羅汝生

【摘要】數(shù)學(xué)的核心是思維，根據(jù)思維的形式，思維可以分為輻合思維和發(fā)散思維。發(fā)散思維是不依常規(guī)，尋求變異，對給出的材料、信息從不同角度，向不同方向，用不同方法或途徑進(jìn)行分析和解決問題的一種思維方式，它的特點(diǎn)是思路廣闊，尋求變異，在思維方向上表現(xiàn)為逆向性、橫向性和多向性。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思維 多解 發(fā)散思維

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常碰到解題一籌莫展，許多學(xué)生一旦在思維受阻時，常不知如何“轉(zhuǎn)變”。在這一問題上，學(xué)生思路不開闊只是表象，而教師在教學(xué)中如何善于開拓學(xué)生思路，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維卻是根本。因此，中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，在培養(yǎng)學(xué)生初步的邏輯思維能力的同時，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力非常重要。數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中不應(yīng)只滿足本例題的演示，完成習(xí)題解答，而應(yīng)該首先開闊自己的思路，在完成例題解答的過程中，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用知識去探索“求異”的結(jié)果，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造精神，以達(dá)到提高學(xué)生解題能力的目的。

一題多解的訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的一個好方法。一題多解是指在條件和問題不變的情況下，讓學(xué)生多角度、多側(cè)面地進(jìn)行分析思考，探求不同的解題途徑。它可以通過縱橫發(fā)散，使知識串聯(lián)、綜合溝通，達(dá)到舉一反三、融會貫通的目的。

一題多解有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，使學(xué)生不滿足僅僅得出一道習(xí)題的答案，而去追求更獨(dú)特、更快捷的解題方法。一題多解有利于學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，豐富解題方法，學(xué)會如何綜合運(yùn)用已有的知識不斷提高解題能力。

下面通過幾個課堂實(shí)例談?wù)勅绾卫靡活}多解的方法培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的能力。

一、某些代數(shù)應(yīng)用題可引導(dǎo)學(xué)生考慮不同方法來設(shè)元

如：新人教版七年級數(shù)學(xué)上冊第三章一元一次方程的應(yīng)用教學(xué)中，有這樣一個實(shí)際問題：

汽車勻速行駛途經(jīng)王家莊、青山、秀水三地的時間如表所示，翠湖在青山、秀水兩地之間，距青山50千米，距秀水70千米，求王家莊到翠湖的路程有多遠(yuǎn)？

教材意在通過一個具體的行程問題，引導(dǎo)學(xué)生嘗試如何用算術(shù)方法解決它，然后再逐步引導(dǎo)學(xué)生列出含未知數(shù)的式子表示有關(guān)的量，并進(jìn)一步依據(jù)相等關(guān)系列出方程，重點(diǎn)是體現(xiàn)一元一次方程與實(shí)際的密切聯(lián)系，滲透數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用一元一次方程分析和解決實(shí)際問題的能力。

1、用算術(shù)方法可以如下考慮：

汽車從青山到秀水用了15-13=2小時，青山、秀水兩地相距50+70=120千米，所以車速為120÷2=60千米/時，從王家莊到秀水用了15-10=5小時，所以王家莊到秀水相距60×5=300千米，所以王家莊與翠湖相距300-70=230千米；

2、用方程的方法可以通過數(shù)形結(jié)合，從不同角度設(shè)未知數(shù)，分析數(shù)量關(guān)系，緊扣汽車勻速行駛（速度不變）找相等關(guān)系，列出一元一次方程求解。

本節(jié)問題的背景和表達(dá)貼近實(shí)際，有些條件比較隱蔽，如汽車在各路段行駛的時間，需要學(xué)生從表格中獲取相應(yīng)的信息，還有行程問題中的數(shù)量關(guān)系式：路程=速度×?xí)r間等。

因此，教學(xué)中可先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)行程問題中速度、時間、路程三者間的關(guān)系式，尤其是速度=路程÷時間，然后引導(dǎo)學(xué)生弄清題意，畫出如下的線段圖：

再結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，把汽車勻速行駛途經(jīng)王家莊、青山、秀水三地的時間求出：

王家莊到青山的時間是13-10=3小時；

青山到秀水的時間是15-13=2小時；

王家莊到秀水的時間是15-10=5小時。

接著，結(jié)合線段圖，引導(dǎo)學(xué)生挖掘圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，把位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系為一根主線貫穿教學(xué)的全過程，不斷變換解題的方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的能力。

解法1（教材給出的方法） 如圖，汽車勻速行駛途經(jīng)王家莊、青山、秀水三地，翠湖在青山、秀水兩地之間，距青山50千米，距秀水70千米，如果設(shè)王家莊到翠湖是x千米，則王家莊到青山的路程是（x-50）千米，王家莊到秀水的路程是（x+70）千米，汽車的速度是 千米/時或 千米/時

根據(jù)汽車勻速行駛，可知各段路程的車速相等，于是列出方程：

解此方程直接求出王家莊到翠湖間的路程是230千米。

解法2. 如圖，汽車勻速行駛途經(jīng)王家莊、青山、秀水三地，翠湖在青山、秀水兩地之間，距青山50千米，距秀水70千米，如果設(shè)王家莊到青山是y千米，則王家莊到秀水的路程是（y+50+70）千米，汽車的速度是 千米/時或 千米/時；

根據(jù)汽車勻速行駛，可知各段路程的車速相等，于是列出方程：

解此方程求出y，所以王家莊到翠湖的路程有（y+50）千米

二、某些幾何題可引導(dǎo)學(xué)生巧添輔助線

如：新人教版七年級數(shù)學(xué)下冊第七章三角形教學(xué)中，有這樣一個例題：如圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從C島看A、B兩島的視角∠ACB是多少度？

解法1（教材給出的方法）

∠CBA=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°，

由AD∥BE，可得∠BAD+∠ABE=180°，

所以∠ABE=180°-∠BAD=180-80°=100°，

∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°，在△ABC中，

∠ACB=180-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°

解法2、過點(diǎn)C作AD的垂線，交直線AD于點(diǎn)M，交BE于點(diǎn)N

由CM⊥AD可得， ∠AMC=90°，

由AD∥BE可得

∠BNC=180°-∠AMC

=180°-90°=90°

在△ACM中，∠ACM=180°-∠AMC-∠CAM=180-90°-50°=40°

在△BCN中，∠BCN=180°-∠BNC-∠CBN=180°-90°-40°=50°

由平角的定義可得，

∠ACB=180°-∠ACM-∠BCN =180°-40°-50°=90°

當(dāng)然，還有很多種解法，這里就不一一列舉了，可見，數(shù)學(xué)教學(xué)中的一題多解有利于鍛煉學(xué)生思維的靈活性，活躍思路，讓學(xué)生能根據(jù)題目給出的已知條件，并結(jié)合自身情況，靈活地選擇解題切入點(diǎn)。

以上是利用一題多解的方法培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的幾個例子，對于這樣的教學(xué)方法，還是有幾個問題需要說明：

1、采用上述教學(xué)方法比較費(fèi)時間，且不是每個例題都有必要和可能這樣教學(xué)。教師應(yīng)該在充分研究例題的基礎(chǔ)上，有選擇的適時采用，次數(shù)不宜過多。

2、不同的教師對同一例題的上述教學(xué)方法的設(shè)計(jì)可能不相同，這是正?，F(xiàn)象。但是，任何這類教學(xué)方法的設(shè)計(jì)，都必須在充分了解學(xué)生認(rèn)知水平的情況下進(jìn)行。特別要掌握學(xué)生平時解題習(xí)慣采用的思路。教學(xué)時給予中肯的評價，針對學(xué)生的弱點(diǎn)，有意識到編排到教學(xué)中去，使學(xué)生能真正受益。

3、一道例題的各種解題思路，教學(xué)時一般不由教師提出。最好先由學(xué)生充分思考后提出方案，教師歸納各種不同意見，整理為幾種有代表性的思路。有時學(xué)生提出的思路是教師事前沒有想到的，這就要求教師有較高的鑒別能力，必要時還要調(diào)整原來的教學(xué)安排，以適應(yīng)教學(xué)中發(fā)生的新情況。

總之，一題多解有利于學(xué)生思維能力的提高。隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，對未來人才的要求，特別是對具有創(chuàng)造能力人才的要求越來越高，因此發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造能力，已經(jīng)成為提高學(xué)生素質(zhì)的核心內(nèi)容之一，培養(yǎng)學(xué)生良好的發(fā)散思維習(xí)慣是提高創(chuàng)造能力的重要環(huán)節(jié)，“一題多解”有利于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，在教師的啟發(fā)、引導(dǎo)下，對一道題學(xué)生可能提出兩種、三種甚至更多種解法，課堂成為同學(xué)們合作、爭辯、探究、交流的場所，它能極大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更能滿足不同層次學(xué)生的要求。這時學(xué)生的思維已經(jīng)不是簡單的“發(fā)散”，進(jìn)一步的“聚斂”，而且在向更高一層的“組合”發(fā)展，這已經(jīng)是創(chuàng)新的開始。

【參考文獻(xiàn)】

[1]新人教版九年義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)教材（七年級下冊）；

[2]《課程資源庫——思維創(chuàng)新訓(xùn)練》（新疆青少年出版社、喀什維吾爾文出版社）；