孫占龍 佟慶彬

北京交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，北京，100044

基于ADMM字典學(xué)習(xí)的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)稀疏分解

孫占龍 佟慶彬

北京交通大學(xué)電氣工程學(xué)院，北京，100044

在稀疏分解過(guò)程中，字典模型構(gòu)建的結(jié)果會(huì)直接影響稀疏分解的效果。為獲得結(jié)構(gòu)更好的字典，提出了一種基于交替方向乘子法(ADMM)的字典學(xué)習(xí)方法，在字典學(xué)習(xí)過(guò)程中采用交替方向乘子法逐個(gè)更新字典中原子，得到的字典具有良好的結(jié)構(gòu)。將該字典學(xué)習(xí)方法應(yīng)用到滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)稀疏分解中，能獲得更快的字典學(xué)習(xí)速度和更好的稀疏分解效果。與K-SVD字典學(xué)習(xí)方法相比較，證明了所提方法在軸承信號(hào)稀疏分解中的優(yōu)越性。

滾動(dòng)軸承；稀疏分解；交替方向乘子法；字典學(xué)習(xí)

0 引言

滾動(dòng)軸承大量應(yīng)用于電機(jī)中，其工作狀態(tài)會(huì)直接影響電機(jī)的運(yùn)行狀態(tài)。對(duì)滾動(dòng)軸承的運(yùn)行狀態(tài)進(jìn)行實(shí)時(shí)檢測(cè)，可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)軸承比較微弱的一些早期故障，避免對(duì)電機(jī)造成不必要的危害，減少人身財(cái)產(chǎn)損失。滾動(dòng)軸承的運(yùn)行狀態(tài)診斷方法包括溫度、油樣分析、振動(dòng)分析等，其中振動(dòng)分析法最有效[1-2]。但是，在實(shí)際情況中，振動(dòng)信號(hào)中包含大量的干擾，不利于進(jìn)一步分解軸承故障信號(hào)。

為有效獲取軸承故障的故障特征，MALLAT等[3]在總結(jié)前人研究成果的基礎(chǔ)上，于1993年提出了信號(hào)在過(guò)完備字典上分解的思想。與傳統(tǒng)的正交基變換不同，基于稀疏分解[4-6]方法的信號(hào)處理過(guò)程中，使用過(guò)完備字典能夠得到信號(hào)的自適應(yīng)表示，有利于信號(hào)特征的提取和識(shí)別。目前，過(guò)完備字典的構(gòu)造方法有兩種：傳統(tǒng)的固定字典和經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)構(gòu)造的字典。傳統(tǒng)的不經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)的字典有Gabor字典、小波基字典、Chirplet字典等[7-11]，但是這類字典存在一個(gè)缺陷：字典是固定的，不能自適應(yīng)地根據(jù)待分解信號(hào)進(jìn)行變換。以K-SVD算法字典學(xué)習(xí)[12-13]為代表的字典學(xué)習(xí)方法有效地解決了這個(gè)問(wèn)題，文獻(xiàn)[12-13]將K-SVD算法應(yīng)用于字典學(xué)習(xí)過(guò)程中，取得了良好的效果，它根據(jù)待分解信號(hào)對(duì)初始字典進(jìn)行學(xué)習(xí)優(yōu)化，在信號(hào)稀疏分解中有更好的效果。

K-SVD算法字典學(xué)習(xí)的過(guò)程中，每一次更新字典時(shí)都要通過(guò)SVD算法來(lái)進(jìn)行處理，當(dāng)字典的規(guī)模變得比較大時(shí)，使用SVD算法就會(huì)耗費(fèi)比較長(zhǎng)的時(shí)間，使整個(gè)算法變慢，這不利于對(duì)信號(hào)的實(shí)時(shí)處理。針對(duì)上述問(wèn)題，本文在對(duì)交替方向乘子法(alternating direction method of multipliers，ADMM)[14-18]進(jìn)行充分研究的基礎(chǔ)上，將其應(yīng)用于軸承信號(hào)稀疏分解的字典學(xué)習(xí)中。

1 基于ADMM字典學(xué)習(xí)的稀疏分解

1.1 ADMM

ADMM的概念早在20世紀(jì)70年代時(shí)已被提出，它在求解大規(guī)模稀疏分解問(wèn)題的處理上十分有效，它通過(guò)增廣拉格朗日函數(shù)構(gòu)造將問(wèn)題分裂為多個(gè)低維子問(wèn)題進(jìn)行迭代求解。利用ADMM將原問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行等價(jià)分離,并且分解為若干個(gè)較易找到局部解的子問(wèn)題,從而得到原問(wèn)題的全局解。ADMM的求解速度在稀疏分解中的優(yōu)勢(shì)十分明顯,這也是其受到追捧的一個(gè)主要原因[14-15]。ADMM解決問(wèn)題的一般形式如下：

(1)

式(1)的增廣拉格朗日罰函數(shù)為

L(x,y,λ)=f(x)+g(y)+λT(Ax+By-b)+

(2)

其中，ρ是懲罰參數(shù)，ρ>0。經(jīng)典ADMM的迭代步驟如下：

(3)

由式(3)可以看出，ADMM進(jìn)行迭代的步驟包括一個(gè)x極小化、y極小化步驟和一個(gè)對(duì)偶變量迭代步驟，該算法先對(duì)x和y進(jìn)行迭代更新，之后再對(duì)對(duì)偶變量λ進(jìn)行迭代更新。ADMM對(duì)變量進(jìn)行交替更新，這也就是其名字的來(lái)源，也可以認(rèn)為是把Gauss-Seidel迭代應(yīng)用于這兩個(gè)變量中。在ADMM迭代框架中可以看出，該算法更適合解決變量可分離的問(wèn)題，其目標(biāo)函數(shù)也是可以分離的。

1.2 基于ADMM的字典學(xué)習(xí)

在滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)稀疏分解過(guò)程中，構(gòu)建一個(gè)結(jié)構(gòu)良好的字典非常重要。固定的字典結(jié)構(gòu)雖然冗余，但是其中原子未必貼合給定信號(hào)，不能根據(jù)信號(hào)自適應(yīng)調(diào)整，根據(jù)待分解信號(hào)對(duì)初始字典進(jìn)行學(xué)習(xí)，能更好地貼合待分解信號(hào)，包含更多的信號(hào)特征，在用于稀疏分解后，能得到更為稀疏的分解系數(shù)，獲得比未學(xué)習(xí)字典更好的分解效果。

軸承信號(hào)稀疏分解過(guò)程中的字典學(xué)習(xí)可以表示為

(4)

i=1,2,…,L

其中，Y為訓(xùn)練矩陣；D為字典；X為信號(hào)在字典D上的投影系數(shù)；K為系數(shù)稀疏度的上界。

字典學(xué)習(xí)過(guò)程即式(4)的方法為變量交替更新法，其基本過(guò)程如下：首先利用給定的初始字典D和訓(xùn)練矩陣Y，用OMP算法進(jìn)行稀疏編碼，求解出系數(shù)X。然后，固定系數(shù)X，利用字典更新方法更新字典D。按照上述方法進(jìn)行迭代，直到達(dá)到給定迭代次數(shù)或者達(dá)到給定的誤差要求，即停止迭代，完成字典學(xué)習(xí)過(guò)程。

基于ADMM算法的字典學(xué)習(xí)過(guò)程中，首先將式(4)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，令Z=DX，其格式為

(5)

則字典學(xué)習(xí)的拉格朗日函數(shù)為

(6)

其中，Λ為拉格朗日乘子矩陣；Λi為Λ的第i列;〈〉表示內(nèi)積運(yùn)算。

將ADMM應(yīng)用于式(6)中，并利用OMP算法進(jìn)行系數(shù)的求解，最終獲得字典的更新形式：

Dn+1(∶,i)=Dn(∶,i)+H(n)Xn(i,∶)T/(ω(n)+δ)

(7)

基于ADMM字典學(xué)習(xí)的基本過(guò)程如下：

(1)初始化。初始化字典D(0)，該矩陣既可以是隨機(jī)分布的m×n矩陣，也可以從給定信號(hào)Y中選取n個(gè)長(zhǎng)度為m的列向量。拉格朗日乘子矩陣為Λ(0)(一般為全1矩陣)，稀疏度為k,迭代次數(shù)為N,兩個(gè)小的正數(shù)為α和β。

(2)主循環(huán)。根據(jù)給定的更新誤差確定循環(huán)次數(shù)。

(3)稀疏分解。使用OMP算法求解系數(shù)矩陣X：

X=OMP(D,Y,k)

(8)

(4)更新字典。令

G(n)=(βD(n)X(n)+2Y-Λ(n))/(2+β)

(9)

H(n)=G(n)+Λ(n)/β-D(n)X(n)

(10)

(5)子循環(huán)。即

ω(n)=X(n)(∶,i)X(n)(∶,i)T

(11)

D(n+1)(∶,i)=D(n)(∶,i)+H(n)X(n)(i,∶)T/(ω(n)+δ)

(12)

子循環(huán)結(jié)束。

(6)將字典D作歸一化處理，更新拉格朗日乘子矩陣。令

Λ(n+1)=Λ(n)+γβ(G(n)-D(n+1)X(n))

(13)

(7)若迭代達(dá)到規(guī)定次數(shù)或者滿足信號(hào)重構(gòu)的誤差要求，則學(xué)習(xí)過(guò)程結(jié)束；否則，跳轉(zhuǎn)到步驟(3)。

在字典學(xué)習(xí)過(guò)程中，參數(shù)β和矩陣Λ的選取對(duì)字典更新的收斂性有一定影響，在具體實(shí)驗(yàn)中，可以根據(jù)需要進(jìn)行調(diào)整。

1.3 基于優(yōu)化字典學(xué)習(xí)的稀疏分解

利用ADMM字典學(xué)習(xí)得到的過(guò)完備字典，對(duì)滾動(dòng)軸承故障振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行稀疏分解，基本步驟如下：

(1)獲取滾動(dòng)軸承故障振動(dòng)信號(hào)，并根據(jù)給定的信號(hào)，選取訓(xùn)練矩陣和測(cè)試信號(hào)。

(2)利用ADMM字典學(xué)習(xí)方法對(duì)訓(xùn)練矩陣的特性進(jìn)行學(xué)習(xí)，得到訓(xùn)練字典。

(3)根據(jù)學(xué)習(xí)得到的字典，利用OMP方法對(duì)測(cè)試信號(hào)進(jìn)行稀疏分解和重構(gòu)，得到去噪后的信號(hào)。

2 信號(hào)分析和驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文方法在軸承故障振動(dòng)信號(hào)處理中的可行性，本文分別以仿真信號(hào)和軸承振動(dòng)信號(hào)作為待處理信號(hào)，進(jìn)行字典學(xué)習(xí)和稀疏分解，并通過(guò)學(xué)習(xí)結(jié)果和分解結(jié)果的對(duì)比，證明本文方法在信號(hào)稀疏分解中的優(yōu)勢(shì)。

本文以MATLAB 2014a作為信號(hào)處理平臺(tái)，進(jìn)行信號(hào)處理，并根據(jù)得到的結(jié)果繪制相應(yīng)的圖形，最后對(duì)得到的結(jié)果進(jìn)行分析。

2.1 仿真信號(hào)分析

為了驗(yàn)證本文方法在字典學(xué)習(xí)中的有效性，本文首先采用隨機(jī)信號(hào)進(jìn)行字典學(xué)習(xí)和稀疏分解。

本實(shí)驗(yàn)中訓(xùn)練矩陣Y是隨機(jī)生成的m×p矩陣，為保證字典學(xué)習(xí)的效果，取p=5m。隨機(jī)生成大小為m×n的DCT矩陣作為初始矩陣D，其中n=2m，并對(duì)每一列進(jìn)行歸一化處理。為對(duì)比不同方法在字典學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)，選取固定的迭代次數(shù)(本實(shí)驗(yàn)取10次)和相同的稀疏度(k=15)。

用本文方法和K-SVD字典學(xué)習(xí)方法分別進(jìn)行字典學(xué)習(xí)，并記錄兩種方法在學(xué)習(xí)過(guò)程中所需要的時(shí)間。圖1為字典行數(shù)從20增加到600時(shí)的學(xué)習(xí)所用時(shí)間,具體的運(yùn)行時(shí)間見(jiàn)表1。

圖1 字典學(xué)習(xí)時(shí)間比較Fig.1 Compare of dictionary learning time

s

從圖1可以明顯看出，在采用相同大小的測(cè)試矩陣、字典以及迭代次數(shù)的情況下，用本文方法所花費(fèi)的時(shí)間比用K-SVD字典學(xué)習(xí)方法所花費(fèi)的時(shí)間要少，而且隨著字典規(guī)模的不斷增大，這種優(yōu)勢(shì)越來(lái)越明顯。當(dāng)字典列數(shù)為600時(shí)，本文方法的學(xué)習(xí)時(shí)間約為K-SVD方法學(xué)習(xí)時(shí)間的1/2。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法在信號(hào)處理字典學(xué)習(xí)過(guò)程中的優(yōu)越性,模擬以下仿真信號(hào)：

s(t)=2cos(2πft+5)

(14)

在該信號(hào)上加入標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)噪聲，加噪后的信噪比SNR=-10dB。

從加噪信號(hào)中獲取訓(xùn)練矩陣Y，產(chǎn)生DCT字典作為初始字典，進(jìn)行字典學(xué)習(xí)。利用學(xué)習(xí)得到的字典，對(duì)原信號(hào)進(jìn)行稀疏分解，獲得重構(gòu)信號(hào)的均方根誤差(以下簡(jiǎn)稱重構(gòu)誤差)：

(15)

其中，I是原始信號(hào)，In是重構(gòu)信號(hào)，length(I)表示信號(hào)I的長(zhǎng)度。取訓(xùn)練矩陣大小為100×300，字典大小為100×200，分解稀疏度為15，信號(hào)的重構(gòu)誤差隨迭代次數(shù)增加的變化如圖2所示。

圖2 重構(gòu)誤差隨迭代次數(shù)的變化Fig.2 Changes of RMSE value with learning times

從圖2可以看出，經(jīng)過(guò)字典學(xué)習(xí)的重構(gòu)信號(hào)的重構(gòu)誤差值明顯小于未經(jīng)學(xué)習(xí)的重構(gòu)誤差值，而且隨著字典學(xué)習(xí)過(guò)程中迭代次數(shù)的增加，經(jīng)過(guò)字典學(xué)習(xí)的重構(gòu)信號(hào)的重構(gòu)誤差值逐漸減小。利用ADMM學(xué)習(xí)的信號(hào)重構(gòu)誤差值明顯低于經(jīng)K-SVD學(xué)習(xí)字典的重構(gòu)誤差值，而且隨著迭代次數(shù)的增加，兩者差距不斷增大。但是當(dāng)?shù)螖?shù)大于80時(shí)，重構(gòu)誤差值趨于平穩(wěn)，這表明信號(hào)分解的效果并不能隨著字典學(xué)習(xí)迭代次數(shù)的增加而一直提高。從信號(hào)重構(gòu)的重構(gòu)誤差值來(lái)看，經(jīng)ADMM學(xué)習(xí)的字典明顯優(yōu)于K-SVD學(xué)習(xí)的字典。

2.2 軸承信號(hào)分析

為了驗(yàn)證本文方法在滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)稀疏分解過(guò)程中的有效性，選擇滾動(dòng)軸承內(nèi)圈故障信號(hào)為代表進(jìn)行研究。

本文使用的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)自美國(guó)凱斯西儲(chǔ)大學(xué)軸承數(shù)據(jù)中心的滾動(dòng)軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)[19]，滾動(dòng)軸承為SKF6205-2RS型深溝球軸承，轉(zhuǎn)速為1797 r/min，采樣頻率為12 kHz。實(shí)驗(yàn)中，根據(jù)重構(gòu)的殘余量和重構(gòu)信號(hào)的包絡(luò)譜，評(píng)價(jià)軸承信號(hào)稀疏分解的質(zhì)量，并將本文方法與其他方法進(jìn)行比較。

軸承內(nèi)圈故障頻率的計(jì)算公式為

(16)

其中，Z為滾動(dòng)體個(gè)數(shù)，d為滾珠直徑，D為節(jié)徑，θ為壓力角，f為軸轉(zhuǎn)頻。將軸承的各參數(shù)代入式(16)中，可以求得內(nèi)圈故障頻率約為164Hz。圖3所示為軸承內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)。

圖3 軸承內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)Fig.3 Fault vibration signal of bearing inner ring

在本實(shí)驗(yàn)中，從軸承振動(dòng)信號(hào)中截取長(zhǎng)度為30 000的數(shù)據(jù)點(diǎn)，用來(lái)構(gòu)造大小為100×200的訓(xùn)練矩陣，在剩余信號(hào)中截取1000點(diǎn)信號(hào)作為測(cè)試信號(hào)。構(gòu)建DCT字典作為待學(xué)習(xí)字典，分別用K-SVD和ADMM兩種方法進(jìn)行字典學(xué)習(xí)。利用學(xué)習(xí)得到的字典，用OMP算法對(duì)測(cè)試信號(hào)進(jìn)行稀疏分解和重構(gòu)，獲得信號(hào)重構(gòu)的殘余量，并對(duì)重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行頻譜分解，得到重構(gòu)信號(hào)頻譜圖。

為對(duì)比不同方法的優(yōu)劣，在選取相同的訓(xùn)練矩陣、初始字典和迭代次數(shù)的情況下，進(jìn)行字典學(xué)習(xí)和測(cè)試信號(hào)的稀疏分解，獲得重構(gòu)信號(hào)的包絡(luò)譜和重構(gòu)殘余量的大小。當(dāng)字典學(xué)習(xí)次數(shù)為30、分解稀疏度為20時(shí)，得到信號(hào)重構(gòu)殘余量(圖4)和重構(gòu)信號(hào)包絡(luò)譜圖(圖5)。

通過(guò)圖4可以得到，在相同的迭代次數(shù)和稀疏度下，經(jīng)過(guò)字典學(xué)習(xí)對(duì)軸承信號(hào)稀疏分解得到的重構(gòu)殘余量比未經(jīng)過(guò)字典學(xué)習(xí)的稀疏分解的殘余量小得多，其中本文方法的重構(gòu)殘余量比K-SVD字典學(xué)習(xí)方法的殘余量小，這表明本文方法獲得的字典更好地匹配了待分解的軸承信號(hào)，在稀疏分解和重構(gòu)中有更好的表現(xiàn)。

圖4 不同方法的重構(gòu)殘余量Fig.4 Residual volume of reconstruction of different methods

圖5 信號(hào)稀疏分解得到的包絡(luò)譜Fig.5 Envelope spectra obtained by spare decomposition

比較圖5中三個(gè)包絡(luò)譜圖，可以明顯看出，經(jīng)過(guò)字典學(xué)習(xí)的分解效果比未經(jīng)學(xué)習(xí)的效果好，包絡(luò)譜中的故障頻率更加明顯，含有的干擾頻率更少。同時(shí)，在相同的條件下，用兩種方法學(xué)習(xí)獲得的字典稀疏分解軸承故障信號(hào)，所得到的包絡(luò)譜圖也存在差別。在本文方法所獲得的包絡(luò)譜圖中，軸承內(nèi)圈故障頻率fip十分明顯，雖然存在一些干擾頻率，但幅值小得多。而在K-SVD字典學(xué)習(xí)方法的包絡(luò)譜圖中，雖然可以識(shí)別出故障頻率fip，但是個(gè)別干擾頻率的幅值非常高。由此可得出，用本文方法學(xué)習(xí)得到的字典有更好的結(jié)構(gòu)，更加符合待分解軸承信號(hào)的特征，在稀疏分解過(guò)程中能獲得更好的分解效果。

3 結(jié)語(yǔ)

本文研究了基于ADMM的字典學(xué)習(xí)方法，并將該方法應(yīng)用于滾動(dòng)軸承信號(hào)的稀疏分解。以仿真信號(hào)和軸承內(nèi)圈故障信號(hào)作為實(shí)驗(yàn)信號(hào)進(jìn)行字典學(xué)習(xí)和稀疏分解，獲得字典學(xué)習(xí)時(shí)間和稀疏分解結(jié)果。為驗(yàn)證本方法，取未經(jīng)學(xué)習(xí)的字典和經(jīng)K-SVD算法學(xué)習(xí)的字典作為對(duì)比對(duì)象，比較字典學(xué)習(xí)的速度和得到字典的結(jié)構(gòu)。最后，比較了滾動(dòng)軸承內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)的稀疏分解的效果。

和K-SVD算法一樣，在基于ADMM的字典學(xué)習(xí)過(guò)程中，也容易陷入問(wèn)題的局部最優(yōu)點(diǎn)。為求得最優(yōu)解，需要根據(jù)待分解信號(hào)的特征，對(duì)字典學(xué)習(xí)過(guò)程中參數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整，如何對(duì)參數(shù)進(jìn)行精確有效的調(diào)整還有待研究。

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(編輯 陳 勇)

Sparse Decomposition of Vibration Signals of Rolling Bearings Based on ADMM Dictionary Learning

SUN Zhanlong TONG Qingbin

School of Electrical Engineering ,Beijing Jiaotong University,Beijing,100044

In the processes of sparse decomposition, the effects of sparse decomposition would be directly affected by dictionary model construction.A dictionary learning method was proposed based on ADMM herein. In the processes of dictionary learning, the ADMM was used to update the atoms in the dictionary, which might obtain the dictionary with better structure. The method was applied to the sparse decomposition of the vibration signals of rolling bearings, shorter dictionary learning time and better sparse decomposition results might be obtained. Compared with the K-SVD dictionary learning method, the proposed method has the superiority in the sparse decomposition of bearing signals.

rolling bearing;sparse decomposition;alternating direction multiplier method (ADMM);dictionary learning

2016-03-25

TH113.1；TH165.3

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.03.010

孫占龍，男，1991年生。北京交通大學(xué)電氣工程學(xué)院碩士研究生。主要研究方向?yàn)楣收显\斷、損傷評(píng)估及壽命預(yù)測(cè)技術(shù)。佟慶彬(通信作者)，男，1979年生。北京交通大學(xué)電氣工程學(xué)院副教授。E-mail:tqbin818@126.com。