文︳張新春

皮亞諾公理體系下的自然數(shù)運(yùn)算（二）

文︳張新春

2.乘法

到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)定義了自然數(shù)的加法，并討論了有關(guān)加法的一些性質(zhì)與定律。我們將在這一節(jié)討論自然數(shù)的乘法。當(dāng)然，首先得把乘法定義出來。我們能利用的只有自然數(shù)的加法以及相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)與定律。

乘法也是用歸納的方法定義的。說起來也簡(jiǎn)單，就是對(duì)任意的兩個(gè)自然數(shù)m和n，我們都要規(guī)定n×m是什么意思（這里，我們已經(jīng)在使用“×”了，即已經(jīng)用n×m表示把n乘到m上了）。也可以這么說，對(duì)于任意的自然數(shù)n，我們要規(guī)定以下這些式子的意義：

n×0、n×1、n×2、n×3、n×4、n×5、n×6、…

因?yàn)樽匀粩?shù)的個(gè)數(shù)是無限的，要逐個(gè)規(guī)定以上無窮多個(gè)式子的意義，我們只能利用數(shù)學(xué)歸納法?；舅悸肥牵戎苯右?guī)定上述第一個(gè)式子的意義，然后借助前一個(gè)式子的意義規(guī)定后一個(gè)式子的意義。如此下去，每一個(gè)式子的意義都規(guī)定出來了。下面，我們把上述分析寫得稍稍嚴(yán)格一點(diǎn)。

定義1（自然數(shù)乘法）：設(shè)n是任意的自然數(shù)，我們規(guī)定n×0=0。設(shè)已經(jīng)定義好了n×m，我們定義n×（m+）=n×m+n。

根據(jù)這個(gè)定義，有：

n×0=0，

n×1=n×0+n=0+n=n，

n×2=n×1+n=n+n，

n×3=n×2+n=n+n+n，

……

當(dāng)然，也可以說，所謂定義乘法，即是對(duì)任意的自然數(shù)m，規(guī)定以下這些式子的意義：

0×m、1×m、2×m、3×m、4×m、5×m、6×m、…

這里使用歸納法，我們也可以這樣定義乘法：

定義2（自然數(shù)乘法）：設(shè)m是任意的自然數(shù)，規(guī)定0×m=0。設(shè)已經(jīng)定義好了n×m，我們定義（n+）×m=m+（n×m）。

根據(jù)這個(gè)定義：

0×m=0，

1×m=m+（0×m）=m，

2×m=m+（1×m）=m+m，

3×m=m+（2×m）=m+m+m，

……

就像加法是重復(fù)的“后繼”一樣，乘法是重復(fù)的加法。

定義1與定義2都是用歸納的語言說明n× m的意義，定義1是固定n，對(duì)m作歸納，而定義2則是固定m，對(duì)n作歸納。

應(yīng)該說明的是，不論按定義1還是按定義2，n×m和m×n的意義是不同的。若按定義1，n×，若按定義2則恰好相反。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，在引入乘法的意義時(shí)，并沒有區(qū)分這兩個(gè)算式的意義，是為了降低教學(xué)難度，減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)。

以下是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中引入乘法的部分：

其他小學(xué)數(shù)學(xué)教材采用的方法大體類似。這里采用的是模糊的處理辦法：4個(gè)2相加，可以寫成4×2或2×4，那么2個(gè)4相加，就可以寫成2×4或4×2。也就是說，4×2可以表示2個(gè)4相加或4個(gè)2相加，2×4也可以表示2個(gè)4相加或4個(gè)2相加。于是4×2與2×4的意義就完全一樣。我們把小學(xué)數(shù)學(xué)教材中關(guān)于乘法的定義一般化：n×m和m×n都可以表示n個(gè)m相加或m個(gè)n相加，從而意義一樣。若作嚴(yán)格的分析，這樣的規(guī)定有兩個(gè)問題：首先，把n×m定義為n個(gè)m相加或m個(gè)n相加，首先就要解決n個(gè)m相加或m個(gè)n相加的和是否相等的問題。當(dāng)然，這個(gè)問題由加法的性質(zhì)得到保證。但即使是這樣，也還是有第二個(gè)問題，即不符合數(shù)學(xué)定義的簡(jiǎn)潔性要求。同時(shí)，若引進(jìn)乘法的意義時(shí)，規(guī)定n×m和m×n的意義是相同的，以后又讓學(xué)生探究乘法是否具有交換律，即探究n×m的結(jié)果是否和m×n的結(jié)果相同。這在邏輯上是很荒唐的：意義都完全一樣了，結(jié)果能不相同嗎？

我們認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)乘法的負(fù)擔(dān)并不在于是把2×4的意義規(guī)定為4個(gè)2相加還是規(guī)定為4個(gè)2相加或2個(gè)4相加，而在于當(dāng)乘法的意義和基本性質(zhì)、運(yùn)算定律都明確之后，在解決某一個(gè)具體問題時(shí)，我們還機(jī)械地要求學(xué)生列式只能寫成m×n而不能寫成n×m。因此，除了把乘法的意義作一個(gè)模糊處理外，我們還可以有另外一種處理辦法：首先明確規(guī)定乘法的意義（即規(guī)定m×n的唯一意義），到以后明確乘法的交換律后，再約定在解決具體問題時(shí)不再對(duì)兩個(gè)因數(shù)的順序作明確要求。

另外，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中把乘法規(guī)定為幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算，這里需要補(bǔ)充兩個(gè)定義，一是關(guān)于1的，a×1的意義是不能用加法說明的，即不能說a×1是“1個(gè)a相加”，于是，原來的大綱版教材中補(bǔ)充規(guī)定a×1=a；二是補(bǔ)充規(guī)定a×0=0。數(shù)學(xué)中經(jīng)常有這類規(guī)定，需要強(qiáng)調(diào)的是，這類規(guī)定看似隨意，其實(shí)是有其合理性的。比如，要保證乘法運(yùn)算定律普遍正確，就必須規(guī)定a×1=a,a×0=0。以a×0為例，由乘法分配律，a×0+a×0=a×（0+0）=a×0，于是a×0=0。這就說明，如果不規(guī)定a×0=0，則乘法分配律就不能得到滿足。

以下討論乘法的運(yùn)算定律。與證明加法交換律與結(jié)合律的方法完全類似，我們可以證明：

在此，我們不詳細(xì)證明以上兩個(gè)運(yùn)算定律，只證明：

由于乘法滿足交換律，我們只需證明上述等式中的一個(gè)即可。我們證明后一個(gè)，方法仍然是數(shù)學(xué)歸納法：固定a和b，對(duì)c用歸納法。

當(dāng)c=0時(shí)，a×（b+0）=a×b，a×b+a×0=a×b，于是a×（b+0）=a×b+a×0，即c=0時(shí)，乘法分配律成立。

假設(shè)a×（b+c）=a×b+a×c，我們來證明a×（b+ c+）=a×b+a×c+。

根據(jù)加法的定義與加法的交換律，b+c+=（c+）+ b=（c+b）+=（b+c）+，于是a×（b+c+）=a×（b+c）+，根據(jù)乘法的定義，a×（b+c）+=a×（b+c）+a=a×b+a×c+ a=a×b+a×c+，這樣就完成了歸納。

數(shù)學(xué)教育的真功夫是對(duì)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育的把握，唯此才能成就好的數(shù)學(xué)課堂。湖南數(shù)學(xué)教師的老朋友，《湖南教育》的申建春老師開通了微信公眾號(hào)“與數(shù)學(xué)老師談心”，請(qǐng)關(guān)注。