馮美燕+鄭霞

【內(nèi)容摘要】

從《孫子算經(jīng)》至今，一千五百年來對(duì)《雞兔同籠》的研究歷久彌新，究竟有何魅力？從俞正強(qiáng)老師對(duì)本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路“羅列方法，回顧歷程；解讀方法，溝通聯(lián)系；感悟方法，一脈相承”中，我們感受到一課三境：參禪之初，看山是山，看水是水；禪有悟時(shí)，看山不是山，看水不是水；禪中徹悟，看山仍是山，看水仍是水。我們也從中感悟到：在一節(jié)復(fù)習(xí)課中如何“拎一拎”、如何“音聲相和”、如何講一個(gè)“數(shù)學(xué)寓言”。這些應(yīng)該就是《雞兔同籠》的魅力所在。

【關(guān)鍵詞】一課三境數(shù)學(xué)寓言

《雞兔同籠》，古已有之，從《孫子算經(jīng)》至今，一千五百年來卻是歷久彌新，究竟有何魅力？筆者有幸聆聽了俞正強(qiáng)老師的《雞兔同籠》一課，隱隱約約覺得找到了一些答案，于是撰寫成文，與大家一起分享。

【教學(xué)回顧】

宋代禪宗大師青原行思提出參禪的三重境界：參禪之初，看山是山，看水是水；禪有悟時(shí)，看山不是山，看水不是水；禪中徹悟，看山仍是山，看水仍是水。俞正強(qiáng)老師的這節(jié)課就體現(xiàn)了這三重境界，從羅列方法到溝通聯(lián)系到一脈相承，正好吻合整個(gè)節(jié)奏。

一、看山是山，看水是水：羅列方法，回顧歷程

1.出示問題

雞兔有頭7個(gè)，有腳20只，問有雞兔各幾只？

2.回憶解法

抽生板演，師生共同整理后，呈現(xiàn)出如下方法。

3.命名解法

師生探討后一致決定：①命名為畫圖法；②命名為湊數(shù)法；③命名為算式法；④命名為方程法。

二、看山不是山，看水不是水：解讀方法，溝通聯(lián)系

1.分類

師：如果想把四種方法分成兩類，你會(huì)怎么分？

（畫外音：學(xué)生共出現(xiàn)四種分類方法：①②一類，③④一類；①②③一類，④一類；①一類，②③④一類。①③一類，②④一類。俞老師請(qǐng)學(xué)生解釋聽得懂的分類方法，最后大多數(shù)學(xué)生集中到第四種，表示不理解。下面的教學(xué)就從第四種開始著重使力。）

師：我們不理解，她為什么這么分類，請(qǐng)她說說這么分類的依據(jù)是什么？

生：①③都是先假設(shè)全是雞，然后把兔的腳補(bǔ)上。第三種方法就是把第一種方法用算術(shù)進(jìn)行表達(dá)。②④兩種方法都是在假設(shè)。

2.溝通

師：我們來看看道理好不好。

（畫外音：師幫生理清思路，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來①的每一個(gè)圖都對(duì)應(yīng)③的每一個(gè)算式）

師：第三種就是第一種的算式，畫圖當(dāng)中的每一步都對(duì)應(yīng)一個(gè)算式。①③歸為一類有道理嗎？②④類呢？

生：它們也是對(duì)應(yīng)著算式的，x就是雞，7-x就是兔。

師：如果雞是1，兔是幾？（7-1）；如果雞是2，兔是幾（7-2）；如果雞是3，兔是幾？（7-3）；如果雞是x，兔是幾？（7-x）。每一只雞都長(zhǎng)幾只腳（2只），所以要干嘛？（乘2），每一只兔是幾只腳？（4只），所以它要乘以4。他發(fā)現(xiàn)二、四道理是一樣的。所以他把它們歸為一類，有沒有道理？

3.聯(lián)結(jié)：

師：大家發(fā)現(xiàn)沒有？我們發(fā)現(xiàn)算式法和畫圖法是緊密聯(lián)系的，方程法和湊數(shù)法是緊密聯(lián)系的，畫圖和湊數(shù)一類，算式和方程一類，他們的差別是因?yàn)殡y度的差別還是因?yàn)槭裁吹牟顒e？

生1：畫圖、湊數(shù)是基礎(chǔ)，算式、方程是提高。

生2：我覺得應(yīng)該是畫圖、湊數(shù)適合數(shù)值比較小的，算式、方程適合數(shù)值比較大的。

師：我們?yōu)槭裁匆岣吣?？因?yàn)樘岣叩目梢詫?duì)數(shù)值大的，而基礎(chǔ)的只能對(duì)數(shù)值小的。后面是提高法，前面是基礎(chǔ)法，后面的就是前面的，整個(gè)都提高了。同學(xué)們，我們通過這樣的分類，跟開始上課的感覺一樣嗎？如果不一樣，不一樣在哪？

生：上課前覺得畫圖和湊數(shù)應(yīng)該用不到了，用的是算式和方程。上完后覺得歸根結(jié)底還是一樣的。

師：歸根結(jié)底還是一樣的，他本來把畫圖法拋棄了，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)其實(shí)是同一種方法。

三、看山仍是山，看水仍是水：感悟方法，一脈相承

1.三生萬(wàn)物

師：我們學(xué)數(shù)學(xué)為了什么？六年下來在做同一道題目，數(shù)學(xué)在干什么？

生：從不同的角度來看同一道題目，然后就會(huì)發(fā)現(xiàn)很多的新方法。

師：五、六年級(jí)這樣做。猜猜七、八年級(jí)會(huì)怎么做？你們還會(huì)長(zhǎng)大的。

（畫外音：學(xué)生的猜測(cè)主要有兩種：一種認(rèn)為與各年齡段的方法都有聯(lián)系；一種直接喊出用二元一次方程來解）

師：把七八年級(jí)的方法放到畫圖法和湊數(shù)法中來，大家發(fā)現(xiàn)畫圖法和湊數(shù)法，其實(shí)也是一樣的。

生：這5種方法都是類似的。

師：我把它動(dòng)起來好吧！師邊講邊畫。

師：上面部分雞頭+兔頭=幾（7），下面部分雞腳+兔腳=幾（20），這就是七八年級(jí)的解法。

2.九九歸一

師：到現(xiàn)在為止，你的感覺有了什么變化？這5種方法中，你認(rèn)為哪種方法是不用教的？

（畫外音：學(xué)生有如下四種答案：畫圖法；七八年級(jí)的；湊數(shù)法；都不用。）

師：方程法不教你們會(huì)嗎？算式法呢？湊數(shù)法呢？畫圖法不教你們會(huì)畫嗎？

生1：都不用教。

生2：教是不用教的，但老師適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥還是要的。

師：這些方法都跟誰(shuí)有關(guān)？

生：假設(shè)。

師：我們表面上看算式法，方程法比較難，細(xì)看發(fā)現(xiàn)難的就是簡(jiǎn)單的。今天老師上這節(jié)課的目的是什么？你明白我的心嗎？

生：打好基礎(chǔ)，不要固定思維。

師：無非是一個(gè)基礎(chǔ)版，一個(gè)升級(jí)版。很多題目，其實(shí)不需要老師那么辛苦，只要稍稍點(diǎn)撥一下，這些話都是你們說的，不是我說的。

【教學(xué)賞析】

聽完這節(jié)課，浮想聯(lián)翩，對(duì)“教無止境”“生生不息”“萬(wàn)物歸一”等詞覺得異常親切，因?yàn)檫@節(jié)課讓我切切實(shí)實(shí)感悟到了它們的意思。感悟最深的有三點(diǎn)：

一、是一節(jié)“拎一拎”的復(fù)習(xí)課

俞正強(qiáng)老師在《種子課：一個(gè)數(shù)學(xué)特級(jí)教師的思與行》一書中指出：“以增強(qiáng)知識(shí)的深刻性為目的的復(fù)習(xí)樣式，我們稱為拎一拎?！薄傲嘁涣?，通常是指提高一下，使學(xué)生在復(fù)習(xí)中有新的認(rèn)識(shí)，新的數(shù)學(xué)感悟。”“在復(fù)習(xí)階段，將許多已學(xué)的知識(shí)放在一起，通過聯(lián)結(jié)、比較，很容易體會(huì)到新的數(shù)學(xué)。”聽了他的《雞兔同籠》后，感覺這正是對(duì)以上這些話的最佳詮釋。

“雞兔同籠”，從解法上而言，不同年齡特點(diǎn)的學(xué)生有不同的解法。通過學(xué)生的反饋，我們發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過六年的學(xué)習(xí)，回過頭去看，學(xué)生們習(xí)慣了算式法和方程法，畫圖和湊數(shù)這兩種方法漸漸離開了學(xué)生。為什么會(huì)這樣呢？究其原因，回想我自己上“雞兔同籠”的場(chǎng)景，教一種是一種，像猴子下山掰玉米那樣，掰一個(gè)，扔一個(gè)，總覺得后面的方法要比前面的方法好，要先進(jìn)，根本沒有去溝通方法與方法之間的聯(lián)系，才導(dǎo)致學(xué)生們也認(rèn)為每一種方法都是一種獨(dú)立的方法造成的。

那怎樣在這節(jié)復(fù)習(xí)課中，讓學(xué)生自己去感悟到方法與方法之間的聯(lián)系呢？且看俞老師兩問：畫法、算式法分成一類，湊數(shù)法和方程法分成一類，為什么可以這樣分？這樣分的理由是什么？俞老師這一問，問住了學(xué)生，也問住了我們聽課的老師，同時(shí)問出了這節(jié)課的關(guān)鍵。起先，學(xué)生一驚，??？還可以這樣分啊，似乎不太明白，后來經(jīng)過俞老師的一番講解：把解法和算法系統(tǒng)地聯(lián)系在一起，比較溝通了方法與方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，方法不同，道理相通。學(xué)生頓悟了，對(duì)畫圖法、湊數(shù)法這兩種原先鄙視的方法，充滿敬意，有些同學(xué)雖然說不出，但都已經(jīng)深刻地體會(huì)到：畫圖法、湊數(shù)法是根本，算式法、方程法是延伸，只不過一個(gè)是基礎(chǔ)版，一個(gè)是提高版而已。我想，這就是這節(jié)課的復(fù)習(xí)所在，“新”在想法上，實(shí)現(xiàn)了從“通”到“化”的過程，在貫通過程中，學(xué)生獲得了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的“新”高度。

二、是一次漸入佳境的“音聲相和”

干國(guó)祥老師在《理想課堂的三重境界》中提出：“理想課堂第一重境界，落實(shí)有效教學(xué)框架；第二重境界，發(fā)掘知識(shí)的內(nèi)在魅力；第三重境界，知識(shí)、生活與生命的共鳴。”俞老師的這節(jié)課三者皆有，尤其是第三重境界，使我們聽得意猶未盡。

讓我們來看看他在課堂中拋出的問題：“小朋友，黑板上的問題你會(huì)解答嗎？”“你覺得哪種最難？哪種最容易？”“把這四種方法分成兩類，你會(huì)怎么分？”“你對(duì)哪種方法最驚訝？”“現(xiàn)在再看四種方法，有什么想說的？”“如果你一種方法都不會(huì)，怎么辦？”“七八年級(jí)會(huì)怎么學(xué)？”“到現(xiàn)在你有什么數(shù)學(xué)感受？”“哪種方法不用老師教？”

再來感受一下學(xué)生的表情和反應(yīng)：“哼！”——這也太容易了；“嗯？”——還可以分類呀；“??？”——還有這種分法；“哦……”——原來是這樣；“呀……”——數(shù)學(xué)太有趣了！這“哼！”“嗯？”“??？”“哦……”“呀……”不就是《老子》中的“音聲相和”嗎？這種相互協(xié)調(diào)、此唱彼和不就是一種靈魂的共鳴嗎？

正如有人所言：“數(shù)學(xué)并不是冷冰冰的圖形與數(shù)據(jù)，而是自然、社會(huì)、歷史背后的神秘，是人類探索世界過程中發(fā)現(xiàn)的最可靠的武器、工具。”“優(yōu)秀的數(shù)學(xué)課堂，應(yīng)該讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)感受到、理解到他們所使用的、所教學(xué)的是曾經(jīng)被人類視為上帝語(yǔ)言的奇妙的數(shù)。”

三、是一個(gè)浪漫美麗的“數(shù)學(xué)寓言”

記得上完課后，浙江省數(shù)學(xué)教研員斯苗兒老師現(xiàn)場(chǎng)采訪學(xué)生：“假如二十年后你的孩子要上學(xué)了，你會(huì)把你的孩子送到俞老師門下嗎？”“你覺得雞和兔會(huì)關(guān)在一個(gè)籠子里嗎？”“你覺得我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)雞兔同籠？”學(xué)生們的回答真實(shí)又精彩：“我愿意?！薄安粫?huì)關(guān)在一個(gè)籠子里。”“我們研究買東西時(shí)，告訴總價(jià)和鉛筆、本子的單價(jià)，求各自的數(shù)量時(shí)就用得著這些方法了。”

我想，俞老師看似簡(jiǎn)單的課，背后卻一點(diǎn)也不簡(jiǎn)單，短短一節(jié)課的時(shí)間，學(xué)生們?cè)诔砷L(zhǎng)，慢慢形成了對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知，他們突然發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)原來那么有用，可以舉一反三，觸類旁通。只要改變自己的想法就能用新的方法去解決問題，學(xué)習(xí)只需要老師稍稍點(diǎn)撥就行了。

我們都聽過《農(nóng)夫與蛇》《東郭先生與狼》等寓言故事，明白了一些道理，但現(xiàn)實(shí)生活中農(nóng)夫是不會(huì)把蛇放到懷里的，東郭先生是不會(huì)和狼說話的，這些故事只是借例說理。寓言是有所隱含的語(yǔ)言，是寓意于言中。俞老師這節(jié)《雞兔同籠》何嘗不是一個(gè)數(shù)學(xué)寓言呢？我們的一節(jié)節(jié)數(shù)學(xué)課何嘗不是一個(gè)個(gè)美麗浪漫的寓言呢？

俞老師的課，不僅僅是為數(shù)學(xué)服務(wù)的，更是為了學(xué)生成長(zhǎng)服務(wù)的。通過本節(jié)課的教學(xué)，修正了學(xué)生們對(duì)數(shù)學(xué)的看法和想法，也修正了我的想法。如果每個(gè)人都像俞老師這樣教學(xué)，學(xué)生們一定會(huì)變得更聰明，如果每個(gè)人都像俞老師這么思考，我們一定會(huì)變得更通透。

【參考文獻(xiàn)】

[1]俞正強(qiáng).種子課——一個(gè)數(shù)學(xué)特級(jí)教師的思與行[M].北京：教育科學(xué)出版社，2013，76-77.

[2]干國(guó)祥.理想課堂的三重境界[M].北京：文化藝術(shù)出版社，2011，82-83.