曾玉華，鄭 果

（湖南第一師范學院 數(shù)學與計算科學學院，湖南 長沙 410205）

模型思想在小學數(shù)學教學中的方法論價值

曾玉華，鄭 果

（湖南第一師范學院 數(shù)學與計算科學學院，湖南 長沙 410205）

模型思想的本質(zhì)就是讓學生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題、構建數(shù)學模型、利用已有的經(jīng)驗解決問題的過程。模型思想不僅僅是一種基本的數(shù)學方法，更是一種解決問題的策略，它廣泛地應用于認識問題本質(zhì)規(guī)律、提高數(shù)學化能力、解決實際應用問題、培養(yǎng)數(shù)學創(chuàng)新思維等各方面，具有重要的數(shù)學方法論價值。

小學數(shù)學；模型思想；方法論；價值

引言

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“新課標”）指出“重視學生已有的經(jīng)驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題、構建數(shù)學模型、尋求結果、解決問題的過程?！薄霸跀?shù)學課程中，應當注重發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念……模型思想”[1]，并明確提到了“數(shù)學模型”“模型思想”。在新課標的十大核心概念中，“模型思想”是唯一以“思想”命名的，可見，發(fā)展模型思想是小學數(shù)學教育教學的重要目標之一。

早在上世紀70年代初，美、英等國就已將數(shù)學模型學習作為小學教育的重要內(nèi)容，并且成為統(tǒng)一數(shù)學課程的一個組成部分。就我國而言，從20世紀80年代起，數(shù)學界才開始關于數(shù)學模型和數(shù)學建模的研究，相關課程只有在大學才開設。自新課標實施以來，在小學數(shù)學課堂中，筆者發(fā)現(xiàn)很多教師對數(shù)學模型、數(shù)學建模、模型思想等概念還較陌生，理解也很膚淺。因此，我們基于數(shù)學方法論的角度，從數(shù)學學科的本質(zhì)出發(fā)，對小學數(shù)學課堂的模型思想進行深入探究，分析數(shù)學模型思想的概念、特點及其方法論價值，有助于提高小學數(shù)學課堂教學質(zhì)量，有效促進小學數(shù)學教育教學的改革和發(fā)展。

一、相關概念的界定

（一）數(shù)學模型

對于數(shù)學模型的概念，眾多學者有著不一樣的認識。張奠宙教授認為，廣義地講，數(shù)學中各種基本概念和基本算法，都可以叫做數(shù)學模型。狹義的解釋，只有那些反映特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學關系結構才叫做數(shù)學模型[2]。因此，小學數(shù)學課本中的公式、定律、算法、函數(shù)、方程、概念等等都可以視作數(shù)學模型。

（二）數(shù)學建模

數(shù)學建模是構建數(shù)學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）。小學階段研究的數(shù)學建模，是基于兒童視角，聚焦數(shù)學本質(zhì)，讓學生從現(xiàn)實原型或具體事例出發(fā)，發(fā)現(xiàn)并找出內(nèi)在規(guī)律，通過數(shù)學符號將其轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學模型并進行解釋和運用，從而解決現(xiàn)實生活中存在的一系列實際問題的過程。

（三）模型思想

模型思想，是指首先將所研究和考察的實際問題化為數(shù)學問題，構造出相應的數(shù)學模型，然后對數(shù)學模型進行研究，使原來考察的現(xiàn)實問題得以解決的一種“數(shù)學化”[3]。

二、模型思想在小學數(shù)學教學中的方法論價值

數(shù)學方法論主要是研究和討論數(shù)學的發(fā)展規(guī)律，數(shù)學的思想方法以及數(shù)學中的發(fā)現(xiàn)、發(fā)明與創(chuàng)新等法則。模型思想作為小學數(shù)學教學中一種基本的數(shù)學思想方法，具有重要的數(shù)學方法論價值。

（一）認識問題本質(zhì)規(guī)律

世界上萬事萬物都存在其內(nèi)在的規(guī)律，人們可對部分事物通過發(fā)現(xiàn)規(guī)律并加以總結，通過數(shù)學符號將其轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學模型，從而解決現(xiàn)實生活中存在的一系列現(xiàn)實問題。洞穿表象，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，刻畫模型，解決問題，這就是模型思想的精髓所在。例如，18世紀初普魯士的哥尼斯堡，有一條河穿過，河上有兩個小島，七座橋把兩個島與河岸聯(lián)系起來。一個步行者怎樣才能不重復、不遺漏地一次走完七座橋并回到出發(fā)點，這就是著名的“哥尼斯堡七橋問題”。數(shù)學家歐拉在親自觀察了哥尼斯堡七橋后，冥思苦想，不斷探索，但一直未能成功，整整花了將近一年的時間，找到了這個問題的本質(zhì)規(guī)律，巧妙地把它轉(zhuǎn)化成一個一筆畫的幾何問題，建立了解決問題的數(shù)學模型，最終破解這個難題。正是這個小小的數(shù)學模型，后來卻開創(chuàng)了拓撲學這一新的數(shù)學分支。借助數(shù)學模型，數(shù)學生物學家們還發(fā)現(xiàn)了一些十分有趣的自然規(guī)律。他們解釋了為什么世界上有的動物的尾巴布滿條紋而身上卻布滿斑點，但是沒有哪只動物的尾巴布滿斑點而身上布滿條紋。

小學數(shù)學教材中的“雞兔同籠”“烙餅問題”“植樹問題”等都是典型的模型問題，內(nèi)容本身十分有趣，符合學生的認知，同時貼近生活。教學中滲透模型思想，引導學生認識問題本質(zhì)規(guī)律，往往都能達到良好的教學效果。部分小學數(shù)學教師在進行教學設計時往往對四維目標的認識不夠，眼光僅局限于“知識與技能”目標上，從創(chuàng)設情境——探索新知——鞏固練習，亦步亦趨。學生缺失了對于生活實物模型的認識以及探索規(guī)律、體會搭建模型的體驗，有些設計中這些探索和合作僅拘泥于形式，沒有真正深入實際去挖掘分析問題的內(nèi)在規(guī)律，殊為可惜。

（二）提高數(shù)學化能力

數(shù)學的產(chǎn)生、發(fā)展本身就是一個“數(shù)學化”的過程。人類最初沒有數(shù)的概念，從結繩記事、小木棍或小石塊的組合慢慢產(chǎn)生數(shù)的概念，從點、線、面的運動變化逐漸產(chǎn)生幾何體的概念，這就是“數(shù)學化”。數(shù)學的教與學通過“數(shù)學化”的方式來進行，讓學生經(jīng)歷直觀與抽象的嬗變，能夠運用所學到的數(shù)學知識、技能以及方法，進一步觀察、比較與分析現(xiàn)實生活中的實際問題，并在綜合、類比、歸納的思辨過程中，發(fā)現(xiàn)其共性與規(guī)律，從而上升為數(shù)學的抽象與概括。“數(shù)學化”不僅將數(shù)學與有關的實際背景緊密聯(lián)系起來，而且能使學生真正獲得充滿著生機與活力的數(shù)學知識，真正理解并學會運用這些知識。

在模型思想的培養(yǎng)過程中把數(shù)學與實際問題結合起來可以使實際問題數(shù)學化，而實際問題數(shù)學化是發(fā)現(xiàn)問題解決問題的方法和提高學生數(shù)學素質(zhì)的一條有效途徑。例如：求有一條邊相等的兩個長方形面積之和？模型實際上很簡單，老師在教學過程中，引導學生經(jīng)歷從問題分析到類比推理，再到建立模型、解釋應用的整個過程，并且不斷賦予模型“生長”的力量，結合乘法分配律去分析，讓帶字母的分配律既根植于圖形，又不局限于圖形。它不僅可充分培養(yǎng)學生的“數(shù)學化”能力，而且展現(xiàn)了模型思想的無窮魅力。

當然，部分小學數(shù)學教師在教學中不明就里，碰到與生活實際相關聯(lián)的問題，往往機械模仿，生搬硬套，不能由表及里，透徹理解問題實質(zhì)，淡化了將“生活問題”進行“數(shù)學化”的處理過程。比如在某些問題計算的過程中僅僅強調(diào)計算方法的多樣性，沒有及時地理清模型搭建中的探究過程，缺少對算法多樣化的規(guī)律和共性的分析與提煉，缺乏問題“數(shù)學化”的實質(zhì)內(nèi)涵。

（三）解決實際應用問題

在現(xiàn)代科技社會中，隨著信息技術的發(fā)展，數(shù)學模型在數(shù)學學科中的地位顯著提升，應用日益廣泛，成功地解決了大量的實際問題。曾任世界數(shù)學聯(lián)盟主席的D.Mumford在論述現(xiàn)代數(shù)學的趨勢時說：“創(chuàng)建好的模型正如證明深刻的定理一樣有意義。我想，承認這點，數(shù)學將會從中受益”。例如，隨著計算機3D打印技術的發(fā)展，科學家已經(jīng)能夠模擬打印人體血管網(wǎng)，甚至人體器官，并臨床應用于疾病治療。數(shù)學模型還能使高速計算機在藥物成分設計和染色體組織的分析方面得以廣泛應用。美國等國家成功地利用超級計算機模擬代替核試驗，使得設計周期大幅縮短，費用大大節(jié)約，安全可靠性得以提高。

在小學數(shù)學建?；顒又?，老師可以先讓小學生解決他們在實際生活中遇到或見到過的問題，如幫媽媽上街買菜，網(wǎng)絡購物或在線支付，自己設計喜愛的旅游路線，合理安排用餐和車輛，預測中獎的可能性等。老師帶領學生從這些具體的生活體驗出發(fā)，通過觀察、分析、比較、綜合、概括、抽象和必要的邏輯推理，提煉其本質(zhì)，適時地上升為數(shù)學問題，總結出數(shù)量、單價、總價，速度、時間、路程等相互之間的關系式，構建出數(shù)學模型，解決具體的實際問題，然后再把它推廣應用于更廣泛的具體內(nèi)容中去，形成初步的數(shù)學模型思想。通過數(shù)學建模，既能使小學生得到由現(xiàn)實問題抽象成數(shù)學問題的操作訓練，又能讓他們深切感受到數(shù)學的應用價值，增強數(shù)學的學習興趣和應用意識，使兒童真正了解數(shù)學知識的發(fā)生過程，提高兒童分析問題和解決實際問題的能力。

（四）培養(yǎng)數(shù)學創(chuàng)新思維

創(chuàng)造性思維的核心就是發(fā)散思維。根據(jù)小學生思維的發(fā)展特點，數(shù)學教學滲透模型思想可以培養(yǎng)兒童從實際問題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、主動解決問題的能力，在主動思考解決問題的過程中鍛煉他們的直觀形象思維、發(fā)散思維。無論是在分析問題階段、解決問題階段還是驗證問題階段，學生的思維隨著問題解決的漸進而一步步升華，充分調(diào)動了學生的自我思考性和對未知事物的創(chuàng)造性，并且這種創(chuàng)新思維的發(fā)生由淺入深、循序漸進。例如，傳統(tǒng)的小學數(shù)學應用題教學，所給題目的條件和問題已經(jīng)通過了篩選，呈現(xiàn)形式單一，結構封閉，內(nèi)在完備無矛盾，所得結果往往也是唯一的。因此，解答應用題與解決實際問題存在很大的距離，探究性不強，學生的探究能力、創(chuàng)新思維得不到充分培養(yǎng)。小學數(shù)學應用題滲透模型思想，可極大地改變傳統(tǒng)的教學法。首先是從現(xiàn)實生活背景中的實際問題中挖掘出全部有用的信息，探尋規(guī)律，構建為數(shù)學模型，接著用合適的數(shù)學方法對該模型進行求解，再回到現(xiàn)實中去檢驗。它充分體現(xiàn)了新課標對學生自主探究能力和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)。

例如：一家修路的公司承包了一條長400米的高速公路?；?天的時間修了高速公路的30%，繼續(xù)按照這樣的修路速度，還需要多久公司能修完這條路？

解法（1）：400÷（400×30%÷ 6）－ 6

解法（2）：（400－ 400× 30%）÷（400× 30%÷ 6）

解法（3）：1÷（30%÷ 6）－ 6

解法（4）：（1－ 30%）÷（30%÷6）

解法（5）：6÷ 30%－ 6

此題是小學數(shù)學中常見的行程問題，模型系統(tǒng)容易確定，但是路程和速度沒有直接給出，教師抓住題目主干信息和問題實質(zhì)，巧用一題多解的教學方法，構建了多樣化的模型，在多種求解思路中讓學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學學習的趣味性，引導他們多角度、發(fā)散性地分析并解決問題，非常有利于學生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準：2011年版[S].北京：北京師范大學出版社,2013：5.

[2]張奠宙.小學數(shù)學研究[M].北京:高等教育出版社,2009：16.

[3]李明振.數(shù)學建模的認知機制及其教學策略研究[D].重慶：西南大學,2007：2.

Methodological Value of Modeling in Elementary Mathematics Teaching

ZENG Yu-hua,ZHENG Guo

（School of Mathematicsand Computational Science,Hunan First Normal University,Changsha,Hunan 410205）

The essence of the modeling idea is to allow students to abstract mathematical problems from actual backgrounds,build mathematical models,and solve problems using existing experience.The modeling idea is not only a basic method in mathematics,but also a strategy to solve problems.It is applied widely in finding the regularity,improving mathematical ability,solving the practical problem and cultivating innovative thinking in mathematics,which hasgreat methodological value in mathematics.

elementary mathematics;modeling idea;method theory;value

G622

A

1674-831X（2017）05-0023-03

2017-04-26

湖南省教育廳科學研究項目（15C0279）

曾玉華（1973-），男，湖南永州人，湖南第一師范學院副教授，博士，主要從事優(yōu)化理論與方法、數(shù)學教育研究；鄭果（1980-），女，湖南益陽人，湖南第一師范學院講師，主要從事數(shù)學教育研究。

[責任編輯：胡 偉]