◇史寧中

眾所周知，幾何直觀是《數(shù)學課程標準（2011）》的十大核心概念之一。在小學數(shù)學教學中，如何培養(yǎng)學生的幾何直觀能力，是一個有難度但又很有意義的話題。我愿意嘗試帶領大家一起探討這個話題，分享我的一些研究成果，以供廣大教師在日常教學中參考。我們首先來討論如何理解直觀與幾何直觀。

一、問題的提出

從某種程度上講，直觀和幾何直觀都是哲學或者心理認知學的名詞。德國哲學家康德在《純粹理性批判》一書中曾說過：人類的一切知識都是從直觀開始的，從那里進到概念，而以理念結(jié)束。20世紀最偉大的數(shù)學家希爾伯特非常敬佩康德，把康德的這句話作為自己著作《幾何基礎》的卷首扉頁題詞?，F(xiàn)在“直觀”這個詞哲學上用得非常多。比如，現(xiàn)象學的創(chuàng)始人、當代哲學家胡塞爾，就反復使用“直觀”這個詞?！爸庇^”究竟是什么意思呢？哲學中，唯心主義和唯物主義最大的區(qū)別在于，人獲取的知識是否都是源于經(jīng)驗的。根據(jù)唯心主義，康德認為：人的一切知識并非都來源于經(jīng)驗；人類具有認知的能力，稱為直觀（覺）；有一種先驗于經(jīng)驗的直觀，稱為先驗直觀，包括時間、空間和因果關(guān)系三個方面。

暫且不討論哲學上的問題，一些很有意思的問題值得我們思考：對于同樣的物理現(xiàn)象，為什么不同的人會得到不同的結(jié)論，從而獲得不同的知識和不同的認知呢？教育應該負起什么樣的責任？教師應該培養(yǎng)孩子什么呢？

二、人和動物最大的區(qū)別

1.教育的本質(zhì)。

教育的本質(zhì)究竟是什么？1998年，我在《關(guān)于教育的哲學》一文中討論了一個很重要的問題：“教育到底是人類生存的需要，還是社會發(fā)展的需要？”我當時得到的結(jié)論是，教育是人類的一種本能，它不僅是社會發(fā)展的需要，更是人類生存的需要，目的是人能更好地生存。經(jīng)過10多年的思考，我發(fā)現(xiàn)當時的結(jié)論不夠全面，如果教育僅僅是一種本能的話，為什么人還要上學呢？后來，我又提出一個命題：教育應當充分地彰顯人與動物的巨大區(qū)別。這里所說的動物是指除人以外的所有動物。

2.擴容的腦容量。

傳統(tǒng)的說法認為，人和動物最大的區(qū)別是人會勞動。大家在觀看《動物世界》節(jié)目時會發(fā)現(xiàn)，有的動物也會勞動，所以用勞動來區(qū)別人和動物是不可以的。那會不會像亞里士多德說的那樣，人和動物的最大區(qū)別是人有思維呢？我發(fā)現(xiàn)動物也是有思維的。比如，達爾文在《人類的由來》一書中有這樣一個例子：有一次，一個獵人射獵兩只野鴨，都擊中了翅膀掉在河的對岸，他的獵狗游過河取回，但它不可能把兩只野鴨都活著叼回來，一次只能叼一只。獵狗猶豫了一下，咬死一只放在那里，把另一只活著叼回，然后再回去取被咬死的那只。達爾文順勢提問：狗的這種行為，是本能還是思維的結(jié)果呢？

著名的古人類學家理查德·利基在《人類的起源》中記載了一件事：有一次，一只狒狒摘到了一根香蕉，后來看到別的狒狒來了，它就把這根香蕉藏了起來，若無其事地在那里玩。等到別的狒狒走遠，它才把香蕉拿出來吃了。換句話說，狒狒已經(jīng)具有欺騙行為。理查德·利基認為，欺騙行為就是思維的結(jié)果。

美國的著名心理學家、行為科學之父蓋洛普曾做過一個實驗。有一次他在刮胡子時不小心把自己的皮刮破了，之后他突然萌生了一個想法：在動物的腦門上點上一個紅點，然后讓這只動物照鏡子，如果這只動物去摸鏡子，就說明它沒有發(fā)現(xiàn)鏡子中的映像是自己；如果這只動物去摸自己的腦門，說明它發(fā)現(xiàn)了自己。于是他就用一只黑猩猩做實驗，發(fā)現(xiàn)黑猩猩摸自己腦門上的紅點，所以猩猩已經(jīng)意識到了自己。人類到了4歲的時候才能意識到自己的存在，所以黑猩猩的這種行為肯定是思維的結(jié)果。

我認為，人和動物最大的區(qū)別是先天決定的，首先就應該體現(xiàn)在人類具有擴充了腦容量的大腦。人的大腦容量現(xiàn)在是1350毫升，而與人類同體積的動物，其大腦容量最多也僅僅是400毫升。對于一般動物來說，生下來的幼崽腦容量應該是成年腦容量的。但是，新生兒腦容量只有成年人腦容量的（約400毫升）。所以，每一個人生下來時都是“早產(chǎn)兒”。如果新生兒腦容量是成年人腦容量的左右，那么每一名母親都得長兩米多高，而且得懷胎20個月。幸運的是，人類自身具有極強的保護新生兒的能力，新生兒在出生以后的很長一段時間里，不長肌肉，也不長骨骼，只長腦袋。所以抱小孩時，我們得托著小孩的頭，因為他的脖子不足以支撐他的頭部。孩子到6歲要上學的時候，腦容量已經(jīng)長到成年人的90%，直到14歲時腦容量才達到1350毫升。

3.良好的發(fā)音器官。

人和動物的另一個區(qū)別是人會說話。人之所以會說話，是因為人的發(fā)音器官比較好，表現(xiàn)在人的喉頭長在下方。跟動物一樣，剛出生時嬰兒的喉頭長在上方，因此他可以一邊哭一邊吃奶。大約到了出生后第18個月時，嬰兒的喉頭就開始向下移動，食管跟氣管分開，直到14歲的變音期，他的喉頭到達成年人正常的位置。

因此，我將14歲之前的教育稱作早期教育。這一階段不要過分地使用大腦，而要開發(fā)大腦。

三、早期教育階段應開發(fā)兒童的兩種能力

20世紀末，表觀遺傳學開始興起。其研究者發(fā)現(xiàn)，所有的動物在剛出生時攜帶所有基因，但如果后天得不到相應刺激，所攜帶基因便無法得到充分表達。比如，如果在出生后1個月或2個月內(nèi)不讓嬰兒看見東西的話，眼睛的視覺功能就會喪失。有研究者用猴子做過實驗：用布蒙住剛出生的小猴子的眼睛，實驗持續(xù)1個月，小猴子徹底失明。再比如，在該教孩子說話的時候卻不教他說話，等孩子長大了再教說話就是一件非常吃力的事情。因此，在早期教育階段，開發(fā)大腦是非常重要的。

人腦容量增大之后的一個非常明顯的表現(xiàn)，就是人會制造工具。動物會使用工具，但不會制造工具。到目前為止，發(fā)現(xiàn)腦容量大的動物，是在200萬年前出現(xiàn)的類人猿，而到目前發(fā)現(xiàn)最早的能稱為工具的石器，也是200萬年前出現(xiàn)的。因此，我們可以斷定，腦容量增大了的類人猿——它們或許是人類的祖先——制造了工具。制造工具需要一種什么能力呢？我認為是想象能力。因為制造工具的難點在于人事先要想好所造工具的樣子，然后再去制造。因此在小學階段，包括在幼兒園階段，一定要培養(yǎng)兒童的想象能力。

那么，語言表達培養(yǎng)的是什么能力呢？我認為是抽象能力。因為語言具有抽象性。在交流時，雙方并沒有拿出實物，但是彼此都能聽懂。

綜上所述，兒童在14歲之前的早期教育極為重要。小學階段的教育是很重要的，是兒童在沒有完全成熟時進行的教育，是一種開發(fā)各種能力的教育。其中，我認為培養(yǎng)兒童想象能力和抽象能力是非常重要的。

四、兩種能力與直觀的關(guān)系

之所以強調(diào)直觀，是因為從我個人的經(jīng)驗來講，所有的數(shù)學結(jié)果都能“看”出來。重要的結(jié)果是“看”出來的，而不是證出來的。能把結(jié)果“看”出來的能力，不是教師教出來的，而是需要依靠學生自己領悟的。這個“看”的能力在本質(zhì)上就是一種智慧。而我認為這種智慧主要就表現(xiàn)在想象能力和抽象能力，它們與直觀聯(lián)系得非常緊密。

因此，一個人是否會想問題，主要依靠的是經(jīng)驗的積累。人的知識確實是來自于經(jīng)驗的，但是經(jīng)驗是可以積累的。比如，是否會想問題，是否會做事情，這兩種經(jīng)驗的積累，對兒童來說是極為重要的，是能夠決定他一生能否很好生活的基礎。

五、對直觀與幾何直觀的理解

1.對直觀的理解。

在哲學中，直觀是指通過對客觀事物的直接接觸而獲得感性認識的一種方式，關(guān)注的是人如何能夠認識事物。而我認為，直觀是指通過對客觀事物的直接接觸而認識事物的一種方式，關(guān)注的是人是如何認識事物的。我認為教育學與哲學（以及心理學）的一個重大區(qū)別表現(xiàn)在，教育學關(guān)心的是人如何認識事物，不應考慮人這樣表現(xiàn)的理由。因此，在這種意義上，我們可以將直觀分為兩種：一種是感性直觀，另一種是理性直觀。

（1）感性直觀。

感性直觀是指接觸到客觀事物，基于生活經(jīng)驗，直接通過聯(lián)想、類比、分類等，對客觀事物建立起相應的知識聯(lián)系。它運用的是知覺和感性認識。正如康德所說，人受外部對象的刺激并做出適當?shù)姆磻a(chǎn)生的表象就是感性直觀。它不僅有感性經(jīng)驗，還有知覺判斷，進而形成知識。換句話說，感性直觀就是人對事物的表象馬上產(chǎn)生的一種認識，但這種認識跟邏輯思維的關(guān)系并不密切。

（2）理性直觀。

一個數(shù)學直觀非常好或者數(shù)學素養(yǎng)非常高的人，可以越過長時間的思考馬上看到結(jié)果。我們將這種直觀稱為理性直觀，它是指當遇到問題后，一個人能夠跨越長時間的理性思考和邏輯分析過程，基于思維經(jīng)驗直接認識問題，理解問題的本質(zhì)，找到解決問題的思路，推斷出問題的結(jié)論。我認為，教育只需要關(guān)心三件重要事情：一是理解事物的本質(zhì)，二是啟發(fā)解決問題的思路，三是直接推斷問題的結(jié)論。此時便需要運用概念，因此，這是一種理性的分析。

（3）數(shù)學教育與數(shù)學直觀的關(guān)系。

正在修訂的高中數(shù)學課程標準中提出，要發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，最終使學生會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界?！叭龝本褪菙?shù)學核心素養(yǎng)的本質(zhì)。無論進行怎樣的課程改革，如果要用一句話表達數(shù)學教育的根本，那就是培養(yǎng)學生的數(shù)學直觀。因為數(shù)學的結(jié)論是“看”出來的，不是“證”出來的。“看”依賴的就是數(shù)學直觀，是“三會”的現(xiàn)實表現(xiàn)。

備課時，教師們都關(guān)注過程性目標，我建議在過程性目標上再加上幾句話：經(jīng)歷過程之后，要讓學生感悟數(shù)學的本質(zhì)，積累思維的經(jīng)驗和做事的經(jīng)驗。僅僅經(jīng)歷過程是不行的，還要讓學生理解數(shù)學本質(zhì)，感悟數(shù)學思想?！稊?shù)學課程標準（2011）》在傳統(tǒng)的基礎知識和基本技能的基礎上，增加了感悟數(shù)學基本思想，積累數(shù)學基本經(jīng)驗。我認為，基本經(jīng)驗只有兩個：一個是思維的經(jīng)驗，另一個是做事的經(jīng)驗。

數(shù)學核心素養(yǎng)是要回答通過數(shù)學教育，培養(yǎng)什么樣的人的問題?，F(xiàn)在看來，從基礎教育到大學階段的數(shù)學教育，除培養(yǎng)學生的科學精神、實踐能力和創(chuàng)新意識之外，還希望學生會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。這即是數(shù)學教育的培養(yǎng)目標，也是對經(jīng)過數(shù)學教育而培養(yǎng)出的人的描述?！皶脭?shù)學的眼光”就是抽象，即一般性地看問題，舍去物理背景地看問題；“數(shù)學思維”就是邏輯推理；在現(xiàn)代社會中，“數(shù)學的語言”就是模型。我們最終就是要培養(yǎng)學生抽象、推理、模型這三種思想。

數(shù)學直觀是一個人經(jīng)過日積月累的數(shù)學思維而形成的，是逐漸養(yǎng)成的一種思維習慣，一種數(shù)學素養(yǎng)。在這種意義上，所有的學科都應該把培養(yǎng)學生的直觀作為本學科的終極培養(yǎng)目標。因此，直觀是極為重要的，希望教師們在日常課堂教學中逐漸開始滲透。

2.對幾何直觀的理解。

數(shù)學直觀不僅包含幾何直觀，還包含代數(shù)直觀、統(tǒng)計直觀，但是只有幾何直觀好理解、看得見、摸得著。在1900年第二屆國際數(shù)學家大會上，希爾伯特曾說過：算術(shù)符號是文字化的圖形，而幾何圖形則是圖像化的公式，沒有一個數(shù)學家能缺少這些圖像化的公式。這句話的意思是，在思考問題時，我們往往通過畫幾何圖來理解問題，啟發(fā)思路，得到結(jié)論。正如前文所述，這正是直觀的三個本質(zhì)功能。但是，僅僅通過幾何是不行的，最后要通過代數(shù)式進行刻畫。比如在高中階段，學生在做幾何題目時要想到代數(shù)式，看到代數(shù)式時頭腦中要有幾何圖形。在小學階段，要讓學生在看圖時，頭腦中可以產(chǎn)生一種關(guān)系，以幫助學生理解問題中的某種規(guī)律，這樣才能稱為幾何直觀。換句話說，只有利用圖形、圖形的關(guān)系、圖形的變化和運動的軌跡，來實現(xiàn)直觀的三個本質(zhì)功能，才是幾何直觀。

幾何直觀不僅可以用來解決數(shù)學問題，還可以用來解決生活問題和科學問題。具備良好幾何直觀的人，在生活中遇到問題時頭腦中也會浮現(xiàn)出一些幾何圖，會主動選擇畫圖來幫助解決問題。在遇到科學問題時，很多物理學家、化學家和生物學家，都具備極好的數(shù)學直觀。有時，他們經(jīng)過分析得到的數(shù)學結(jié)論，卻需要數(shù)學家們花費10多年來給予證明。

代數(shù)直觀是指利用數(shù)、數(shù)的關(guān)系、代數(shù)式、代數(shù)式的關(guān)系、代數(shù)式的變換來建立直觀。代數(shù)直觀是很難建立的，需要經(jīng)過相當多的數(shù)學訓練。統(tǒng)計直觀是指利用數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)的關(guān)系、數(shù)據(jù)產(chǎn)生的背景、隨機模型來建立直觀。

各種直觀的培養(yǎng)，都需要學生長時間的思考，千萬不能著急。在教學中，如果想在很短的時間內(nèi)要求學生有突出表現(xiàn)的話，最快的方法只能是死記硬背，沒有別的方法。如果教師想真正達到啟發(fā)學生學會思考，并內(nèi)化成學生的個人能力，需要長時間的積累。這就是我們總提及要讓學生積累思維經(jīng)驗的根本原因。