求解方法。

在教學(xué)過程中采用等價(jià)分類的教學(xué)方法，不僅促進(jìn)了學(xué)生對概念的掌握，還培養(yǎng)了學(xué)生全面思考、多角度看待事物的能力，同時(shí)把知識串聯(lián)起來，形成知識體系，便于學(xué)生系統(tǒng)掌握知識。

3與其他學(xué)科聯(lián)系起來

對于線性代數(shù)，學(xué)生學(xué)完之后不知道用處，也不了解怎么用，這降低了他們對線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣。教師僅一味地強(qiáng)調(diào)線性代數(shù)在實(shí)際生活中應(yīng)用比較廣泛，這并不能促進(jìn)學(xué)生對本課程的學(xué)習(xí)，要切實(shí)舉出實(shí)例，使學(xué)生從主觀上體會到它的作用，這樣才能充分調(diào)動他們的積極性。

例如：在講解矩陣乘法時(shí)，可以舉出在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用——生產(chǎn)成本的計(jì)算。利用矩陣的乘法把多個(gè)數(shù)據(jù)表匯總成一個(gè)數(shù)據(jù)表，使得生產(chǎn)成本直觀具體、一目了然。如此教學(xué)既提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又很好地體現(xiàn)了實(shí)際問題線性化，還讓學(xué)生體會到線性代數(shù)在實(shí)際生活的應(yīng)用，可謂一舉多得，無形中提高了教學(xué)效果。

4幾何直觀思想在課堂教學(xué)中的應(yīng)用

線性代數(shù)的特點(diǎn)之一就是概念多且抽象性強(qiáng)，使得學(xué)生對概念的理解掌握具有一定的難度。但是，如果教師將概念的幾何意義融入教學(xué)過程中，就會降低學(xué)生對概念的理解和掌握難度。

例如：行列式概念和運(yùn)算比較抽象，方法靈活，對學(xué)生而言，理解起來可能較為費(fèi)勁，導(dǎo)致對行列式難以把握，只會機(jī)械記憶，對其幾何意義一概不知。其實(shí)對于行列式的概念和運(yùn)算，從幾何直觀的角度來詮釋比較簡便。之前在學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》向量代數(shù)與空間解析幾何這一章節(jié)時(shí)，知道兩個(gè)向量的向量積可以表示成行列式，其幾何意義為：與它們兩個(gè)向量都垂直且符合右手規(guī)則的向量。三個(gè)向量的混合積也可以用行列式表示，其幾何意義為：這個(gè)行列式的絕對值即為以它們?nèi)齻€(gè)向量為相鄰棱所作的平行六面體的體積。特殊地，當(dāng)混合積為零時(shí)，這個(gè)六面體的體積為零，也就是三向量共面。

這是解析幾何中一個(gè)典型的求解立體幾何體積的問題，很多同學(xué)無從下手，不知如何求解，這主要是因?yàn)樗麄儗@個(gè)平行六面體沒有任何概念，而且不了解這個(gè)六面體的體積所表示的意義，這些原因歸根到底還是對行列式的幾何意義缺乏認(rèn)識，如此一來，這個(gè)求解解析幾何的問題就轉(zhuǎn)化為求解行列式的問題，實(shí)現(xiàn)了幾何與代數(shù)之間的過渡，這樣將幾何直觀的思想融入行列式的概念教學(xué)中，不僅降低了學(xué)生對概念的理解難度，還提高了他們對線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣。

線性代數(shù)與幾何密切相關(guān)，幾何上二維、三維空間可以拓展出線性代數(shù)的很多理論，一方面，解析幾何以線性代數(shù)為研究工具；另一方面，解析幾何為線性代數(shù)提供了幾何背景，兩者相輔相成，互相滲透。將兩者結(jié)合，即把“數(shù)”與“形”相結(jié)合，促進(jìn)了數(shù)形結(jié)合思想的發(fā)展與應(yīng)用。除此之外，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，多媒體的應(yīng)用越來越廣泛，這是教學(xué)的一大優(yōu)勢，我們應(yīng)該把握這一優(yōu)勢，加強(qiáng)幾何直觀思想在教學(xué)中的應(yīng)用，使學(xué)生了解其幾何意義，增強(qiáng)立體感及視覺的美感。這樣不僅促進(jìn)了學(xué)生對線性代數(shù)抽象知識的了解，還提高了他們抽象思維的能力。

5數(shù)學(xué)建模思想在教學(xué)中的應(yīng)用

不論是用數(shù)學(xué)方法解決哪類實(shí)際問題，還是與其他學(xué)科相結(jié)合形成交叉學(xué)科，首要的和關(guān)鍵的一步是將研究對象的內(nèi)在規(guī)律用數(shù)學(xué)的語言和方法表述出來，也就是建立所謂的數(shù)學(xué)模型，還要將求解得到的結(jié)果返回到實(shí)際問題中去，這種解決問題的全過程就是數(shù)學(xué)建模。而線性代數(shù)常常用于解決生活中線性化的實(shí)際問題，所以兩者相得益彰。

密碼學(xué)中的信息代碼就是所謂的密碼，而明文就是沒有轉(zhuǎn)換成密碼的文字信息，密文即密碼表示的信息。明文轉(zhuǎn)換為密文的過程叫加密，反之就是解密。1929年，希爾（Hill）通過矩陣?yán)碚搶鬏斝畔⑦M(jìn)行加密處理，提出了在密碼學(xué)史上有重要地位的希爾加密算法。如今使用頻率較高的密碼模型就來源于此。

在線性代數(shù)的教學(xué)過程中滲透數(shù)學(xué)建模思想，建立數(shù)學(xué)模型，彰顯這門課程的知識本質(zhì)，使得線性代數(shù)知識本身更加生動具體，不僅有利于學(xué)生對線性代數(shù)充分理解和掌握，提高學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)還培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)能力、抽象思維能力和實(shí)踐能力。

參考文獻(xiàn)：

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