徐松海

[摘 要] 數(shù)形結(jié)合思想是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，本文結(jié)合調(diào)查研究，分析了該思想在初中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)現(xiàn)狀及原因，并結(jié)合實踐給出教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；教學(xué)現(xiàn)狀；教學(xué)建議

數(shù)形結(jié)合不僅是一種數(shù)學(xué)問題的處理方法，更是一種常規(guī)的數(shù)學(xué)思想. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)注學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，因為其有助于發(fā)展學(xué)生的問題解決能力，能促成學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，提升他們的綜合素養(yǎng)，那么，該思想的實際教學(xué)情況如何呢？以下是筆者的調(diào)研和思考.

初中數(shù)學(xué)課堂中數(shù)形結(jié)合思想

的教學(xué)現(xiàn)狀概述

針對數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的具體情況，筆者以問卷調(diào)查和訪談的方式對此進行了調(diào)研，得出以下結(jié)果.

1. 教師層面的調(diào)查結(jié)果說明

（1）有相當(dāng)一部分教師沒有充分意識到數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要意義，因此課堂上極不重視該思想的教學(xué)滲透.

（2）絕大部分教師只有在進行習(xí)題教學(xué)時，才會將數(shù)形結(jié)合思想作為一種解題方法進行使用，他們并不注重在新授課教學(xué)時幫助學(xué)生培養(yǎng)這一思想.

（3）有一部分初中教師已經(jīng)認(rèn)識到數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)生記憶和理解某些數(shù)學(xué)知識難點時的優(yōu)勢，并積極指導(dǎo)學(xué)生熟悉相應(yīng)操作，促成學(xué)生學(xué)習(xí)效率的提升.

（4）初中數(shù)學(xué)教師在對學(xué)生進行方法教學(xué)時，對方法的選擇具有很強的靈活性：當(dāng)某些問題既可以從代數(shù)角度進行處理又可以用幾何方法進行解決時，大部分教師為了有效拓展學(xué)生的思維，往往兩種方法都予以介紹；當(dāng)然也有部分教師純粹從解題便捷的角度出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生以最簡單的方法來處理問題.

（5）初中數(shù)學(xué)教師大多能全面地領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合思想的基本內(nèi)涵，而且充分認(rèn)識到數(shù)形結(jié)合思想的運用能幫助學(xué)生對問題進行簡潔化與具體化，進而優(yōu)化問題.

2. 學(xué)生層面的調(diào)查結(jié)果說明

（1）學(xué)生雖然已經(jīng)逐步形成運用數(shù)形結(jié)合思想來對數(shù)學(xué)知識進行理解和記憶的基本意識，但其實際運用能力還有待提升.

（2）絕大多數(shù)學(xué)生都有運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的意識，也有極少數(shù)學(xué)生這一方面的意識有待加強.

（3）學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想內(nèi)涵的理解還比較片面和狹隘，絕大部分學(xué)生局限于“以形助數(shù)”這一方面的認(rèn)識，即通過圖像來解決代數(shù)問題，而對該思想的另一方面“以數(shù)助形”，學(xué)生的認(rèn)識尚有欠缺.

（4）在“以形助數(shù)”方面，學(xué)生作圖的規(guī)范性有待強化，在“以數(shù)助形”方面，學(xué)生從圖形中“尋找”數(shù)的能力要強于從圖形中“構(gòu)造”數(shù)的能力.

基于教學(xué)現(xiàn)狀的思考

基于對教學(xué)現(xiàn)狀的調(diào)查分析，筆者有以下幾點想法.

1. 教師自身對該思想有著較為深刻而全面的認(rèn)識，但是教學(xué)中卻略顯片面，主要原因有以下幾點：（1）作為數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)性思想，數(shù)形結(jié)合幾乎滲透在初中數(shù)學(xué)的每一個階段，它作為一種隱形的存在，離散而瑣碎，沒有嚴(yán)格的體系化，學(xué)生也只能在教師零碎的教學(xué)中結(jié)合自己的運用逐步形成有關(guān)認(rèn)識；（2）以人教版的數(shù)學(xué)教材為例，課本上的內(nèi)容和知識點側(cè)重于“以形助數(shù)”的方法運用，而“以數(shù)助形”的出現(xiàn)頻率明顯偏低.

2. 教師雖然認(rèn)識到數(shù)形結(jié)合思想在學(xué)生理解和內(nèi)化數(shù)學(xué)知識中的重要性，但是很多時候依然將該思想定格為解題方法，在數(shù)學(xué)理論新授課時不予以方法上的引導(dǎo)，以致學(xué)生對該思想的運用思路較為單一，理解也比較狹隘.

3. 絕大多數(shù)學(xué)生重視“以形助數(shù)”的操作，忽視“以數(shù)助形”的方法運用，其原因有以下兩點：（1）“以形助數(shù)”將抽象的代數(shù)問題以具體而直觀的圖像進行呈現(xiàn)，為學(xué)生問題的理解和解決帶來很大便利，該方法的優(yōu)勢提供給學(xué)生“形”優(yōu)于“數(shù)”的假象，以致他們忽視“數(shù)”在計算和邏輯推理方面的強大作用，進而導(dǎo)致他們“以數(shù)助形”意識的淡薄；（2）在平常的練習(xí)過程中，“以形助數(shù)”的問題比“以數(shù)助形”的問題多，以致學(xué)生前一方面的能力在頻繁訓(xùn)練中不斷提升，相反，后一方面的能力就有所欠缺.

4. 學(xué)生作圖不夠規(guī)范的原因在于他們平常的習(xí)慣不到位，“以數(shù)助形”能力發(fā)展不均衡，特別是學(xué)生由圖構(gòu)造數(shù)的能力偏弱，關(guān)鍵在于這一能力對間接思維的要求較高，這些問題需要教師在教學(xué)中不斷地予以強調(diào)和指導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生做出調(diào)整，實現(xiàn)提升.

教學(xué)建議

結(jié)合調(diào)研中的問題發(fā)現(xiàn)和思考，筆者認(rèn)為我們的教學(xué)要從以下幾個方面進行改進.

1. 隱形滲透和系統(tǒng)介紹相結(jié)合

作為一種思想教學(xué)和意識培養(yǎng)，潛移默化地進行滲透性教學(xué)是常規(guī)做法，但是考慮到初中生對方法的自我歸納能力不足，筆者認(rèn)為在隱性滲透的同時，教師也要將數(shù)形結(jié)合思想進行顯化處理，對學(xué)生進行系統(tǒng)介紹，讓學(xué)生形成全面而深刻的認(rèn)識.

例如在“一次函數(shù)”的教學(xué)過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生從特殊的一次函數(shù)圖像著手探究，最終形成對一般化的一次函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識. 此時，筆者并沒有讓學(xué)生停下發(fā)現(xiàn)的腳步，而是啟發(fā)學(xué)生進一步發(fā)掘函數(shù)圖像的特征，最終形成認(rèn)識：對于兩個一次函數(shù)y=k1x+b1和y=k2x+b2，當(dāng)k1=k2且b1≠b2時，兩條直線平行；反之，如果兩條直線平行，那么它們所對應(yīng)的函數(shù)解析式必然存在k1=k2且b1≠b2 . 學(xué)生的認(rèn)識不應(yīng)該止步于此，筆者引導(dǎo)學(xué)生進行總結(jié)：前者屬于由“數(shù)”到“形”，后者屬于由“形”到“數(shù)”，它們屬于數(shù)形結(jié)合思想的兩個方面，由此讓學(xué)生對該思想的形成有更加全面的認(rèn)識.

2. 在知識形成過程中滲透思想教學(xué)

教師不能局限于將數(shù)形結(jié)合思想運用于解題，而應(yīng)該在新課教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生在體驗知識的形成過程中，感悟該思想方法的存在，由此啟發(fā)學(xué)生利用這一思想來深化對規(guī)律和概念的理解.

例如，在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過運用消元法處理二元一次方程組的問題之后，教材還安排學(xué)生結(jié)合一次函數(shù)來處理二元一次方程組的問題. 筆者在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)這一內(nèi)容時，并沒有照本宣科，而是同時運用“數(shù)”與“形”的方法來幫助學(xué)生剖析方程解法的實質(zhì)，讓學(xué)生明白：消元法屬于“數(shù)”的方法，從圖像的角度來理解它，其實就是兩個一次函數(shù)圖像的交點. 由此，學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩個不同的側(cè)面深刻理解了方程組解法的實質(zhì). 如果教師能在新課教學(xué)中經(jīng)常讓學(xué)生體驗知識的形成過程，感悟數(shù)形結(jié)合思想在其中的運用，那么這不僅有助于學(xué)生領(lǐng)會對應(yīng)的知識，也有助于他們思想方法的培養(yǎng).

3. 展示過程引導(dǎo)與培養(yǎng)學(xué)生的構(gòu)造能力

針對學(xué)生“以數(shù)助形”能力的缺陷，教師在實際教學(xué)中要注重為學(xué)生展示從圖像中構(gòu)造數(shù)的基本過程和相關(guān)方法，從而讓學(xué)生在模仿中對構(gòu)造能力進行培養(yǎng)，最終促成他們數(shù)形結(jié)合思想的系統(tǒng)化培養(yǎng).

例如，如圖1，在正方形ABCD中，先過其頂點C畫一條直線，該直線與AB，AD的延長線的交點分別為點E和點F，求證：AF+AE≥4AB.

分析 這是一道典型的幾何問題，問題情境圍繞圖形來搭建，可用條件較少，筆者引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過觀察和對比，啟發(fā)學(xué)生構(gòu)建輔助線，然后通過面積相等這一等量關(guān)系，構(gòu)建方程，將其轉(zhuǎn)變?yōu)椤皵?shù)”的問題，最終實現(xiàn)證明.

證明 （構(gòu)建輔助線）連接AC，設(shè)AE=a，AF=b，AB=c，且根據(jù)△AEF的面積等于△ACF與△ACE的面積之和，再結(jié)合三角形的面積計算公式，有結(jié)論AE·AF=AF·CD+AE·BC；又由于正方形的四邊相等，即AB=CD=BC=c，所以有ab=（a+b）c. a，b可以看成是一元二次方程x2-（a+b）x+ab=0的兩根，因為Δ≥0，即（a+b）2-4ab≥0，所以（a+b）2≥4ab. 將ab=（a+b）c代入上式并化簡后得a+b≥4c，因此AF+AE≥4AB.

在上述問題的求解中，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注從圖形來建構(gòu)“數(shù)”的整個思維過程，要啟發(fā)學(xué)生思考“怎么做”和“為什么這么做”兩個問題. 化簡上述方程的過程中出現(xiàn)了ab=（a+b）c，這一等式同時出現(xiàn)兩數(shù)之和與兩數(shù)之積，因此教師要善于引導(dǎo)學(xué)生將其聯(lián)想到一元二次方程，同時結(jié)合待證明結(jié)論中兩數(shù)之和與某數(shù)值四倍的大小對比，根的判別式有關(guān)結(jié)論就會浮出水面，進而層層推進完成證明過程. 在問題處理過程中，教師不僅要啟發(fā)學(xué)生參與“數(shù)”的構(gòu)造過程，更要和學(xué)生探討思路的來龍去脈，從而引導(dǎo)學(xué)生對過程與方法進行內(nèi)化，提升他們“以數(shù)助形”的思維能力.