何 翔 高宏力 郭 亮 吳遠(yuǎn)昊

西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，成都，610031

基于AR模型和譜熵的自適應(yīng)小波包絡(luò)檢測(cè)

何 翔 高宏力 郭 亮 吳遠(yuǎn)昊

西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，成都，610031

針對(duì)傳統(tǒng)故障診斷的包絡(luò)問(wèn)題，提出了一種基于自回歸(auto regressive,AR)模型和譜熵的自適應(yīng)復(fù)解析小波包絡(luò)檢測(cè)方法。通過(guò)AR模型從數(shù)據(jù)內(nèi)在規(guī)律性上剔除機(jī)械振動(dòng)信號(hào)中可線性預(yù)測(cè)的平穩(wěn)成分，提取共振衰減的非平穩(wěn)成分，在不同頻帶下進(jìn)行復(fù)解析小波包絡(luò)，結(jié)合譜熵在頻域內(nèi)與通帶濾波的相關(guān)性選定最佳包絡(luò)。仿真和試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明，該方法能有效地提取故障特征頻率，較傳統(tǒng)方法自適應(yīng)性更強(qiáng)，魯棒性更高，包絡(luò)效果更好，在工程應(yīng)用中具有良好的前景。

自回歸預(yù)測(cè)；小波變換；譜熵；包絡(luò)檢測(cè)

0 引言

齒輪、軸承、絲杠等旋轉(zhuǎn)機(jī)械在通用機(jī)械零部件中應(yīng)用廣泛，其運(yùn)行狀態(tài)往往直接影響整個(gè)機(jī)械系統(tǒng)的工作精度、壽命和可靠性，所以對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械零部件的診斷和檢測(cè)甚為重要[1]。當(dāng)零部件出現(xiàn)磨損、點(diǎn)蝕、變形等故障時(shí)若繼續(xù)受載運(yùn)轉(zhuǎn)，則轉(zhuǎn)軸每轉(zhuǎn)一周其工作表面會(huì)產(chǎn)生一個(gè)或多個(gè)沖擊信號(hào)，呈周期性自由衰減。提取沖擊信號(hào)能判別該零部件的故障及類型。包絡(luò)檢測(cè)又稱共振解調(diào)法，是目前最常用的旋轉(zhuǎn)機(jī)械振動(dòng)特征提取技術(shù)之一，可以有效提取表征零部件固有頻率的載波以及起調(diào)制作用的信號(hào)沖擊成分。但該技術(shù)局限性在于需要依據(jù)歷史經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定解調(diào)頻帶參數(shù)，而主觀因素會(huì)大大影響分析結(jié)果的穩(wěn)定性。

近年來(lái)，學(xué)者們嘗試運(yùn)用新技術(shù)對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行濾波及包絡(luò)檢測(cè)，效果顯著。ANTONI[2]提出了譜峭度，選取帶通濾波參數(shù)，優(yōu)化包絡(luò)解調(diào)效果。張根保等[3]以蟻群算法輔助經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?，提出了?yōu)化的閥值去噪方法。文獻(xiàn)[4]利用雙譜切片有效去除了高斯噪聲。何嶺松等[5]提出了一種綜合小波變換和復(fù)小波實(shí)現(xiàn)包絡(luò)檢測(cè)的算法，在全時(shí)頻空間對(duì)信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)處理。在此條件下，郭瑜等[6]優(yōu)化了濾波參數(shù)篩選算法，結(jié)合譜峭度和Morlet小波進(jìn)行檢波，降低了計(jì)算量。廖慶斌等[7]通過(guò)時(shí)序相關(guān)分析對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，進(jìn)一步豐富了故障診斷的手段。

為了提高旋轉(zhuǎn)機(jī)械在復(fù)雜工作環(huán)境下特征提取的準(zhǔn)確性及自主性，本文提出了一種基于AR模型和譜熵的自適應(yīng)小波包絡(luò)檢測(cè)新方法。該方法運(yùn)用AR模型對(duì)信號(hào)進(jìn)行參數(shù)化建模，提取共振衰減的非平穩(wěn)成分，通過(guò)全頻帶范圍內(nèi)不同頻帶的復(fù)解析小波進(jìn)行包絡(luò)，利用譜熵與頻域規(guī)律性的相關(guān)性特征，自適應(yīng)選定最佳小波包絡(luò)的參數(shù)。

1 AR模型

AR模型是隨機(jī)信號(hào)參數(shù)化分析的重要工具，它定義隨機(jī)信號(hào)是白噪激勵(lì)線性系統(tǒng)的響應(yīng)，將信號(hào)通過(guò)參數(shù)模型加以描述。其參數(shù)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)敏感，表征系統(tǒng)本質(zhì)，故將其引入信號(hào)包絡(luò)檢測(cè)領(lǐng)域[8]。

AR模型由線性回歸擴(kuò)展而來(lái)。取序列x，AR階數(shù)p，則y的AR(p)模型可以表示為

(1)

n>p

其中，ak是模型加權(quán)參數(shù)，ω(n)是零均值的白噪聲過(guò)程序列，其方差表征了線性預(yù)測(cè)的估計(jì)誤差[9]。基于AR模型預(yù)測(cè)信號(hào)成分的特性可知，就平穩(wěn)信號(hào)而言，ω(n)為高斯白噪聲；而發(fā)生故障時(shí)，則ω(n)包含非平穩(wěn)成分。

2 復(fù)解析小波包絡(luò)原理

機(jī)械故障診斷中，對(duì)振動(dòng)信號(hào)包絡(luò)檢測(cè)可以有效提取故障信號(hào)，一般采用Hilbert變換。小波變換是近年來(lái)興起的時(shí)頻分析工具，它有效減小了傅里葉變換的計(jì)算量。本文采用復(fù)解析小波提取振動(dòng)信號(hào)包絡(luò)。

2.1 小波變換

小波變換繼承了短時(shí)傅里葉變換局部化的優(yōu)勢(shì)，將信號(hào)于小波域展開(kāi)，避免其時(shí)頻域分辨率上的局限性。小波函數(shù)族ψa,b(t)由小波基ψ(t)平移伸縮得到：

(2)

式中，a為尺度參數(shù)(a>0)；b為定位參數(shù)。

對(duì)于有限能量信號(hào)x(t)連續(xù)小波變換，即以小波函數(shù)族ψa,b(t)為實(shí)函數(shù)的積分變換，可以表示為

(3)

x(t)∈L2(R)

其中，L2(R)是實(shí)數(shù)域上的2范數(shù)空間，如內(nèi)積空間。ψ(t)具有帶通特性，小波變換即在尺度a，通過(guò)中心頻率fc和帶寬σ的濾波器對(duì)信號(hào)x(t)進(jìn)行濾波：

Q=fc/σ

(4)

式中，Q為小波品質(zhì)因子(Q為常數(shù))，表征帶通特性。

以復(fù)Morlet小波為例。如圖1所示，不同尺度a下，fc與σ成正比。且根據(jù)Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)原理，其面積為一常數(shù)。

圖1 小波頻譜的恒Q帶通特性Fig.1 Bandpass characteristics of wavelet spectrum

2.2 復(fù)解析小波變換

小波基函數(shù)取決于信號(hào)和小波函數(shù)的匹配性。旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障信號(hào)可以表示為含有沖擊成分的振動(dòng)：

f(t)=e-β tej2πf0t

(5)

式中，β為振動(dòng)衰減系數(shù);f0為沖擊頻率。

復(fù)Morlet小波由高斯函數(shù)復(fù)諧波調(diào)制，具有對(duì)稱非正交、指數(shù)衰減、非緊支撐等特性，適用于時(shí)頻局部化，時(shí)域波形匹配沖擊信號(hào)，可以表示為

(6)

復(fù)Morlet小波頻域表達(dá)式為[6]

(7)

某復(fù)Morlet小波曲線如圖2所示。

(a)時(shí)域曲線

(b)頻域曲線圖2 復(fù)Morlet小波曲線Fig.2 Curve of complex Morlet wavelet

2.3 復(fù)解析小波包絡(luò)

復(fù)Morlet小波對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)濾波器。其實(shí)部ψr(t)是零相移濾波器，虛部ψi(t)是90°相移濾波器，因此，x(t)復(fù)Morlet小波變換可以表示為

Wx(a,t)=Re(Wx(a,t))+Im(Wx(a,t))=

x(t)·ψr(t)+x(t)·ψi(t)

(8)

其中，Re(·)、Im(·)分別是求實(shí)部和虛部的函數(shù)，由于時(shí)域內(nèi)卷積對(duì)應(yīng)頻域內(nèi)乘積，兩者可在時(shí)域內(nèi)卷積求得，如式(8);也可在頻域內(nèi)乘積后由逆傅里葉變換求得：

(9)

不難發(fā)現(xiàn)，小波系數(shù)實(shí)部和虛部相位正交，幅值相同，能通過(guò)式(9)求模得包絡(luò)。分析可知，復(fù)解析小波求包絡(luò)具備濾波特性。

3 基于譜熵的包絡(luò)檢測(cè)

3.1 譜熵原理及算法

熵起源于熱物理學(xué)，在熱力學(xué)第二定律后被提出，用來(lái)衡量系統(tǒng)混亂程度。信息論先驅(qū)Shannon最先提出了熵，以衡量概率與信息冗余度的聯(lián)系[10]。

信息熵被用來(lái)作為定義系統(tǒng)未知程度的標(biāo)準(zhǔn)[10]。信息成分越復(fù)雜，越多元，熵越大，可以表示為

(10)

式中，x為信息；P(x)為信息概率，即信息所占比重。

本文將信息熵這一概念延伸至旋轉(zhuǎn)機(jī)械零部件的故障診斷中。以信號(hào)包絡(luò)譜為一個(gè)信息集合，求該集合的信息熵，即譜熵。信號(hào)在頻域內(nèi)分布越紊亂，包絡(luò)效果越好，譜熵越大，以譜熵來(lái)衡量包絡(luò)效果。

3.2 構(gòu)造濾波器組

帶通濾波是復(fù)解析小波包絡(luò)的前提，參數(shù)的選取極其重要。本文引入了一種構(gòu)造濾波器組的思路[6]，主要依據(jù)如下：遍歷采樣頻率以內(nèi)不同中心頻率和帶寬，生成濾波器組。取0.8倍的奈奎斯特頻率為上限，將頻帶劃分為多個(gè)重疊的濾波器，各濾波器中心頻率為

fc=0.8fNyst/2i/aj

(11)

i=1,2,…,ajn

其中，fNyst是奈奎斯特頻率，即采樣頻率fs的一半；ajn是第j個(gè)尺度的濾波器個(gè)數(shù)。各濾波器的帶寬σ=fc/Q。

3.3 基于譜熵自適應(yīng)選定帶通參數(shù)

基于AR模型對(duì)信號(hào)參數(shù)化預(yù)測(cè)，可以篩選信號(hào)平穩(wěn)成分。根據(jù)復(fù)Morlet小波變換的濾波特性和小波對(duì)瞬態(tài)信號(hào)的匹配，對(duì)信號(hào)進(jìn)行解析包絡(luò)。結(jié)合AR模型和復(fù)Morlet小波變換，并基于譜熵自適應(yīng)選定最佳包絡(luò)參數(shù)，以提升檢測(cè)效果。本文提出了一種基于AR模型和譜熵的自適應(yīng)小波包絡(luò)檢測(cè)新方法。該方法流程如圖3所示。

圖3 自適應(yīng)小波包絡(luò)檢測(cè)方法Fig.3 Detection algorithm based on adaptive wavelet envelope

檢測(cè)方法具體檢測(cè)步驟如下：

(1)采集振動(dòng)信號(hào)；

(2)基于AR模型進(jìn)行線性預(yù)測(cè)，獲取增強(qiáng)信號(hào)；

(3)構(gòu)造不同帶通參數(shù)的復(fù)解析小波組；

(4)通過(guò)FFT逐個(gè)將步驟(2)獲取的信號(hào)和步驟(3)構(gòu)造的小波組在頻域內(nèi)點(diǎn)乘，實(shí)現(xiàn)復(fù)小波變換；

(5)通過(guò)IFFT轉(zhuǎn)換步驟(4)的結(jié)果到時(shí)域，求小波系數(shù)；

(6)對(duì)小波系數(shù)求模獲取包絡(luò)，得到包絡(luò)譜；

(7)計(jì)算包絡(luò)譜熵，以選定最佳包絡(luò)；

(8)根據(jù)最佳包絡(luò)確定步驟(3)中參數(shù)，實(shí)現(xiàn)檢測(cè)。

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 仿真試驗(yàn)

設(shè)采樣頻率fs=50kHz，仿真旋轉(zhuǎn)機(jī)械的轉(zhuǎn)速為2100r/min，轉(zhuǎn)頻f0=35Hz，轉(zhuǎn)頻信號(hào)可以表示為

z(t)=0.5sin(2πf0t)+1.5sin(4πf0t)

(12)

旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障多表現(xiàn)為瞬態(tài)沖擊，根據(jù)式(5)，設(shè)沖擊信號(hào)的振幅A=500，衰減系數(shù)β=500，固有頻率f0=2500Hz，由于沖擊信號(hào)的周期性，設(shè)周期T=0.01s。瞬態(tài)沖擊信號(hào)可以表示為

s(t)=Ae-β tcos(2πf0t)

(13)

仿真信號(hào)可以表示為

(14)

其中，w(t)表征系統(tǒng)和環(huán)境干擾的高斯白噪聲。

取AR階數(shù)p=40進(jìn)行線性預(yù)測(cè)。對(duì)比圖4明顯發(fā)現(xiàn)，非平穩(wěn)成分被有效提取。

根據(jù)式(11)，令n=3，Q分別取0.5、1、1.5、3，來(lái)構(gòu)造復(fù)解析小波組，不同復(fù)解析小波對(duì)應(yīng)不同的中心頻率和帶寬，如圖5所示。由尺度區(qū)分構(gòu)成4個(gè)小波集合。集合通過(guò)an個(gè)小波遍歷上限為20kHz的頻帶。

圖4 仿真信號(hào)和AR模型增強(qiáng)信號(hào)Fig.4 Simulation signal and enhanced signal

圖5 復(fù)解析小波組頻譜Fig.5 Group of complex analytic wavelet spectrum

分別基于圖5中36個(gè)復(fù)解析小波，對(duì)預(yù)測(cè)后增強(qiáng)信號(hào)帶通濾波，由式(9)求包絡(luò)信號(hào)、包絡(luò)譜及單位譜熵，如圖6a所示。由本文提出的基于AR模型和譜熵的自適應(yīng)小波包絡(luò)檢測(cè)新方法可知，在第4層尺度Q=3，i=17，即fc=2806Hz，σ=935Hz時(shí)獲得最佳包絡(luò)，且中心頻率fc和仿真機(jī)械系統(tǒng)固有頻率f0較為吻合，包絡(luò)效果如圖6b所示。

4.2 實(shí)測(cè)信號(hào)試驗(yàn)

為檢驗(yàn)方法對(duì)實(shí)測(cè)信號(hào)的有效性，本文采用凱斯西儲(chǔ)大學(xué)電氣實(shí)驗(yàn)中心的故障軸承數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)試驗(yàn)。系統(tǒng)主要包括驅(qū)動(dòng)、采集、試驗(yàn)和負(fù)載模塊。旋轉(zhuǎn)頻率fr=29.95 Hz，采樣頻率fs=12 kHz，測(cè)試軸承的型號(hào)為SKF6205-2RS-JEM-SKF，其參數(shù)見(jiàn)表1。

(a)單位譜熵圖

(b)采用最佳帶通參數(shù)的復(fù)解析小波包絡(luò)信號(hào)圖6 譜熵圖和最佳包絡(luò)信號(hào)Fig.6 Spectrum entropy diagram and best envelope signal

軸承類型基本尺寸(mm×mm×mm)滾珠數(shù)Z接觸角α(°)滾珠直徑d(mm)節(jié)徑D(mm)深溝球25×52×15907．9439．04

通過(guò)電火花對(duì)軸承內(nèi)圈人為損壞。根據(jù)下式：

(15)

求得軸承內(nèi)圈理論故障頻率fi=162.19Hz。

截取故障數(shù)據(jù)1024個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，通過(guò)小波去噪再由Hilbert變換求包絡(luò)，如圖7所示，能看出故障頻率在162Hz附近，但轉(zhuǎn)頻和諧波不易分辨。

(a)小波去噪結(jié)合Hilbert變換提取包絡(luò)

(b)Hilbert變換包絡(luò)譜圖7 傳統(tǒng)方法包絡(luò)Fig.7 Traditional method of envelope

基于本文提出方法，對(duì)信號(hào)進(jìn)行AR預(yù)測(cè)，如圖8a所示。自適應(yīng)確定帶通參數(shù)fc=3810Hz、σ=1270Hz，求相應(yīng)包絡(luò)譜，如圖8b所示。該方法能明顯判別故障頻率及其諧波，效果優(yōu)于傳統(tǒng)方法。

(a)原始信號(hào)和AR增強(qiáng)信號(hào)

(b)復(fù)解析小波包絡(luò)譜圖8 新方法包絡(luò)Fig.8 A new method of envelope

5 結(jié)語(yǔ)

本文方法結(jié)合了AR模型提取共振衰減的非平穩(wěn)成分的特性和復(fù)解析小波帶通濾波的能力。在頻域內(nèi)，通過(guò)計(jì)算譜熵自適應(yīng)確定最佳帶通參數(shù)以提取包絡(luò)。對(duì)于旋轉(zhuǎn)機(jī)械零部件振動(dòng)信號(hào)的包絡(luò)效果明顯，較傳統(tǒng)方法具有更優(yōu)的分析結(jié)果。就故障診斷而言，還需結(jié)合機(jī)器學(xué)習(xí)先驗(yàn)知識(shí)對(duì)復(fù)雜故障進(jìn)行模式判別，這將是筆者下一步的工作。

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(編輯 陳 勇)

作者簡(jiǎn)介：何 翔，男，1991年生。西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。主要研究方向?yàn)闄C(jī)電一體化、故障診斷、機(jī)器學(xué)習(xí)。E-mail:goatshawn@icloud.com。高宏力(通信作者)，男，1971 年生。西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。郭 亮，男，1988年生。西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生。吳遠(yuǎn)昊，男，1992年生。西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。

Adaptive Wavelet Envelope Detection Based on AR Model and Spectral Entropy

HE Xiang GAO Hongli GUO Liang WU Yuanhao

School of Mechanical Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu, 610031

For the envelope problems of traditional fault diagnosis, a method of adaptive complex analytic wavelet envelope detection was proposed based on AR model and spectral entropy herein. The method eliminated the stationary components for linear prediction from the mechanical vibration signals by AR model, and extracted the non-stationary components of resonance damping. The generated signals were enveloped by complex analytic wavelet in different frequency bands, the best envelope was selected based on the correlation between the spectral entropy and the band-pass filter in the frequency domain. This method owns higher adaptivity, better robustness and envelope effectiveness than that of the traditional one. Thus it has favorable prospect in engineering applications.

auto regressive (AR) prediction； wavelet transform； spectral entropy； envelope detection

2016-03-24

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275426)

TH17；TP274

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.03.016

孫靈芳，男，1970年生。東北電力大學(xué)節(jié)能與測(cè)控技術(shù)工程實(shí)驗(yàn)室教授、博士。主要研究方向?yàn)闊峁み^(guò)程先進(jìn)控制、換熱設(shè)備污垢與對(duì)策。發(fā)表論文80余篇。E-mail:15043283452@163.com。徐曼菲，女，1991年生。東北電力大學(xué)自動(dòng)化工程學(xué)院碩士研究生。樸 亨，男，1990年生。東北電力大學(xué)節(jié)能與測(cè)控技術(shù)工程實(shí)驗(yàn)室碩士研究生。李 霞，女，1979年生。東北電力大學(xué)自動(dòng)化工程學(xué)院講師、博士。