黃懷緯 張永強(qiáng),2 韓強(qiáng)

(1.華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院， 廣東 廣州 510640； 2.廣州打撈局， 廣東 廣州 510260)

靜水壓荷載下功能梯度圓環(huán)的彈性屈曲*

黃懷緯1張永強(qiáng)1,2韓強(qiáng)1

(1.華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院， 廣東 廣州 510640； 2.廣州打撈局， 廣東 廣州 510260)

管道屈曲問題中，結(jié)構(gòu)通常被考慮為平面應(yīng)力圓環(huán)，但若存在軸向位移約束，其狀態(tài)更接近平面應(yīng)變圓環(huán)的狀態(tài).文中從理論上研究靜水壓作用下平面應(yīng)力和平面應(yīng)變功能梯度材料圓環(huán)的彈性屈曲問題.假定材料沿厚度方向彈性物性按照冪律分布連續(xù)變化，結(jié)合一階剪切變形理論和Kárman幾何關(guān)系，應(yīng)用虛位移原理，導(dǎo)出結(jié)構(gòu)的基本平衡方程；采用本征值方法得到了屈曲控制方程和結(jié)構(gòu)屈曲臨界荷載的解析解.通過算例比較了平面應(yīng)力和平面應(yīng)變狀態(tài)下結(jié)構(gòu)理論屈曲性能，同時(shí)考察了結(jié)構(gòu)徑厚比和材料組分參數(shù)的影響.結(jié)果表明：平面應(yīng)變功能梯度材料圓環(huán)屈曲臨界荷載略高于平面應(yīng)力的結(jié)果；當(dāng)材料組分參數(shù)介于0.1至10區(qū)間內(nèi)時(shí)，兩種圓環(huán)的屈曲臨界荷載均下降得較為明顯.

功能梯度材料；圓環(huán)；屈曲；虛位移原理

1984年日本學(xué)者提出了功能梯度材料(FGMs)[1]，它是一種新型的陶瓷/金屬共混復(fù)合材料.這一材料具有連續(xù)過渡的材料物性，能有效緩解由于物性不連續(xù)引發(fā)的應(yīng)力集中現(xiàn)象，避免了材料的斷裂和脫層破壞.

圓環(huán)結(jié)構(gòu)作為海底油氣管道及潛艇的基礎(chǔ)力學(xué)模型，其在靜水壓下的穩(wěn)定性能備受關(guān)注.早期相關(guān)的研究主要是Timoshenko等[2]針對彈性薄圓環(huán)結(jié)構(gòu)線性屈曲問題提出的理論解析解.Flaherty等[3]和Hodges等[4]則引入幾何非線性效應(yīng)，建立了勻質(zhì)圓環(huán)非線性大變形理論，并研究了圓環(huán)的后屈曲大變形問題.此外，在復(fù)合材料圓環(huán)屈曲方面，Kim等[5]針對疊層復(fù)合材料圓環(huán)提出了結(jié)構(gòu)的屈曲臨界荷載的解析解.

近20年來，針對FGM梁、板、殼等結(jié)構(gòu)的力學(xué)研究層出不窮，特別是在結(jié)構(gòu)彈性屈曲研究領(lǐng)域已取得諸多成果[6- 11].對于FGM圓環(huán)，Kerdegarbakhsh等[12]討論了平面應(yīng)力狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的后屈曲行為.盡管如此，對于FGM圓環(huán)結(jié)構(gòu)屈曲問題的研究仍不多見.文中以FGM圓環(huán)為研究對象，比較了平面應(yīng)力和平面應(yīng)變狀態(tài)下FGM圓環(huán)的屈曲性能，同時(shí)考察了結(jié)構(gòu)的徑厚比和材料的組分參數(shù)對結(jié)構(gòu)屈曲性能的影響.

1 問題描述

考慮FGM圓環(huán)結(jié)構(gòu)的面內(nèi)屈曲問題，結(jié)構(gòu)厚度為h，中面半徑為R，r和θ表示徑向和圓環(huán)坐標(biāo)軸，z為厚度方向上的坐標(biāo)軸，x軸則指向圓環(huán)平面的法向方向，如圖1所示.坐標(biāo)系原點(diǎn)位于圓環(huán)中面，因此有z=r-R.

FGMs是由陶瓷相和金屬兩相共混復(fù)合而成的新材料，其組分比在厚度方向上是變化的，使得其材料物理性質(zhì)也在厚度方向上有所不同.為了描述陶瓷/金屬共混材料的材料物性，通?？梢圆捎镁€性混合律[7].這是一種簡單實(shí)用的方法，其將FGMs的彈性模量和泊松比取為各相屬性的權(quán)平均，即

圖1 FGM圓環(huán)的尺寸參數(shù)及坐標(biāo)系統(tǒng)

(1)

式中,E、ν、φ分別表示彈性模量、泊松比和組分體積分?jǐn)?shù)，下標(biāo)c,m分別對應(yīng)陶瓷相和金屬相材料.

假設(shè)陶瓷組分的體積分?jǐn)?shù)滿足冪率分布特征[13]，同時(shí)假設(shè)陶瓷和金屬混合材料不含任何孔隙，可以給出陶瓷相和金屬相組分體積分?jǐn)?shù)φc、φm滿足以下關(guān)系：

(2)

其中：k為材料組分參數(shù)，它表征了組分材料的空間分布情況或材料的不均勻程度；z=0對應(yīng)于材料中面，z=±h/2對應(yīng)于材料的陶瓷表面和金屬表面，即各材料點(diǎn)位置位于-h/2≤z≤h/2的范圍內(nèi).通過變化材料組分參數(shù)，F(xiàn)GM中各組分體積分?jǐn)?shù)沿厚度連續(xù)變化，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)物性的連續(xù)過渡.

2 公式推導(dǎo)

2.1 材料本構(gòu)關(guān)系

材料的本構(gòu)模型可寫成

(3)

管道屬于長圓柱殼結(jié)構(gòu)，根據(jù)管道固定方式不同，可以將管道簡化為兩種極端的力學(xué)模型，即平面應(yīng)力圓環(huán)和平面應(yīng)變圓環(huán).對于平面應(yīng)變圓環(huán)有εxx=0，對于平面應(yīng)力圓環(huán)有σxx=0，式(3)均可簡化為

(4)

其中,

2.2 剪切變形理論

圓環(huán)結(jié)構(gòu)的非線性幾何關(guān)系為[14]

(5)

這一關(guān)系是Von-Kárman類型的應(yīng)變-位移關(guān)系，下標(biāo)中逗號表示偏導(dǎo)數(shù).根據(jù)一階剪切變形理論，環(huán)向位移V(θ,z)和徑向位移W(θ,z)由下式給定:

(6)

其中，v(θ)、w(θ)分別為中面環(huán)向和徑向的位移，φ(θ)為中面轉(zhuǎn)角.一般來說，r≈R且z/R?1，同時(shí)φ小于徑向位移w所引起的轉(zhuǎn)角，即w′/R，因此應(yīng)變分量可表示為

(7)

圓環(huán)環(huán)向內(nèi)力和剪力N、Q以及內(nèi)力矩M由下式給出:

(8)

其中，Ks為剪切矯正因子，根據(jù)一階剪切變形理論，可取值為5/6.

將式(7)代入(8)得到

(9)

2.3 平衡方程

圓環(huán)的虛內(nèi)能δUin表示為

(10)

其中，b為圓環(huán)沿x方向上的厚度，若圓環(huán)外部壓力方向總是垂直于變形后的圓環(huán)法向，即外部荷載為靜水壓力q，則由于外力所引起的虛勢能(負(fù)虛功)δUex[15]可表示為

(11)

根據(jù)虛位移原理，系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，虛勢能δU必須為零，結(jié)合式(10)和(11)有

(12)

上述方程在任意虛位移δw,δv,δφ的情況下均必須滿足F=0，因此，通過分部積分的處理方法，可以得到圓環(huán)的基本平衡方程.

(13)

其中，求導(dǎo)符號“′”表示對變量θ求導(dǎo)數(shù).由于圓環(huán)環(huán)向閉合的周期條件，分部積分所產(chǎn)生的全積分項(xiàng)必須滿足以下關(guān)系：

(14)

2.4 屈曲控制方程

將圓環(huán)位移、內(nèi)力、內(nèi)力矩及剪力化為前屈曲量與屈曲量的疊加.

(15)

由此，F(xiàn)GM圓環(huán)的屈曲控制方程可以寫成

(15)

將式(7)第二式和式(9)寫成屈曲位移增量形式，得到內(nèi)力、剪力、內(nèi)力矩的增量表達(dá)式

(16)

將式(16)代入式(15)，且忽略非線性項(xiàng)的影響，則給出了以屈曲位移增量表示的線性屈曲控制方程.

(17)

3 屈曲分析

假設(shè)圓環(huán)的屈曲位移增量寫成如下形式：

(18)

其中，ξw、ξv、ξφ分別為屈曲位移的幅值，n為屈曲波形參數(shù).將式(18)代入式(17)得到關(guān)于ξw、ξv、ξφ的線性方程組:

(19)

其中：

(20)

將上式退化為勻質(zhì)彈性圓環(huán)的情況，并忽略小項(xiàng)2(1+ν)(h/R)2的影響，可得

(21)

4 算例及結(jié)果

該部分計(jì)算選用溫度T=300K下Si3N4/SUS304FGM[7]的材料屬性，其組分材料的材料屬性為Ec=348.43GPa,Em=201.04GPa,νc=0.240,νm=0.326.

設(shè)定材料組分參數(shù)k=1，表1給出了徑厚比(R/h)在100至500區(qū)間內(nèi)FGM圓柱殼的平面應(yīng)力和平面應(yīng)變狀態(tài)下的彈性屈曲臨界荷載.將表1的數(shù)據(jù)繪于圖2，可以看出，平面應(yīng)變結(jié)果普遍略高于平面應(yīng)力的結(jié)果，同時(shí)，F(xiàn)GM圓柱殼的屈曲臨界荷載隨著徑厚比R/h的增大顯著降低.

表1 不同徑厚比FGM圓環(huán)的屈曲臨界荷載

Table 1 Critical load of FGM rings with different radius-to-thickness ratioskPa

圖2 不同徑厚比FGM圓環(huán)的屈曲臨界荷載曲線

Fig.2 Critical load curves of FGM rings with different radius-to-thickness ratios

選定徑厚比R/h為100和200，材料組分參數(shù)k在0至100區(qū)間內(nèi)變化.圖3中，由FGM圓環(huán)的彈性屈曲臨界荷載隨組分參數(shù)k的變化可見，F(xiàn)GM圓環(huán)的彈性屈曲臨界荷載隨著組分參數(shù)的增大而單調(diào)遞減，這說明，陶瓷含量較大的FGM圓環(huán)將具有較大的屈曲臨界荷載.圖3中顯示，平面應(yīng)變的結(jié)果略高于平面應(yīng)力的結(jié)果.

圖3 組分參數(shù)對FGM圓環(huán)屈曲臨界荷載的影響

Fig.3 Effects of the inhomogeneous parameter on the buckling critical load of FGM rings

5 結(jié)論

文中針對靜水壓作用下平面應(yīng)力和平面應(yīng)變FGM圓環(huán)的彈性屈曲問題，推導(dǎo)得到了結(jié)構(gòu)屈曲臨界荷載的解析表達(dá)式，理論結(jié)果表明：平面應(yīng)變狀態(tài)下FGM圓環(huán)的屈曲臨界荷載略高于平面應(yīng)力的結(jié)果；隨著徑厚比的增大，F(xiàn)GM圓柱殼的屈曲臨界荷載顯著降低，而隨著組分參數(shù)的增大，即FGMs中陶瓷組分含量的減小，屈曲臨界荷載逐漸減小，在組分參數(shù)介于0.1至10的區(qū)間內(nèi)下降較為明顯.

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Elastic Buckling of Functionally Graded Rings Under Hydrostatic Pressure

HUANGHuai-wei1ZHANGYong-qiang1,2HANQiang1

(1.School of Civil Engineering and Transportation, South China University of Technology, Guangzhou 510640, Guangdong,China; 2. Guangzhou Salvage Bureau, Guangzhou 510260, Guangdong, China)

In the buckling issue of pipelines, the structure is usually considered as a plane stress ring, but if there exists axial displacement constrain, the status may be closer to the status of a plane strain ring. In this paper, the elastic buckling problem of the plane-stress and plane-strain functionally graded material rings under hydrostatic pressure is theoretically investigated. It is assumed that the elastic material properties along the thickness direction continually changes according to the power law distribution. In this case, by combining the first shear deformation theory and the Kárman geometry relation and by employing the virtual displacement principle, a basic equilibrium equation of structures is deduced. Then, the buckling governing equation and the analytic solution to the structural buckling critical load are obtained by means of the eigenvalue method.Finally, the theoretical buckling perfor-mances of the structure in the plane-stress and plane-strain states are compared, and the influences of the structural radius-to-thickness ratio and the material constituent parameter on the performance are discussed. The results show that the buckling critical load of the plane-stain functionally graded material ring is slightly higher than that of the plane-stress case, and that as the inhomogeneous parameter of the material ranges from 0.1 to 10, the buckling criti-cal loads of the two kinds of rings decrease more obviously.

functionally graded materials;rings; buckling; virtual displacement principle

2016- 03- 22

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11402093)；機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題項(xiàng)目(SV2016-KF-08)；華南理工大學(xué)中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2015ZZ130) Foundation item: Supported by the National Natural Science Edition of China(11402093)

黃懷緯(1979-)，男，博士，副教授，主要從事復(fù)合材料力學(xué)研究.E-mail:cthwhuang@scut.edu.cn

1000- 565X(2016)10- 0065- 05

O 343.9

10.3969/j.issn.1000-565X.2016.10.010