江蘇省南通市田家炳中學(xué)(226001) 葛殷殷

挖掘內(nèi)在聯(lián)系引導(dǎo)自然生成
——“整式乘法”起始課的思考與設(shè)計(jì)

江蘇省南通市田家炳中學(xué)(226001) 葛殷殷

道家認(rèn)為,事物的最高境界是歸于自然,順其自然就是“道”.遵循“道”的教學(xué)是好的教學(xué),數(shù)學(xué)教學(xué)理應(yīng)順其自然,在教師自然引導(dǎo),學(xué)生自然參與的過程中促進(jìn)知識(shí)的自然生成,能力的自然提升、方法的自然習(xí)得、經(jīng)驗(yàn)的自然積累.

數(shù)學(xué)教學(xué)要根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的規(guī)律及其內(nèi)在聯(lián)系、學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)與可達(dá)到的高度以及思維發(fā)展能力有效地整合教學(xué)內(nèi)容、合理地設(shè)計(jì)教學(xué)流程,力求順其自然.在追求自然的教學(xué)理念的引領(lǐng)下,筆者對(duì)“整式乘法”起始課有了新的思考和新的設(shè)計(jì).

一 “整式乘法”起始課的思考

1.對(duì)于代數(shù)學(xué)習(xí)的思考

小學(xué)里主要學(xué)習(xí)“數(shù)”,“數(shù)”是具體事物的抽象.進(jìn)入初中,將“數(shù)”進(jìn)一步抽象,引入“式”,數(shù)與式具有通性.到了高中和大學(xué),又將“式”進(jìn)一步抽象成“集合”,集合中的許多內(nèi)容與數(shù)、式具有相通之處.這是數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程,也是學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所要經(jīng)歷的自然的上升過程.如果學(xué)生在學(xué)習(xí)中,清晰的明白這一過程,那他整個(gè)初中乃至高中的代數(shù)學(xué)習(xí)將會(huì)更為自然合理.

2.對(duì)于本章學(xué)習(xí)的思考

在學(xué)習(xí)“數(shù)”的時(shí)候,我們主要學(xué)習(xí)了數(shù)的相關(guān)概念、分類和數(shù)的運(yùn)算.那根據(jù)“數(shù)式通性”,學(xué)習(xí)“式”的時(shí)候自然要學(xué)習(xí)式的相關(guān)概念、分類和運(yùn)算.在前面學(xué)習(xí)了整式的相關(guān)概念和分類及加減運(yùn)算后,順其自然,本章應(yīng)該學(xué)習(xí)整式的乘除.整式包括單項(xiàng)式和多項(xiàng)式,那整式的乘法就應(yīng)含有：?jiǎn)雾?xiàng)式乘以單項(xiàng)式,單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式和多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式.如果讓學(xué)生在本章開始學(xué)習(xí)之初就弄清楚這些,那么他們這一章的學(xué)習(xí)就會(huì)脈絡(luò)清晰,順理成章.

3.對(duì)于冪的運(yùn)算法則之間聯(lián)系的思考

學(xué)習(xí)新知,我們通常遵循從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的原則.整式乘法中最為簡(jiǎn)單的就是單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式,而單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式中最簡(jiǎn)單的就是a·a,由此出發(fā),進(jìn)一步計(jì)算(m,n是正整數(shù)),得到同底數(shù)冪乘法的法則,再類比數(shù)中乘除互為逆運(yùn)算得到同底數(shù)冪的除法法則,類比數(shù)中乘方與乘法的關(guān)系得到冪的乘方法則,并進(jìn)一步可以得到積的乘方法則,這些法則都是整式乘法的基礎(chǔ).如果,教師在教學(xué)時(shí),充分抓住這些內(nèi)在聯(lián)系,設(shè)計(jì)與之配套的教學(xué)流程,則能引導(dǎo)學(xué)生自然地生成這些法則.

二 “整式乘法”起始課的設(shè)計(jì)

1.內(nèi)容與內(nèi)容分析

(1)內(nèi)容

同底數(shù)冪的乘法和除法法則、冪的乘方和積的乘方法則.

(2)內(nèi)容分析

同底數(shù)冪的乘法法則：am·an=am+n(m,n是正整數(shù)).根據(jù)乘法與除法互為逆運(yùn)算得到同底數(shù)冪的除法法則：am÷an=am-n(m,n是正整數(shù),且m＞n).再根據(jù)乘方運(yùn)算是因數(shù)相同的乘法運(yùn)算得到冪的乘方法則：(am)n=amn(m,n是正整數(shù)).再考慮將冪的乘方法則中相同因數(shù)相乘的結(jié)果am換成不同因數(shù)相乘的結(jié)果abc,進(jìn)而得到積的乘方法則：(ab)n=anbn(n是正整數(shù)).這些冪的運(yùn)算法則是整式乘法的基礎(chǔ),也是整個(gè)式的運(yùn)算的基礎(chǔ).借助數(shù)式通性可以有效的引導(dǎo)學(xué)生從最近發(fā)展區(qū)出發(fā)探究這些法則,因此法則探究中處處滲透了類比的數(shù)學(xué)思想方法.基于以上分析,確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是探究并理解同底數(shù)冪的乘法和除法法則、冪的乘方和積的乘方法則.

2.目標(biāo)與目標(biāo)分析

(1)目標(biāo)

①理解同底數(shù)冪的乘法和除法法則、冪的乘方和積的乘方法則;

②經(jīng)歷冪的運(yùn)算法則的探究過程,體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想方法.

(2)目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)①的標(biāo)志是學(xué)生能分清冪的運(yùn)算屬于哪種類型,并會(huì)正確運(yùn)用相應(yīng)的法則進(jìn)行計(jì)算.

達(dá)成目標(biāo)①的標(biāo)志是學(xué)生能類比數(shù)的相關(guān)知識(shí)通過自主探究與合作探究發(fā)現(xiàn)冪的運(yùn)算法則,感受類比的數(shù)學(xué)思想.

3.教學(xué)問題診斷分析

盡管這幾個(gè)法則之間存在內(nèi)在聯(lián)系,學(xué)生可從最近發(fā)展區(qū)出發(fā),類比數(shù)的知識(shí)來自主探究新知,但是在短時(shí)間內(nèi)學(xué)習(xí)四個(gè)法則,且這四個(gè)法則又比較接近、容易混淆,所以要完全理解四個(gè)法則還是有一定難度.要破解這個(gè)難題,需要在教學(xué)中加強(qiáng)這四個(gè)法則的比較,同時(shí)通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)來加深對(duì)法則的理解.

基于以上分析,本節(jié)課的難點(diǎn)是四個(gè)冪的運(yùn)算法則的理解.

4.教學(xué)過程設(shè)計(jì)

(一)溫故知新

問題1 抽象是數(shù)學(xué)的重要特征,從具體的實(shí)物抽象得到數(shù);再用字母表示數(shù),抽象得到式;到了高中大學(xué),還將進(jìn)一步抽象得到集合.目前,我們學(xué)習(xí)了數(shù)的哪些內(nèi)容呢？學(xué)習(xí)了式的哪些內(nèi)容？那接下來我們學(xué)習(xí)什么呢？

(在學(xué)習(xí)“數(shù)”的時(shí)候,我們主要學(xué)習(xí)了數(shù)的相關(guān)概念、分類和數(shù)的運(yùn)算,也學(xué)習(xí)了整式的相關(guān)概念和分類及加減運(yùn)算,那接下來應(yīng)該學(xué)習(xí)整式的乘除.整式包括單項(xiàng)式和多項(xiàng)式,那整式的乘法就應(yīng)含有：?jiǎn)雾?xiàng)式乘以單項(xiàng)式,單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式和多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式.)

設(shè)計(jì)意圖 一是幫助學(xué)生理清“數(shù)——式——集合”的代數(shù)發(fā)展脈絡(luò),做到心中有底.二是借助數(shù)式通性,類比數(shù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容,理清式的學(xué)習(xí)內(nèi)容,進(jìn)一步弄清本章所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

問題2 整式乘法中最簡(jiǎn)單的是單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式,而單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式中最簡(jiǎn)單的就是a·a.請(qǐng)計(jì)算a·a=____,=____.在am(m是正整數(shù))中,a叫做____,m叫做___,am讀作___.

設(shè)計(jì)意圖 在理清本章所學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)上,考慮由易到難,從最簡(jiǎn)單的開始(也是教給學(xué)生學(xué)習(xí)新知的一種常用方法),同時(shí)復(fù)習(xí)舊知,為學(xué)習(xí)新知做準(zhǔn)備.

(二)探究新知

問題3 計(jì)算am·an(m,n是正整數(shù)),并用文字語言表述你的發(fā)現(xiàn).

設(shè)計(jì)意圖 從計(jì)算a·a出發(fā),提高難度,請(qǐng)學(xué)生計(jì)算am×an,(m,n是正整數(shù)),為發(fā)現(xiàn)法則做準(zhǔn)備,在計(jì)算正確后,引導(dǎo)學(xué)生用文字語言表述發(fā)現(xiàn),發(fā)展學(xué)生概況能力.

問題4 am·an·ap(m,n,p是正整數(shù)),并用文字語言完善你的發(fā)現(xiàn).

設(shè)計(jì)意圖 從兩個(gè)同底數(shù)的冪相乘,到三個(gè)同底數(shù)的冪相乘,再推廣到更多個(gè)同底數(shù)的冪相乘,發(fā)現(xiàn)其結(jié)果仍然是“底數(shù)不變,指數(shù)相加”.從而得到同底數(shù)冪的乘法法則.

問題5 在數(shù)中,乘法和除法互為逆運(yùn)算,在式中也是如此.你能根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則得到同底數(shù)冪的除法法則嗎？

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)乘除互為逆運(yùn)算的關(guān)系,很自然地去探究同底數(shù)冪的除法法則.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)乘方運(yùn)算與乘法運(yùn)算的關(guān)系,很自然地去探究?jī)绲某朔椒▌t.

問題7 在(am)n=amn(m,n是正整數(shù))中,底數(shù)是m個(gè)相同因數(shù)a的乘積,如果將其改為一些不同因數(shù)的乘積,比如改為(ab)n,(abc)n(n是正整數(shù)),結(jié)果會(huì)怎樣？

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生探究積的乘方法則.

問題8 請(qǐng)回顧總結(jié)我們所發(fā)現(xiàn)的四個(gè)法則,并比較它們的異同.

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所探究發(fā)現(xiàn)的四個(gè)法則,并比較它們之間的相同點(diǎn)與不同點(diǎn),加深對(duì)這些法則的理解.

(三)鞏固提升

問題9 計(jì)算：(1)x2·x5;(2)(x2)5;(3)(x2y)5;(4)x6÷x2;(5)x10÷x5;(6)xm+5·x;(7)(xn)5;(8)(-2x2)3.

問題10 做完上述計(jì)算,你覺得需要注意些什么？

設(shè)計(jì)意圖 通過例題加深學(xué)生對(duì)法則的理解,并通過題后總結(jié),引導(dǎo)學(xué)生在做題時(shí)要先注意觀察該運(yùn)算符合哪個(gè)法則的特征,然后再正確運(yùn)用相應(yīng)的法則去求解.

(四)總結(jié)提高

①本節(jié)課我們學(xué)到了哪些知識(shí),它們之間有哪些異同？

②運(yùn)用這些知識(shí)解題時(shí)要注意什么？

③本節(jié)課我們是如何學(xué)習(xí)這些知識(shí)的？

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué),進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí),深化對(duì)法則的理解,同時(shí)再次強(qiáng)調(diào)運(yùn)用法則解題時(shí)的注意點(diǎn).再有,引導(dǎo)學(xué)生回顧如何學(xué)習(xí)這些法則的,進(jìn)一步體會(huì)數(shù)式通性,感受類比的數(shù)學(xué)思想方法.

(五)課外延展

課本96,97,98頁的練習(xí)

設(shè)計(jì)意圖 借助課外練習(xí)進(jìn)一步鞏固四個(gè)法則,幫助學(xué)生加深對(duì)法則的理解.