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高速內(nèi)嚙合人字齒輪多目標(biāo)優(yōu)化修形

2017-02-08 06:50方宗德張永振
關(guān)鍵詞:修形齒面摩擦系數(shù)

賈 超, 方宗德, 張永振

(西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院, 西安 710072)

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高速內(nèi)嚙合人字齒輪多目標(biāo)優(yōu)化修形

賈 超, 方宗德, 張永振

(西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院, 西安 710072)

為提高高速內(nèi)嚙合人字齒輪的嚙合性能,提出一種考慮彈性軸支撐變形的齒面多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法.通過輪齒接觸分析和承載接觸分析計(jì)算齒面接觸線離散點(diǎn)載荷以及一個(gè)嚙合周期的輪齒承載變形.應(yīng)用基于混合彈流潤(rùn)滑模型的摩擦系數(shù)回歸方程確定離散點(diǎn)的局部摩擦系數(shù),利用Blok閃溫公式求得高速嚙合傳動(dòng)的齒面閃溫.以承載傳動(dòng)誤差幅值最小、齒面閃溫最小、齒面載荷分布均勻?yàn)閮?yōu)化目標(biāo),采用遺傳算法確定齒面最佳修形量.實(shí)例計(jì)算結(jié)果表明:在無(wú)誤差角和有誤差角兩種情況下,齒面修形后,承載傳動(dòng)誤差幅值都大幅下降,嚙入?yún)^(qū)和嚙出區(qū)齒面閃溫都明顯降低;由于避免了邊緣接觸,齒面載荷分布得到了有效改善.提出的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法結(jié)果可靠,是高速齒輪修形設(shè)計(jì)的有效手段.

內(nèi)嚙合人字齒輪;高速;修形齒面;承載傳動(dòng)誤差;閃溫;載荷均勻

通常,轉(zhuǎn)速在3 000 r/min、線速度在22m/s(AGMA規(guī)定3 600 r/min、25.4 m/s)以上的齒輪傳動(dòng)件被稱為高速齒輪[1].高速齒輪的輪齒交替嚙合頻率高,齒面滑動(dòng)速度大,對(duì)齒輪的抗承載能力、抗膠合能力、低振動(dòng)低噪音等諸多方面要求苛刻.然而,長(zhǎng)期以來(lái),高速齒輪修形設(shè)計(jì)多數(shù)基于經(jīng)驗(yàn)公式,難以得到精確的設(shè)計(jì)參數(shù)[2-3].

近些年,國(guó)內(nèi)外在齒輪嚙合仿真、齒面優(yōu)化修形等方面的研究發(fā)展迅速,眾多研究成果給設(shè)計(jì)人員選取精確設(shè)計(jì)參數(shù)提供了充裕數(shù)據(jù).Litvin等[4-6]完善了齒面接觸分析(TCA)技術(shù),通過刀具拋物線修形進(jìn)行齒面修形仿真;方宗德等[7-9]應(yīng)用Litvin的齒輪嚙合理論,推導(dǎo)了斜齒輪在修形和誤差條件下的齒面接觸分析、邊緣接觸分析,以及承載接觸分析(LTCA);王成[10]、蔣進(jìn)科[11]等以TCA和LTCA為基礎(chǔ),完成了外嚙合斜齒和人字齒的優(yōu)化修形仿真;唐進(jìn)元等[12]構(gòu)建了含安裝誤差的主動(dòng)輪鼓形齒的TCA仿真模型.但是,這些研究主要集中在外嚙合方面,且多以單一目標(biāo)進(jìn)行齒面優(yōu)化.

相比外嚙合,內(nèi)嚙合結(jié)構(gòu)更加緊湊,且傳動(dòng)效率更高,故日益受到重視.目前,高速內(nèi)嚙合人字齒輪傳動(dòng)在國(guó)外航空核心部件中已經(jīng)成熟應(yīng)用,如:GTF發(fā)動(dòng)機(jī)中的風(fēng)扇齒輪驅(qū)動(dòng)系統(tǒng),其主動(dòng)輪和內(nèi)齒圈轉(zhuǎn)速分別高達(dá)約8 000~10 000 r/min和3 000~4 000 r/min[13-16].然而,相關(guān)內(nèi)嚙合傳動(dòng)的高端應(yīng)用在國(guó)內(nèi)尚屬預(yù)研階段,因此對(duì)高速內(nèi)嚙合齒面仿真計(jì)算的研究,其重要意義不言而喻.

本文基于高速內(nèi)嚙合人字齒仿真計(jì)算,對(duì)主動(dòng)輪齒面進(jìn)行三維修形(齒廓、齒向),通過遺傳算法得到精確修形量,實(shí)現(xiàn)降低承載傳動(dòng)誤差幅值(ALTE)、均勻齒面載荷、降低齒面閃溫的多目標(biāo)優(yōu)化.

1 修形齒面的構(gòu)造

1.1 三維修形曲面設(shè)計(jì)

三維修形為齒廓、齒向修形的疊加,修形曲線示意圖如圖1所示:齒廓4個(gè)參數(shù),齒向3個(gè)參數(shù).修形曲線由兩段二次拋物線和一段直線組成,其中y1、y2、y3、y4分別為齒根和齒頂?shù)淖畲笮扌瘟恳约跋鄳?yīng)的修形區(qū)域長(zhǎng)度,y5、y6、y7分別為齒向兩端最大修形量和不修形區(qū)域長(zhǎng)度,H、B為有效齒高、齒長(zhǎng).本文中將旋轉(zhuǎn)投影面沿齒高、齒長(zhǎng)方向均勻劃分為m×n網(wǎng)格點(diǎn)陣,由修形曲線計(jì)算網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的修形量δij(x,y),再通過3B樣條對(duì)節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)擬合得到光滑的修形曲面,其與理論齒面關(guān)系如下:

式中Rx、Ry、Rz為理論齒面位矢坐標(biāo)分量.

圖1 齒廓(左)、齒向(右)修形曲線Fig.1 Profile (left) and longitudinal (right) modification curves

1.2 修形齒面方程

本文采用理論齒面與修形曲面疊加的方式構(gòu)造修形齒面,其位矢和法矢表示如下:

R1r(u1,l1)=δ(x,y)n1(u1,l1)+R1(u1,l1),

式中:R1、n1分別為理論齒面位矢和法矢;u1、l1分別為理論齒面參數(shù);R1r、n1r分別為修形齒面位矢和法矢;δ為修形量.

2 優(yōu)化模型

2.1 優(yōu)化目標(biāo)一,二(ALTE,齒面載荷)[7-9]

通過TCA和LTCA可以得到接觸線離散點(diǎn)位置坐標(biāo)、曲率半徑、載荷pij和輪齒法向位移Z(將Z轉(zhuǎn)化為嚙合線上位移,并用轉(zhuǎn)角表示即為承載傳動(dòng)誤差)等.其中,LTCA方法是一種基于齒面柔度矩陣的規(guī)劃方法.齒輪嚙合傳動(dòng)時(shí),支撐軸的變形會(huì)影響齒面柔度矩陣,因此,本文基于有限元分析,將軸離散為若干單元來(lái)計(jì)算齒輪輪齒受到單位法向力作用時(shí)軸節(jié)點(diǎn)處的彈性變形,然后利用相關(guān)公式計(jì)算得到齒面結(jié)點(diǎn)的附加柔度,最后通過插值得到齒面離散點(diǎn)的附加柔度矩陣.

圖2所示為齒輪支承系統(tǒng)受力分析示意圖,齒輪嚙合力可以分解為端面法向力Fr和軸向力Fa,轉(zhuǎn)移到軸上后,分別產(chǎn)生扭矩T和彎矩Ma.Fr和T引起軸系變形使齒面結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生法向位移,是應(yīng)考慮的重要因素,F(xiàn)a和Ma引起軸系變形使齒面結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生切向位移,其影響可以忽略.

圖2 齒輪支承系統(tǒng)受力分析

接觸線上離散點(diǎn)載荷密度表示如下:

式中Li,j為第i條接觸線上第j個(gè)點(diǎn)的位置坐標(biāo).

承載傳動(dòng)誤差(LTE)可以表示如下:

則承載傳動(dòng)誤差幅值(ALTE)為

式中rb、β分別為被動(dòng)輪基圓半徑和螺旋角.

本文采用接觸線最大載荷密度最小來(lái)表述齒面載荷均勻程度最優(yōu),最大載荷密度為

F2=max{wij}.

2.2 優(yōu)化目標(biāo)三(齒面平均閃溫)

計(jì)算齒面閃溫的Blok基本公式[17]為

式中:θf(wàn)la為嚙合點(diǎn)處閃溫;μmy為局部摩擦系數(shù)的平均值;Xα、Xβ和XM分別為嚙合角系數(shù)、螺旋角系數(shù)和溫升系數(shù)(本文中Xα和Xβ分別取為1,XM=50.0 K·N-0.75·S0.5·m0.5.mm);XB為幾何系數(shù),可通過TCA求解;a′為嚙合中心距;V′為節(jié)圓線速度.

接觸線平均閃溫為:

式中:i表示接觸線上的某個(gè)離散點(diǎn),n表示接觸線上離散點(diǎn)的數(shù)量.

本文參考了文獻(xiàn)[18]中的混合彈流潤(rùn)滑摩擦系數(shù)回歸方程,計(jì)算摩擦系數(shù)如下:

hmin=2.65α0.54(η0U)0.7E′-0.03R0.43W-0.13.

式中:λ為膜厚比,hmin為最小油膜厚度,μ1和μ2為齒面粗糙度,α為Barus黏壓系數(shù),η0為潤(rùn)滑油環(huán)境黏度,U為上下齒面嚙合點(diǎn)平均速度,E′為綜合彈性模量,R為綜合曲率半徑,W為載荷密度.

2.3 優(yōu)化模型與優(yōu)化過程

優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)表示為

式中: yi(i=1~7)為優(yōu)化變量(見圖1), ai(i=1~3)為權(quán)系數(shù)(∑ai=1,本文權(quán)系數(shù)均等), F10、F20、F30和F1、F2、F3為修形前和修形后的承載傳動(dòng)誤差幅值、最大載荷密度、接觸線平均閃溫, qmin、qmax、mmin、mmax、lmin(取0.5B)、lmax(取0.8B)為修形參數(shù)約束量[1].

圖3為齒面修形優(yōu)化計(jì)算流程圖.

圖3 齒面修形優(yōu)化計(jì)算流程

Fig.3 Calculation flowchart of tooth flank optimal modification

3 誤差條件下的嚙合仿真

實(shí)際工程應(yīng)用中誤差不可避免,通常的應(yīng)對(duì)措施是主動(dòng)輪浮動(dòng)安裝,因此,在優(yōu)化修形齒面的基礎(chǔ)上,加入誤差角,使主動(dòng)輪沿軸向竄動(dòng),完成了有誤差條件下的TCA和LTCA計(jì)算,流程圖如圖4所示.

圖4 有誤差角條件下的TCA和LTCA計(jì)算流程Fig.4 Calculation flowchart of TCA and LTCA with misalignment errors

4 算例與分析

齒輪副參數(shù)見表1,負(fù)載扭矩2 500 Nm,輸入轉(zhuǎn)速8 000 r/min,齒輪本體溫度為100 ℃,本體溫度下潤(rùn)滑油黏度為5 MPa·s,齒面粗糙度0.8 μm.遺傳算法種群數(shù)為50,進(jìn)化30代,交叉概率為0.6,變異概率為0.1.修形參數(shù)優(yōu)化結(jié)果見表2.

表1 齒輪副參數(shù)

表2 修形參數(shù)優(yōu)化結(jié)果

圖5(a)為主動(dòng)輪三維有限元網(wǎng)格模型,圖6、圖7中“左”和“右”分別代表圖5(a)中的左邊齒和右邊齒;圖5(b) 為其優(yōu)化修形曲線,齒廓修形左右完全一致,齒向修形關(guān)于人字齒退刀槽中心左右對(duì)稱.

(a)三維有限元模型

(b)輪齒優(yōu)化修形曲線

Fig.5 Three-dimensional finite element model of pinion and optimal modification curves

圖6(a)、(b)分別展示了修形前的齒面接觸點(diǎn)跡和齒面載荷分布,由圖中可以看出,進(jìn)入和退出嚙合時(shí),齒面兩齒側(cè)存在邊緣接觸,且邊緣接觸線承擔(dān)著較大載荷.邊緣接觸往往會(huì)惡化齒輪傳動(dòng),尤其是在高速轉(zhuǎn)動(dòng)下,會(huì)產(chǎn)生較大噪音和振動(dòng),進(jìn)而使齒輪壽命受損;圖6(c)、(d)則分別為修形后的齒面接觸點(diǎn)跡和齒面載荷分布,對(duì)比圖6(a)、(b)可以發(fā)現(xiàn),修形后,在嚙入?yún)^(qū)和嚙出區(qū),嚙合點(diǎn)發(fā)生了轉(zhuǎn)移,完全避免了邊緣接觸;圖6(e)為修形后的幾何傳動(dòng)誤差;圖6(f)給出了修形前后承載傳動(dòng)誤差幅值的對(duì)比,可以看到,修形后承載傳動(dòng)誤差幅值大幅下降.這是因?yàn)檩嘄X嚙合過程中,猶如承受動(dòng)載荷的懸臂梁,單對(duì)齒嚙合和多對(duì)齒嚙合交替工作,嚙合剛度周期性變化,從而導(dǎo)致輪齒彈性變形量周期性變化,承載傳動(dòng)誤差幅值也隨之周期性變化.齒面修形后,優(yōu)良的修形參數(shù)能夠保證嚙合轉(zhuǎn)換點(diǎn)之間盡可能平滑過渡,因此承載傳動(dòng)誤差幅值大幅下降.圖6(g)、(f)給出了修形前后齒面閃溫對(duì)比和摩擦系數(shù)對(duì)比.從圖6(g)中可以看出,修形前嚙入?yún)^(qū)為易發(fā)生膠合危險(xiǎn)區(qū)域,工程設(shè)計(jì)中應(yīng)注意.綜合對(duì)比圖6(g)、(f)可以發(fā)現(xiàn),修形后嚙入?yún)^(qū)和嚙出區(qū),摩擦系數(shù)降低明顯,閃溫大幅下降,其原因是修形后齒頂、齒根負(fù)載大幅下降,接觸線上法向間隙增加,故油膜厚度增加,潤(rùn)滑狀態(tài)改善,因此,摩擦系數(shù)下降,齒面閃溫隨之降低.

當(dāng)有安裝誤差時(shí),主動(dòng)輪軸向竄動(dòng),其過程實(shí)際就是左、右齒面間隙相互補(bǔ)償?shù)倪^程,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)左右齒面負(fù)載均衡.圖7中的誤差角γ=18.6″為未修形齒面極限誤差角,從圖7(a)中可以看出,在此誤差角下,接觸點(diǎn)跡已經(jīng)基本到達(dá)有效齒面的邊界,當(dāng)誤差角進(jìn)一步增大時(shí),齒面將無(wú)法嚙合.圖7(c)為此誤差角下修形齒面接觸點(diǎn)跡,對(duì)比修形前后接觸點(diǎn)跡,可以充分證明齒面的優(yōu)化修形有效降低了誤差敏感性;圖7(b)、(d) 、(e)、(f) 、(g)中的計(jì)算結(jié)果都是在γ=18.6″時(shí),左右齒軸向力達(dá)到平衡后得到的.圖7(b)、(d)分別為修形前后,有誤差角條件下的左右齒面載荷分布.從圖中可以看出,軸向竄動(dòng)對(duì)修形齒面和未修形齒面都能起到均布載荷的作用,但是對(duì)比圖7(b)、(d)仍然能夠發(fā)現(xiàn),修形后的齒面載荷分布更均勻,齒面修形與主動(dòng)輪浮動(dòng)安裝相互補(bǔ)充,共同促進(jìn)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)平穩(wěn);圖7(e)給出了修形前后,有誤差角條件下,承載傳動(dòng)誤差幅值對(duì)比,從圖中可以看出,有誤差角條件下,修形后的承載傳動(dòng)誤差幅值依然大幅下降,對(duì)比結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了優(yōu)化參數(shù)對(duì)降低承載傳動(dòng)誤差幅值的有效性;圖7(f)、(g)給出了誤差條件下的齒面閃溫對(duì)比和摩擦系數(shù)對(duì)比,結(jié)果表明:有誤差條件下,修形齒面依然可以顯著提高內(nèi)嚙合人字齒輪傳動(dòng)的抗膠合能力,進(jìn)一步驗(yàn)證了優(yōu)化修形參數(shù)是優(yōu)良的.

(a)修形前齒面接觸點(diǎn)跡

(c)修形后齒面接觸點(diǎn)

(e)修形后幾何傳動(dòng)誤差

(g)修形前后齒面平均閃溫對(duì)比

(b)修形前齒面載荷分布

(d)修形后齒面載荷分布

(f)修形前后承載傳動(dòng)誤差幅值對(duì)比

(h)修形前后齒面摩擦系數(shù)對(duì)比

(a)修形前齒面接觸點(diǎn)跡

(b)修形前齒面載荷分布

(c)修形后齒面接觸點(diǎn)跡

(d)修形后齒面載荷分布

(e)修形前后承載傳動(dòng)誤差對(duì)比

(f)修形前后閃溫結(jié)果對(duì)比

(g)修形前后平均摩擦系數(shù)對(duì)比

Fig.7 Comparisons of results between theoretical tooth and crowned tooth with misalignment error γ=18.6″

5 結(jié) 論

1)結(jié)合TCA、LTCA和遺傳優(yōu)化算法,得到了齒面的精確修形參數(shù).優(yōu)化后的嚙合齒面仿真結(jié)果表明,修形后,承載傳動(dòng)誤差幅值大幅下降,膠合危險(xiǎn)區(qū)域(嚙入?yún)^(qū))閃溫明顯降低,同時(shí)有效避免了邊緣接觸,使得齒面受載均勻;

2)當(dāng)齒輪軸線由于受載變形、制造誤差或安裝誤差產(chǎn)生偏斜時(shí),通過三維修形可以有效地減小齒輪嚙合對(duì)誤差的敏感性,避免產(chǎn)生過大的偏載;

3)當(dāng)齒輪軸線發(fā)生偏斜時(shí),主動(dòng)輪軸向竄動(dòng),使左右齒面間隙相互補(bǔ)償,齒面修形與主動(dòng)輪浮動(dòng)安裝相互補(bǔ)充,使得左右齒面載荷逐步趨于相等,保證了齒輪嚙合過程的平穩(wěn);

4)本文提出的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法考慮了彈性支撐軸變形的影響,仿真優(yōu)化模型更進(jìn)一步貼近齒輪實(shí)際工作條件,是高速齒輪修形設(shè)計(jì)的有效手段.

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GAO Chuangkuan.Study of involute gearing mixed elastohydrodynamic lubrication [D].Taiyuan:Taiyuan University of Technology, 2005.

(編輯 楊 波)

Multi-objective optimal modification for internal double helical gears with high speed

JIA Chao, FANG Zongde, ZHANG Yongzhen

(School of Mechanical Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

To improve the meshing performance of internal double helical gear with high speed, a multi-objective optimal design approach considering the influences of deformation of elastic shaft is proposed.The load distribution on tooth contact line and tooth deformation in a meshing period are got by the tooth contact analysis and loaded tooth contact analysis.The local friction coefficients of discrete points on tooth contact line are determined by the regression equation which is based on the mixed elastohydrodynamic lubrication model, and then the Blok’s basic equation is used to get the surface flash temperature with high speed.After that, applying the genetic optimization algorithm, the tooth modification values are determined to optimize the amplitude of loaded transmission error, flash temperature and load distribution.The calculation is illustrated by a numerical instance.The results show that with and without misalignment error, after the tooth modification, both ALTEs decline significantly, and the surface flash temperature obviously decreases at the coming into and out of contact zones.Meanwhile, the edge contact is avoided, and both the load distributions are improved.The calculation results of the proposed optimization design method are reliable, and the method presented is an effective means for tooth dressing of high speed gear drives.

internal double helical gears; high speed; modified surface; loaded transmission error; flash temperature; even load distribution

10.11918/j.issn.0367-6234.2017.01.025

2015-09-01

國(guó)家自然科學(xué)基金 (51175423,51375384)

賈 超(1985—),男,博士研究生; 方宗德(1948—),男,教授,博士生導(dǎo)師; 張永振(1963—),男,教授,博士生導(dǎo)師

賈 超,jiachao8507@163.com

TH132

A

0367-6234(2017)01-0166-07

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