蘇建偉，李 鵬

(1.海南師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，海南 ?？?，571158；2.惠州學院，數(shù)學系，廣東 惠州 516007)

國內幾何直觀研究綜述

蘇建偉1，李 鵬2

(1.海南師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，海南 ?？冢?71158；2.惠州學院，數(shù)學系，廣東 惠州 516007)

“幾何直觀”是2011《標準》的新增核心概念之一。新世紀以來，國內對幾何直觀的研究成果頗豐，涉及諸多方面。對相關研究文獻進行分類綜述，研究發(fā)現(xiàn)：關于幾何直觀的研究主要集中在形成與發(fā)展、內涵、相關概念的辨析、教育教學價值、培養(yǎng)策略等方面。進一步的研究宜重視以下四個方面：增加針對中小學的實證研究；建立幾何直觀的分層評估量表；開辟幾何直觀培養(yǎng)的新途徑；開展關于教師幾何直觀的MPCK研究。

幾何直觀；內涵；形成；發(fā)展；培養(yǎng)策略

隨著數(shù)學課程改革不斷深化，幾何直觀成為數(shù)學教育研究熱點問題之一，它本身蘊含的深刻價值與無窮活力在不斷展現(xiàn)。幾何直觀在培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力和提升學生數(shù)學素養(yǎng)等方面意義深遠，在作圖和想象圖形等涉及幾何直觀的內外部操作活動中也會積累起豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗?！读x務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》(以下簡稱《標準》)在總目標中明確提出，使學生能夠“建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發(fā)展形象思維和抽象思維”。幾何直觀作為新增的核心概念之一，《標準》對其進行了言簡意賅的說明：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用[1]。在過往研究中，尤其是新世紀初基礎教育課程改革全面啟動以來，研究者從內涵、教學價值、培養(yǎng)策略等方面對幾何直觀進行了分析。在《標準》頒布并實施背景下，理解幾何直觀的含義及其與相關概念的區(qū)別，進而在數(shù)學教學實踐中貫徹執(zhí)行，對中小學數(shù)學教師而言，尤為必要和迫切。本文以2000年至今為時間限制條件，以“幾何直觀”分別作為主題和關鍵詞對中國知網(wǎng)期刊全文數(shù)據(jù)庫及中國優(yōu)秀碩士、博士學位論文全文數(shù)據(jù)庫進行檢索，并剔除高等數(shù)學教改、初等數(shù)學解題研究等主題的文章，共檢索到108篇文章(其中核心20篇，非核心88篇)和6篇學位論文(其中5篇碩士論文，1篇博士論文)，經(jīng)過篩選，選擇了26篇有代表性的文獻(即20篇核心期刊文章和6篇學位論文)進行綜述，以期獲得對幾何直觀研究的更為全面深刻的認識，為下一步的研究打下基礎。

一、幾何直觀的形成與發(fā)展

考察國內目前已有文獻對幾何直觀的形成與發(fā)展的理論思辨性研究和實證研究，具有代表性的主要觀點和相關實證研究如下。

(一)相關闡釋

孔凡哲、史寧中認為，“幾何直觀是在直觀感知的感性基礎之上所形成的理性思考的結果所致，是學習者對于數(shù)學對象的幾何屬性(或與幾何屬性密切相關的一些屬性)的整體把握和直接判斷能力。這種直接判斷建立在針對幾何圖形長期有效的觀察和思考的基礎之上，既有相對豐富的經(jīng)驗積累，又有經(jīng)驗基礎之上的理性的概括和升華?！薄案咚降膸缀沃庇^的養(yǎng)成，主要依賴于后天，依賴于個體參與其中的幾何活動，包括觀察、操作、判斷、推理等等。”[2]

史寧中認為，“剛進入小學的學生顯然已經(jīng)具有幾何抽象能力，……這種抽象能力是與生俱來的，是培養(yǎng)幾何直觀的基礎。教育的目的就是必須保持、深化這種能力，并使之升華為幾何直觀能力?！盵3]

秦德生、孔凡哲認為，幾何直觀的建立和發(fā)展是一個歷史過程，是一種進化的產(chǎn)物，一個人在不同年齡階段所表現(xiàn)出的數(shù)學直觀能力可以看作是整個人類在這方面歷史發(fā)展過程的縮影[4]。

畢力格圖認為，數(shù)學直觀(主要指幾何直觀)能力的形成與發(fā)展，依賴于個體的問題意識、知識結構、洞察與聯(lián)想能力、思維模式與專業(yè)實踐經(jīng)驗[5]。

郭民在對中美兩國義務教育階段的幾何課程進行比較后，得出：學前兒童通過空間活動形成初步的幾何直覺；小學階段，鼓勵學生通過動手操作、實驗進一步發(fā)展幾何直覺，形成空間觀念；初中階段，了解二、三維圖形的聯(lián)系，適當滲透幾何變換思想；高中階段，逐漸做到在頭腦中進行直觀[6]。

已有研究兼顧幾何直觀的先天基礎與后天形成，研討了幾何直觀的漸進性和發(fā)展性，從宏觀上對幾何直觀的教學與培養(yǎng)指出了方向。

(二)相關實證研究

曾小平等在研究高中數(shù)學教師對“直線與平面平行的判定定理”的理解對教學影響的調查研究中涉及到了幾何直觀的內容，得出結論如下：教師認為立體幾何教學應更多地培養(yǎng)學生的空間觀念和幾何直觀；但教師在教學中又偏重于“邏輯證明”的教學，不太重視“幾何直觀”的教學；采用不嚴謹方法證明定理的教師更側重于幾何直觀的教學[7]。上述結論可以在一定程度上反映數(shù)學教學現(xiàn)實。高中生經(jīng)過多年的數(shù)學學習，理應具備相應的幾何直觀能力，但從對教師的調查看并不樂觀，教師的教學沒有對此作好充分準備。這也從現(xiàn)實角度說明了《標準》將“幾何直觀”作為核心概念提出的必要性和緊迫性。

李紅婷在對初中生的幾何推理水平進行測查后得出，在關于幾何直觀方面的成績，“7年級顯著低于8年級，與9年級沒有顯著差異；9年級略低于8年級；8、9年級學生的直觀推理能力未得到應有發(fā)展。”[8]其原因可能是，“8年級學生幾何直觀推理成績提升最明顯。9年級學生經(jīng)過近兩年的推理訓練之后，理性思維意識增強，在直觀推理方面借助圖形進行快速感知判斷，準確率不高。”[9]

楊鮮燕在對高中生進行數(shù)學直觀能力調查后得出，教師的專業(yè)素養(yǎng)對學生的直觀化能力形成有顯著影響；高中生在解決數(shù)學問題時普遍不采用直觀化策略來解題[10]。杜佩璟在對高中生的幾何直觀能力進行調查后得出，中學生幾何直觀能力呈現(xiàn)按年級升高而遞增的縱向分布態(tài)勢[11]。

由于影響因素的復雜性、研究對象的層次和研究側重點的差異，針對中學生幾何直觀的研究得出的結論莫衷一是甚至存在個別互相矛盾的地方。因此，有必要采取信度、效度更高的測查方法，建立更有針對性的模型，編制更為全面的問卷和測查題目針對不同階段的學生進行幾何直觀形成與發(fā)展的實證研究。

二、幾何直觀的內涵

從我國幾何課程基本要求的發(fā)展來看，基本遵循從空間想象能力、空間觀念到幾何直觀的軌跡演進。國內一些專家學者從不同視角撰文發(fā)表看法，探討幾何直觀的含義，但迄今尚未達成明確共識。在《標準》將其作為核心概念提出的新形勢下，有必要對幾何直觀的內涵進行更深層次的剖析。

徐利治認為，在數(shù)學中，直觀一詞解釋為借助于經(jīng)驗、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關系直接的感知與認識。例如，借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產(chǎn)生對數(shù)量關系的直接感知，即可稱之為幾何直觀[12]。王林全認為，幾何直觀就是根據(jù)問題的條件，利用適當圖形、圖像描述數(shù)學對象，描述其他學科以及日常生活問題，思考解題思路，預測所得結果[13]。錢珮玲認為，幾何直觀能力是一種對數(shù)學對象及數(shù)學對象之間的關系，能運用幾何圖形和幾何語言去表達、思考和解決問題的能力。從廣義上說，還包括能利用已經(jīng)把握的結果和模型來幫助我們去感受、認識和理解新的概念和結果的能力[14]。蔡宏圣認為，幾何直觀基于“圖形與幾何”而又超越“圖形與幾何”，對圖形的理解不必囿于規(guī)范的幾何圖形，圖形重要的是表達關系，要同時看到圖形的直觀性和抽象性；幾何直觀是一種意識、技能和能力，更是一種思維方式；它承載著使學生“獲得良好數(shù)學教育”的大目標[15]。

由于幾何直觀概念內涵不易把握，不同研究者對其運用幾何圖形、圖形探討、解決問題的認識方面較為一致，但對其所處地位層次性的認識有一定差異，比如它是技能、能力、思維方式還是兼而有之；如果是一種能力，對具體是什么樣的能力的認識也有所區(qū)別，這些都是需要進一步深入研究的。

三、幾何直觀與相關概念辨析

(一)幾何直觀與空間觀念

在課標實驗稿中，“能運用圖形形象地描述問題，利用直觀來進行思考”是空間觀念的特征之一；而在《標準》中，“利用圖形描述和分析問題”是對幾何直觀的界定。兩種描述有極大的相似性，是否只是將實驗稿中的“空間觀念”的這一條特征單列為“幾何直觀”呢？如果是這樣，“幾何直觀”可能只是“空間觀念”的某一成分。有研究者即認為，利用幾何直觀解決問題能力是中小學數(shù)學學習中空間觀念的基本成分之一[13]。

但《標準》將“幾何直觀”作為核心概念列出，又并非如此簡單，需要澄清兩者之間的關聯(lián)性與差異度?？追舱堋⑹穼幹袕哪芰σ?、涉及對象、思維特征方面對二者進行了辨析，認為二者有重疊成分又各有側重?？臻g觀念對能力的要求是即使脫離了背景也要能想象出圖形的形狀、關系，涉及“具體幾何圖形、描述的實際物體，物體方位、相互位置關系、運動變化”等對象，具有思維的連貫性。幾何直觀則更強調借助一定的直觀背景條件進行整體把握，涉及“幾乎所有的數(shù)學研究對象”，具有思維的跳躍性[2]。

(二)幾何直觀與直觀幾何

直觀幾何通常是指直觀層面的幾何學，是以通過圖形進行觀察，根據(jù)直觀認識研究圖形的性質和相關問題為主要手段的幾何學，是發(fā)現(xiàn)幾何命題、定理的有效工具和學習推理論證幾何的必要前提，是一種與綜合幾何不同的課程設計風格。小學幾何課程內容性質實質上是直觀幾何、實驗幾何，初中階段屬于從直觀幾何、實驗幾何逐步過渡到綜合幾何、論證幾何的關鍵階段，七年級仍是直觀幾何、實驗幾何[16]。

由前述可以得出，直觀幾何是一種幾何學的形態(tài)和學習方法，幾何直觀是一種解決問題的思維方式和能力。充分經(jīng)歷直觀幾何的學習，可以積累幾何學習活動經(jīng)驗，為幾何直觀能力的順利形成打下良好基礎。這些在學習過程中形成的幾何活動經(jīng)驗，可以不斷積淀并成為后續(xù)解決問題的豐富資源。

(三)幾何直觀與數(shù)形結合

很多重要的數(shù)學內容、概念都具有雙重性，即數(shù)的特征和形的特征，必須從兩個角度認識它們，……，讓這些內容、概念變得形象、直觀，變得可以運用它們去思考問題，形成幾何直觀能力，這也就是經(jīng)常說的數(shù)形結合[17]。循此思路，幾何直觀似乎與數(shù)形結合區(qū)別不大，在筆者參與和了解到的一些中小學數(shù)學教研活動中，教師給出的幾何直觀的例子往往是以往常見的數(shù)形結合的例子。如果僅僅如此，還有必要單列出“幾何直觀”這個核心概念嗎？

數(shù)形結合是一種處理問題的數(shù)學思想方法，是指在數(shù)學活動中，將問題的數(shù)量關系轉化為圖形的性質問題，或者把圖形的性質轉化為數(shù)量關系問題I[18]。初看起來，幾何直觀利用圖形解決數(shù)學問題，只是數(shù)形結合的一個方面而已。但深入思考，幾何直觀內涵的重要方面是“直接感知、整體把握”，帶有“思維的跳躍性”，雖有邏輯意味，但其邏輯性更多地體現(xiàn)在對直觀感悟內容的驗證；而數(shù)形結合的“以形助數(shù)”之“形”具有一定規(guī)范性和嚴謹性，帶有一定程度的演繹推理特征，在某種程度上可以視為對問題的一種證明。二者雖有聯(lián)系，但其根本意蘊則有別。

四、幾何直觀教學相關研究

(一)幾何直觀教材比較研究

李姝從四個視角對使用“華師版”和“東師版”教材的不同學生幾何直觀能力進行測查得出[19]，在圖形變換能力方面學生的差異不顯著，但在折疊與展開、觀察與歸納、描述與證明能力方面差異較顯著，并從教材編排角度進行了原因探析。涉及幾何直觀的教材比較研究相關結論還有，對于數(shù)學教材設置的科學類情境，中、美教材重視公式應用和計算，而俄羅斯教材注重培養(yǎng)學生的幾何直觀能力[20]。這也印證了沙雷金編著的《直觀幾何》教材在俄羅斯產(chǎn)生和應用的價值。通過教材比較進行相關研究可以為學生幾何直觀能力形成和發(fā)展的成因提供文本方面根據(jù)。

(二)幾何直觀的教育教學價值

在幾何直觀的教育教學價值問題上，研究者和一線教師普遍認為[21-23]，幾何直觀在包含“圖形與幾何”內容的整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用，有助于學生理解抽象的概念、公式、算理和定理，有助于學生積累發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的經(jīng)驗，在數(shù)學解題如探索解題思路、提供形象支撐、構造反例、尋找數(shù)學規(guī)律成因等方面可資為用，進而有助于培養(yǎng)學生個性化思考能力和創(chuàng)造性思維能力等。

此外，秦德生、孔凡哲指出，幾何直觀能力培養(yǎng)的教育價值有“幾何直觀是一種創(chuàng)造性思維，是一種很重要的科學研究方式，在科學發(fā)現(xiàn)過程中起到不可磨滅的作用；幾何直觀是認識論問題，是認識的基礎，有助于學生對數(shù)學的理解；幾何直觀是揭示現(xiàn)代數(shù)學本質的有力工具，有助于形成科學正確的世界觀和方法論?！盵4]

孔凡哲、史寧中對上述觀點作了進一步精致化，認為幾何直觀有助于將抽象的數(shù)學對象直觀化、顯性化，抽象觀念、形式化語言的直觀背景和幾何形象，為學生創(chuàng)造了一個主動思考的機會和揭示經(jīng)驗的策略；憑借幾何直觀開展的思維活動，可以成為創(chuàng)新性思維活動的開端，簡捷、直觀的載體可以巧妙地化解相關問題；借助幾何直觀進行思考，是一種很重要的研究策略，在科學發(fā)現(xiàn)過程中起著不可替代的作用[2]。

蔡宏圣認為，幾何直觀最重要的價值在于“幫助學生直觀地理解數(shù)學”，創(chuàng)造學生對數(shù)學的理解，即如何把抽象的數(shù)學意義轉換成兒童易于理解和運用的具體感受、直觀形式[15]。引導學生形成各種直觀的概念意象比定義本身更加重要。

黃翔認為，恰當?shù)剡\用幾何直觀，不僅能更好地建立起數(shù)和形之間的聯(lián)系、促進相互的轉化，提供綜合運用知識能力，而且能給學習帶來極大的好處。借助幾何圖形支撐數(shù)學的抽象思維，逐步發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)符合學生的認知規(guī)律[24]。

(三)幾何直觀的培養(yǎng)策略

在幾何直觀的培養(yǎng)策略上，我國學者的看法也有一定一致性，如重視引導學生畫圖，重視對基本圖形的識別、理解和記憶，注意在學生的認知結構中建立抽象語言與直觀圖形的對應和聯(lián)系，充分有效地利用直觀圖形的變式，對概念作咬文嚼字式分析時結合圖形，采取多樣化的練習方式等。

孔凡哲、史寧中認為，尋找數(shù)學對象的直觀模型是有效發(fā)揮幾何直觀的重要環(huán)節(jié)之一；通過數(shù)學文化中的“借助幾何直觀進行思考”的典型案例，有助于發(fā)展學生的幾何直觀；有效的培養(yǎng)幾何直觀的工作需要依托數(shù)學課程的每個領域，依托具體的數(shù)學課程教學內容，落實在課程內容之中、課堂教學細節(jié)之中。[2]

許多一線教研人員、數(shù)學教師結合自身教學經(jīng)驗提出了相關看法，如蔡宏圣提出，低年級可以讓學生在教師示范下被動感受幾何直觀的價值，中高年級可以讓學生充分經(jīng)歷、積極參與幾何直觀過程；進行有目的有計劃的顯性學習，同時構建良好的可以感受幾何直觀的課程氛圍；重視讓學生經(jīng)歷獨立嘗試、交流共享、碰撞完善的過程[15]。在數(shù)學教學中，應在內容安排、培養(yǎng)目標、實驗教學的組織實施、具體教學手段如幾何畫板等現(xiàn)代信息技術、形象化教學語言與典型常見模型如長方體等直觀教具的運用等方面加以重視[25-27]。幾何直觀應滲透在不同知識領域的教學環(huán)節(jié)中，開發(fā)可以培養(yǎng)學生圖形直觀意識的課程材料，注意尊重學生的個性化“獨特”圖形等[28]。

五、幾何直觀研究展望

幾何直觀的研究在新世紀如雨后春筍不斷涌現(xiàn)，許多內容得到了深入探討和有效交流，但某些方面的研究缺失也是十分明顯的，這需要數(shù)學教育研究者和中小學數(shù)學教師的協(xié)同努力加以彌補。

(一)增加針對中小學的實證研究

幾何直觀研究在我國數(shù)學教育界散見于一些學者的論述中，還是一個十分新穎的課題，缺乏系統(tǒng)化的深入研究。目前國內文章大多為理論定性分析，實踐定量分析很少。筆者認為，以下課題值得開展實證研究：各學段幾何直觀發(fā)展水平與數(shù)學成績的相關性；各年齡層次男女生幾何直觀水平的差異性；文化背景和生活經(jīng)驗與幾何直觀發(fā)展的相關性；數(shù)學知識表征方式與幾何直觀發(fā)展的相關性；數(shù)學學習或認知風格與幾何直觀發(fā)展的相關性；幾何直觀能力與相關學科學習的相關性等。

(二)建立幾何直觀的分層評估量表

《標準》中在第二、三學段“學段目標”中的“數(shù)學思考”部分分別提出“感受幾何直觀的作用”“經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程，初步建立幾何直觀”。兩個學段的要求顯然是有層次差異的，但如何區(qū)分這種差異需要更進一步地明確表述?！案惺堋薄敖?jīng)歷”“建立”均是描述過程目標的行為動詞，在目前的中小學教學評價機制下，很可能直接要求衡量這些行為動詞實施后達到的結果。如果無法衡量，那對幾何直觀的要求又可能停留于紙面上而為教師忽略。因此，在實證性量化研究基礎之上，建立較為具體的幾何直觀分層評估量表就成為了幾何直觀研究的題中應有之義。

有研究者在這方面作了初步探索，基于范·希爾的幾何思維水平劃分等研究將中學生的幾何直觀能力劃分為五個層級[11]。但這種劃分的主觀思辨色彩濃厚，與已有的個別實證研究結論也不盡符合。小學生具有直觀的先天稟賦，這是教學中開展幾何直觀活動的基礎[15]。但這種“先天稟賦”需要進行相對準確的衡量，以了解學生幾何直觀發(fā)展水平，實施更有針對性的教學，同時對于學生幾何直觀方面的不足也可以及早發(fā)現(xiàn)加以補救。但在當前我國的幾何直觀研究領域，還沒有較為正式的和認同程度較高的幾何直觀評估量表。缺少恰當?shù)脑u估量表，開展幾何直觀水平測查只能是一句空話。因此，根據(jù)我國基礎數(shù)學教育現(xiàn)狀，在獲取大樣本動態(tài)化連續(xù)性“面板數(shù)據(jù)(Panel Data)”[29]基礎上，按照學段確定信度和效度較高的分層幾何直觀評估量表，應是目前幾何直觀研究的核心內容之一。

(三)開辟幾何直觀培養(yǎng)的新途徑

對幾何直觀的理解不能過于狹義，僅僅局限在幾何課程內部作圖解題?！稑藴省分兴詭缀沃庇^利用圖形描述和分析問題，并沒有限制問題是幾何問題。對幾何直觀的理解應包括“實際世界經(jīng)過運用具體直觀后的數(shù)學化”[30]，這一點對于整個中小學數(shù)學教學尤為重要。比如，函數(shù)單調性教學就可以結合學生上學、放學走過的上坡、下坡的道路，實現(xiàn)對函數(shù)單調性的整體理解及其作為局部性概念的初步感性直觀認識，再進行抽象化的認識和符號化的表達。

幾何直觀的培養(yǎng)是一個潛移默化、逐漸滲透過程，需要課堂內外、學校和家庭的協(xié)同努力。對幾何直觀的培養(yǎng)策略應該延伸到課堂之外，力求探索一些在日常生活中培養(yǎng)幾何直觀的方法。比如，針對低年級學生，數(shù)學教師可以積極爭取家長配合，與家長交流在日常生活中培養(yǎng)孩子幾何直觀的具體方法，讓家庭教育配合學校教育共同促進孩子幾何直觀的發(fā)展。再如，對于高年級學生，教師可以挖掘數(shù)學發(fā)展史中典型案例和具有發(fā)展、促進幾何直觀能力的研究性學習課題，將其作為實踐探究任務布置給高年級學生，從而寓幾何直觀教育于課外活動之中。

(四)開展關于教師幾何直觀的MPCK研究

由于長期的教學經(jīng)驗和固有的教學慣性使然，中小學教師往往對《標準》提出的新核心概念十分關注又困惑不解，尤其是像幾何直觀這樣看似司空見慣卻又不易捉摸的概念。比如，教師往往關心數(shù)學教材中承載幾何直觀能力培養(yǎng)的具體內容有哪些？對于具體內容如何進行教學才是準確呈現(xiàn)了幾何直觀的過程與方法？幾何直觀與數(shù)形結合等熟知的數(shù)學思想方法之間有什么關系？幾何直觀與邏輯推理之間有什么樣的關系？強調幾何直觀與追求數(shù)學的嚴謹性之間是不是有些矛盾？等等。

可能部分教師對于前述問題也有一些個人想法，但僅靠教師自己“摸著石頭過河”或由專家進行單向的理論灌輸可能無法徹底將其澄清，必須在對不同類型如新手、熟手、專家教師有關幾何直觀的MPCK知識進行深入研究、刻畫基礎上，總結梳理教師關于幾何直觀的已有知識、經(jīng)驗、體悟，從中發(fā)現(xiàn)普遍規(guī)律與特殊屬性，這樣也有利于發(fā)現(xiàn)數(shù)學教師在教學實踐中可以應用的內容?；诖耍纯稍O計相應的典型教學案例，應用于“國培”“省培”等各級教師培訓中，引導教師開展有針對性和實效性的研討分析，提升對幾何直觀的理解和認識。

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[21] 朱向明.借助幾何直觀 積累問題解決經(jīng)驗——以“求比一個數(shù)多(少)幾的實際問題”為例[J]．教學與管理，2013(17).

[22] 吉智深.借助幾何直觀學好數(shù)學[J].教學與管理,2013(2).

[23] 劉愛東.凸顯幾何直觀的數(shù)學價值[J].教學與管理,2013(8).

[24] 黃翔.數(shù)學課程標準中的十個核心概念[J].數(shù)學教育學報,2012 (4).

[25] 王希平.重視幾何直觀 揭示圖形幾何性質[J].數(shù)學通報,2005 (2).

[26] 夏俊.幾何直觀在低段數(shù)學中的運用研究[J].上海教育科研，2012(2).

[27] 謝偉.關于高中選修教材《幾何證明選講》的教學研究[D]．長沙：湖南師范大學,2011.

[28] 李玲玲.試談“圖形直觀”的表現(xiàn)形式及教學策略[J].教學與管理,2013(23).

[29] Baltagi.Econometric Analysis of Panel Data[M].Oxford University Press,2008.

[30] (法)G·邵蓋.幾何和直觀在數(shù)學中的作用[J].史樹中譯.數(shù)學通報,1982(2).

(責任編輯：趙 峰)

Summary of the Research on Geometric Intuition in China

SU Jian-wei1, Li Peng2

(1.School of Mathematics and Statistics, Hainan Normal University, Haikou 571158, China; 2.Department of Mathematics, Huizhou University, Huizhou 516007, China)

"Geometric intuition" is one of the core concepts of the 2011 "standard". Since the new century, the domestic research on geometric intuition has been quite fruitful, involving many aspects. To classify the related research literatures, the research found that: the research on geometric intuition is mainly focused on the formation and development, the connotation, the discrimination of the related concepts, the value of education and teaching, the training strategy and so on. Further research should pay attention to the following four aspects: the increase in the empirical research of primary and secondary schools; establish a geometric intuitive hierarchical assessment scale; open up a new approach to the cultivation of geometric intuition; MPCK research on Teachers' geometric intuition.

geometric intuition；connotation；formation； development；training strategy

2016-09-16 作者簡介：1.蘇建偉，男，漢族，山東兗州人。碩士。海南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院副教授。主要研究方向：數(shù)學課程與教學論；2.李鵬，男，漢族，山東棗莊人。教育學博士?；葜輰W院數(shù)學系副教授。主要研究方向：數(shù)學課程與教學論。 基金項目：2013年廣東省教育科研“十二五”規(guī)劃項目“教師教學行為與教學價值取向適切性研究”(編號：2013JK169)成果之一。

O186

A

1009-9743(2017)01-0144-07

10.13803/j.cnki.issn1009-9743.2017.01.029