李劍敏 吳躍成 宣海楓 陳文華 潘曉東 王 威 周新騰

1.浙江理工大學(xué)浙江省機(jī)電產(chǎn)品可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州，3100182.杭州前進(jìn)齒輪箱集團(tuán)股份有限公司，杭州，310027

基于齒面網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)變形量的齒廓修形計(jì)算方法

李劍敏1吳躍成1宣海楓1陳文華1潘曉東2王 威1周新騰1

1.浙江理工大學(xué)浙江省機(jī)電產(chǎn)品可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州，3100182.杭州前進(jìn)齒輪箱集團(tuán)股份有限公司，杭州，310027

針對(duì)重載齒輪修形計(jì)算問(wèn)題，提出了按照齒頂、齒面在載荷作用下的變形量進(jìn)行修形的方法，以有限元?jiǎng)恿W(xué)計(jì)算結(jié)果為依據(jù)，提取輪齒相關(guān)節(jié)點(diǎn)的位移，處理得到其彈性變形，作為齒輪最大修形量進(jìn)行修形；編制了計(jì)算程序，實(shí)現(xiàn)了齒輪修形輪廓線的自動(dòng)計(jì)算；某風(fēng)電齒輪箱三級(jí)齒輪經(jīng)該方法修形后，齒輪最大應(yīng)力減小約20%，延長(zhǎng)了齒輪壽命，提高了齒輪可靠性。

齒輪修形；有限元分析；節(jié)點(diǎn)變形；應(yīng)力

0 引言

齒輪是機(jī)械傳動(dòng)的主要方式，在風(fēng)電、航空、艦船、車輛等領(lǐng)域都有著極為廣泛的應(yīng)用。經(jīng)典齒輪齒面輪廓一般按漸開(kāi)線設(shè)計(jì)，但在嚙入/嚙出階段的沖擊增大了輪齒表面應(yīng)力；嚙合過(guò)程中,輪齒受載荷作用而變形，使得齒面曲線發(fā)生變化，也造成嚙合應(yīng)力有所增大。以上原因造成齒輪嚙合應(yīng)力比預(yù)期的值要大，從而使齒輪的壽命縮短，可靠性降低。為延長(zhǎng)齒輪壽命，提高其可靠性，通過(guò)齒輪修形來(lái)減小和均衡齒面接觸應(yīng)力成為目前主要的技術(shù)手段[1-3]。

目前在齒輪設(shè)計(jì)研究過(guò)程中，企業(yè)通常按照產(chǎn)品技術(shù)、工藝要求設(shè)計(jì)齒輪，然后根據(jù)齒輪的形制、載荷、材料等技術(shù)參數(shù)，進(jìn)行輪齒修形[4-6]，但在修形計(jì)算中，沒(méi)有對(duì)輪齒的表面應(yīng)力、變形狀況進(jìn)行分析，而修形與輪齒的嚙合應(yīng)力、變形等直接相關(guān)，因此，該修形方式不能得到較好的修形結(jié)果。近年來(lái)，基于有限元分析技術(shù)可進(jìn)行齒輪嚙合過(guò)程的數(shù)值仿真[7-11]，文獻(xiàn)[12-14]提出了基于有限元數(shù)值仿真結(jié)果的齒輪修形計(jì)算方法，但在上述修形計(jì)算中，齒輪最大修形量的取值及其物理含義尚不夠明確，大量的計(jì)算數(shù)據(jù)不能從有限元結(jié)果中自動(dòng)提取，數(shù)據(jù)交換比較復(fù)雜，需要大量的人工參與，在齒輪設(shè)計(jì)生產(chǎn)企業(yè)進(jìn)行推廣有一定困難。

本文提出了一種基于有限元結(jié)果的齒輪修形量計(jì)算方法，能夠在有限元分析基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)修形量、齒面輪廓的自動(dòng)計(jì)算。該修形方法使用ANSYS有限元程序的APDL語(yǔ)言生成齒輪三維模型，分析得到輪齒的應(yīng)力、應(yīng)變、位移等數(shù)值結(jié)果；根據(jù)上述結(jié)果計(jì)算輪齒修形量，并根據(jù)修形量移動(dòng)模型節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)形成新的輪齒曲面。對(duì)某風(fēng)電齒輪箱第三級(jí)齒輪副進(jìn)行修形前后對(duì)比計(jì)算，結(jié)果表明齒輪嚙合最大應(yīng)力減小約20%。

1 齒輪三維建模

由機(jī)械原理可知，漸開(kāi)線在極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系下的方程分別如下[15]：

(1)

(2)

式中，rb為基圓半徑；rk為漸開(kāi)線在任意點(diǎn)k的向徑；αk為漸開(kāi)線在k點(diǎn)的壓力角；θ、θk為展角。

齒輪模型除了漸開(kāi)線建模之外，根據(jù)實(shí)際加工情況，需建立齒根過(guò)渡曲線。值得注意的是，過(guò)渡曲線對(duì)于齒輪彎曲強(qiáng)度的求解有重要意義。根據(jù)普通齒條刀具切割過(guò)程，在直角坐標(biāo)系下，可得到漸開(kāi)線過(guò)渡曲線的方程[16-18]。

2 齒輪修形設(shè)計(jì)

齒輪運(yùn)行中的危險(xiǎn)應(yīng)力一般發(fā)生在齒面剛進(jìn)入嚙合時(shí)，主要原因是嚙合過(guò)程中會(huì)因碰撞(沖擊)、擠壓而產(chǎn)生彈塑性變形。根據(jù)齒輪嚙合工況設(shè)計(jì)，當(dāng)一個(gè)齒面剛嚙入時(shí)，嚙合處兩齒面相切是最佳嚙合設(shè)計(jì)工況，也就是漸開(kāi)線齒輪的基本要求。但當(dāng)齒輪受力變形時(shí)，其齒面輪廓發(fā)生了一定的變化，從補(bǔ)償變形角度來(lái)看，本文齒輪的最大修形量ep直接取齒頂嚙入變形量。但實(shí)際分析中，齒頂變形較難直接得到，因?yàn)樵邶X輪運(yùn)行過(guò)程中，輪齒整體的轉(zhuǎn)動(dòng)與受力引起的彈性變形耦合在一起，而修形量?jī)H與其彈性變形相關(guān)，因此，需要從有限元分析所提取的位移中剔除輪齒轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，從而得到輪齒的“真實(shí)”變形。通常齒輪受載荷引起的輪齒變形相對(duì)于齒輪整體轉(zhuǎn)動(dòng)引起的位置變化是很小的，因此，在分析中，不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)與彈性變形之間的相互耦合，僅認(rèn)為在提取的位移中，既包含了轉(zhuǎn)動(dòng)位移，也包含了彈性變形位移。轉(zhuǎn)動(dòng)位移視為剛性位移，可以按照剛體轉(zhuǎn)動(dòng)理論進(jìn)行計(jì)算，并從總位移中扣除，得到所需要的相對(duì)彈性位移。

如圖1所示，設(shè)A、C兩點(diǎn)為齒輪同一橫截面上兩個(gè)點(diǎn)，其中，A位于齒根處，C為齒面上的點(diǎn)。修形量計(jì)算需要得到C點(diǎn)相對(duì)于A點(diǎn)的彈性變形。設(shè)A、C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(xA,yA,zA)和(xC,yC,zC)。當(dāng)齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)之后，設(shè)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)了角θ，節(jié)點(diǎn)A的坐標(biāo)變?yōu)锳4(xA+ΔxA,yA+ΔyA,zA+ΔzA)。A4在oxy面上的投影為A2(xA+ΔxA,yA+ΔyA,0)，其中，θ=∠AoA2=∠CoC1，其計(jì)算公式如下：

(3)

式中，a為中心距。

圖1 向量在oxy平面內(nèi)的位移計(jì)算Fig.1 Displacement of the vector on oxy plane

點(diǎn)A、C在oxy面內(nèi)的投影，僅旋轉(zhuǎn)θ角之后所得節(jié)點(diǎn)為A1和C1。點(diǎn)A1、C1坐標(biāo)分量為

(4)

(5)

通過(guò)平移向量A1C1，即可獲得輪齒上C點(diǎn)在齒面上的相對(duì)位移。由于在齒輪嚙合動(dòng)力學(xué)分析中，各節(jié)點(diǎn)沿z軸方向的位移都很小(1μm以內(nèi))，故C點(diǎn)在z軸方向的理論位移直接取ΔzA，至此即可獲得C點(diǎn)剛性轉(zhuǎn)動(dòng)角時(shí)的理論位置C3(xA+ΔxA+xC1-xA1,yA+ΔyA+yC1-yA1,0)，如圖2所示。而節(jié)點(diǎn)C可通過(guò)有限元?jiǎng)恿W(xué)分析，得到包含彈性變形與剛性轉(zhuǎn)動(dòng)的綜合位移，即其坐標(biāo)值為C4(xC+ΔxC,yC+ΔyC,zC+ΔzC)，節(jié)點(diǎn)C4與C3的距離即為點(diǎn)C的彈性變形量。在修形量計(jì)算中，通過(guò)有限元軟件ANSYS的APDL語(yǔ)言獲得齒面上相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的彈性變形，作為齒廓最

圖2 節(jié)點(diǎn)C理論未變形旋轉(zhuǎn)位置Fig.2 Location place on rotation about node C

大修形量ep和齒向最大修形量e1、e2的計(jì)算參考數(shù)值。

齒廓修形長(zhǎng)度主要分為長(zhǎng)修形和短修形。一般可根據(jù)基節(jié)長(zhǎng)度和重合的關(guān)系獲得，即

λ=pb(εα-1)

(6)

式中，pb為齒輪基節(jié)長(zhǎng)度；εα為齒輪端面重合度。

齒廓修形的幾何形態(tài)如圖3所示，其齒廓沿漸開(kāi)線發(fā)生線方向上的修形量en可按下式確定[13,19]：

(7)

其中，ep可以取齒頂最大相對(duì)變形量；Le是最大修形量所在位置的漸開(kāi)線發(fā)生線長(zhǎng)度；Ls是修形起始的漸開(kāi)線發(fā)生線的長(zhǎng)度；n為齒廓修形函數(shù)指數(shù)(1

圖3 齒廓修形Fig.3 Tooth profile modification

對(duì)于齒向修形，主要考慮修鼓半徑、齒端最大修形量。本文考慮到修鼓量沿漸開(kāi)線方向的變化情況，將修形量遞減曲線和徑向修形長(zhǎng)度兩種因素考慮進(jìn)來(lái)。其中，修形量遞減曲線為齒端最大修形量隨漸開(kāi)線長(zhǎng)度變化而變化的曲線；徑向修形長(zhǎng)度為齒向修形時(shí)在漸開(kāi)線方向上的修形長(zhǎng)度。

圖4所示為漸開(kāi)線齒廓發(fā)生面內(nèi)的鼓形修形，齒面上各節(jié)點(diǎn)可通過(guò)下式確定[13]：

(8)

(9)

(10)

式中，e1、e2為齒端最大修形量；b1、b2為齒廓表面鼓形起始位置到齒端的距離(圖4)；zi為各節(jié)點(diǎn)所在z坐標(biāo)；ei為各節(jié)點(diǎn)齒向修形量。

圖4 齒廓發(fā)生面內(nèi)鼓形修形Fig4 Tooth drum modification in plane

本文以上述公式為基礎(chǔ)，編制了齒輪和修形的計(jì)算程序，實(shí)現(xiàn)了齒輪修形的自動(dòng)計(jì)算，其程序流程如圖5所示。在ANSYS有限元軟件里進(jìn)行齒輪建模，使用APDL提取齒面各節(jié)點(diǎn)編號(hào)及其三維坐標(biāo)；根據(jù)齒輪運(yùn)行工況進(jìn)行瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)計(jì)算，得到齒面嚙合應(yīng)力、變形的分布規(guī)律；根據(jù)有限元的計(jì)算結(jié)果，對(duì)齒面應(yīng)力較大的嚙合處、齒頂?shù)扔?jì)算修形量；由計(jì)算得到的修形量，轉(zhuǎn)換坐標(biāo)，進(jìn)行節(jié)點(diǎn)移位，并形成修形后的輪齒輪廓線；對(duì)新的齒輪進(jìn)行有限元計(jì)算，驗(yàn)證修形前后嚙合應(yīng)力的變化，完成齒輪修形分析過(guò)程。

圖5 齒輪建模分析流程圖Fig.5 Flow diagram of gear modeling

3 齒輪修形分析實(shí)例

本文以杭州前進(jìn)齒輪箱股份有限公司的某型風(fēng)電齒輪箱第三級(jí)齒輪對(duì)為研究對(duì)象，其主要參數(shù)見(jiàn)表1和表2。

表1 齒輪基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of the gear

表2 齒輪材料性質(zhì)參數(shù)[20]

將未修形的模型導(dǎo)入ANSYS中進(jìn)行齒輪瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析，齒輪材料為20CrMnTi，主動(dòng)輪轉(zhuǎn)速為275.97 r/min、齒輪輸出力矩為9160 N·m，其裝配模型如圖6所示。

圖6 齒輪模型以及約束定義Fig.6 Gears and constraint

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，獲得某齒面在設(shè)計(jì)載荷工況下的嚙合應(yīng)力、應(yīng)變分布情況。當(dāng)仿真時(shí)間為0.1739 s時(shí)，齒頂進(jìn)入嚙合狀態(tài)，提取此刻最大應(yīng)力節(jié)點(diǎn)編號(hào)，以此節(jié)點(diǎn)作為起始節(jié)點(diǎn)分別沿軸向和齒面漸開(kāi)線方向設(shè)計(jì)路徑，獲得嚙合路徑上的應(yīng)力、應(yīng)變分布情況，如圖7和圖8所示。從圖7可知，軸向路徑上最大應(yīng)力所在節(jié)點(diǎn)為z=0處節(jié)點(diǎn)，即齒頂外緣的齒端處，其應(yīng)力值為443.8 MPa；最小應(yīng)力在z=46 mm處，即齒頂中心位置處，其應(yīng)力值為351.717 MPa。從圖8可知，在漸開(kāi)線方向上，應(yīng)力最大處即齒頂處，其應(yīng)力值為443.8 MPa；最小應(yīng)力值為63.45 MPa，由于彎曲應(yīng)力的作用，沿齒根方向應(yīng)力逐漸增大。通過(guò)分析即可得到齒頂嚙合時(shí)危險(xiǎn)區(qū)域最大應(yīng)力所在位置及其應(yīng)力值。

圖7 齒輪軸向嚙合路徑上的應(yīng)力分布(0.1739 s時(shí))Fig.7 Stress on path of engage axial direction of gears when time is 0.1739 s

圖8 嚙合齒輪沿漸開(kāi)線方向應(yīng)力分布(0.1739 s時(shí))Fig.8 Stress on path of evolvent direction of gears when time is 0.1739 s

由式(3)～式(5)所示節(jié)點(diǎn)彈性變形量的計(jì)算方法，可以直接計(jì)算得到隨時(shí)間變化的齒頂兩端面危險(xiǎn)節(jié)點(diǎn)和齒頂中間節(jié)點(diǎn)的彈性變形量。當(dāng)齒頂中心節(jié)點(diǎn)處于嚙合狀態(tài)時(shí)，其變形量λ1=6 μm；齒頂兩端節(jié)點(diǎn)處于嚙合狀態(tài)時(shí)，其變形量λ2≈8μm和λ2≈7.2μm；其中以上位置獲得的節(jié)點(diǎn)變形量與各最大修形量ep、e1、e2之間的關(guān)系為

(11)則可得：齒廓修形最大修形量ep取6μm，齒向最大修形量e1、e2分別取2μm和1.2μm。通過(guò)上述確定的各最大修形量和修形曲線，即可獲得各節(jié)點(diǎn)因綜合修形而減少的漸開(kāi)線發(fā)生線長(zhǎng)度，并將其轉(zhuǎn)化為該節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)變化，直接生成新的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和齒的輪廓線。由于之前已提取了各齒面節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和編號(hào)，故在修形中，僅僅通過(guò)APDL就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)變化，無(wú)需對(duì)幾何結(jié)構(gòu)進(jìn)行重新設(shè)計(jì)和有限元網(wǎng)格重新劃分，從而大大提高了修形分析的計(jì)算效率。由于修形量都很小，故節(jié)點(diǎn)移動(dòng)所造成的單元形狀改變也很小，不會(huì)因有限元網(wǎng)格的畸變而導(dǎo)致計(jì)算不收斂或計(jì)算精度下降。

對(duì)于本算例，修改各齒面的節(jié)點(diǎn)三維坐標(biāo)，獲得修形后的齒輪模型。按原有外載和各約束參數(shù)重新進(jìn)行瞬態(tài)分析，結(jié)果如圖9、圖10所示。

圖9 修形之后齒頂嚙合時(shí)軸向應(yīng)力分布Fig.9 Stress on path of axial direction of gears after profile modification

圖10 修形之后齒頂嚙合時(shí)沿漸開(kāi)線方向的應(yīng)力分布Fig.10 Stress on path of evolvent direction of gears after profile modification

提取原來(lái)齒面在原來(lái)路徑上處于嚙合狀態(tài)時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變變化情況，發(fā)現(xiàn)沿漸開(kāi)線方向上的最大應(yīng)力從443.8MPa減小到363MPa，最小應(yīng)力從63.455MPa減小到51.031MPa，沿漸開(kāi)線方向齒根處應(yīng)力也從158.55MPa減小到129.024MPa，相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力值對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表3。通過(guò)對(duì)比，發(fā)現(xiàn)齒輪綜合修形能明顯地改善齒面上的應(yīng)力大小和應(yīng)力分布情況。

表3 齒頂嚙合時(shí)修形后軸向嚙合應(yīng)力分布比較

疲勞應(yīng)力S與壽命N的函數(shù)關(guān)系為

N=CS-M

(12)

考慮到風(fēng)力發(fā)電機(jī)通常處于沙漠、海島等，維修成本極高，對(duì)可靠性要求也較高。不同損傷概率下的齒輪材料20GrMnTi鋼的參數(shù)C、M值見(jiàn)表4，在表4中取損傷概率為1%進(jìn)行壽命計(jì)算。由于齒輪接觸應(yīng)力是脈沖式的應(yīng)力分布，按照脈動(dòng)循環(huán)應(yīng)力計(jì)算得到齒輪疲勞壽命，并進(jìn)行Goodman修正以消除非0均值應(yīng)力的影響。其中兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(齒頂邊緣、齒頂中間)修形前后疲勞壽命的變化情況見(jiàn)表5?？梢钥吹剑?jīng)過(guò)齒輪的綜合修形，齒面最大應(yīng)力減小約20%，其危險(xiǎn)節(jié)點(diǎn)壽命增加了2個(gè)數(shù)量級(jí)，普通齒頂節(jié)點(diǎn)壽命增加了4倍左右，從而延長(zhǎng)了齒輪壽命，提高了可靠性，達(dá)到了齒輪修形的目的。

表4 20GrMnTi鋼P(yáng)-S-N曲線參數(shù)估計(jì)

表5 兩節(jié)點(diǎn)修形前后疲勞壽命比較

4 結(jié)論

(1)本文提出了根據(jù)有限元齒輪瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)結(jié)果計(jì)算齒面關(guān)鍵點(diǎn)的彈性變形的計(jì)算方法，可以方便地得到齒輪的最大修形量。

(2)本文建立了基于有限元應(yīng)力結(jié)果的齒輪修形程序，通過(guò)有限元模型的建立、動(dòng)力學(xué)分析、關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的變形提取、修形計(jì)算、模型修改等步驟實(shí)現(xiàn)了程序化自動(dòng)計(jì)算，從而降低了修形分析的難度，有利于本方法在企業(yè)的推廣。

(3)本文以某風(fēng)電三級(jí)齒輪為研究對(duì)象，進(jìn)行了綜合修形，通過(guò)結(jié)果對(duì)比分析可知，齒面綜合修形能顯著降低齒面嚙合過(guò)程中的應(yīng)力，增加齒輪疲勞壽命，提高齒輪可靠性。提出了一種瞬態(tài)分析齒輪變形量的計(jì)算方法。

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(編輯 陳 勇)

Calculation Method of Tooth Profile Modification Based on Mesh Node Deformations

LI Jianmin1WU Yuecheng1XUAN Haifeng1CHEN Wenhua1PAN Xiaodong2WANG Wei1ZHOU Xinteng1

1.Key Laboratory of Reliability Technology for Mechanical and Electronic Product, Zhejiang Sci-Tech University,Hangzhou ,310018 2.Hangzhou Advance Gearbox Group Co.,Ltd.,Hangzhou, 310027

In order to deal with the problems of gear modification, a method to calculate the displacements of the gear tooth related nodes was proposed, which was based on the finite element dynamics calculation. The elastic deformations of the teeth were obtained by extracting the displacements of the gear teeth, which were used as the gear’s maximum profile.The calculation program was used to calculate the gear tooth profiles. Taking a wind power gear box for example, the maximum stress of the gear is reduced by about 20%, and the life of the gear is prolonged, and the reliability of the gear box is increased.

gear modification; finite element analysis; node deformation; stress

2015-10-08

國(guó)家國(guó)際科技合作專項(xiàng)(2015DFA71400)；浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(LY13E050025)

TH132.413;TP319

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.03.007

李劍敏，男，1962年生。浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院教授。主要研究方向?yàn)闄C(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與可靠性分析。獲省級(jí)科技進(jìn)步三等獎(jiǎng)1項(xiàng)。發(fā)表論文30余篇。E-mail:ljmzrz@163.com。吳躍成，男，1968年生。浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院副教授。宣海楓，男，1989年生。浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院碩士研究生。陳文華，男，1963年生。浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。潘曉東，男，1969年生。杭州前進(jìn)齒輪箱集團(tuán)股份有限公司教授級(jí)高級(jí)工程師。王 威，男，1990年生。浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院博士研究生。周新騰，男，1992年生。浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院碩士研究生。