仲冠宇, 王瑞和, 周衛(wèi)東, 陳貴春, 萬春浩

(中國石油大學(xué)石油工程學(xué)院,山東青島 266580)

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一水力深穿透射孔對(duì)壓裂裂縫形態(tài)影響的數(shù)值模擬

仲冠宇, 王瑞和, 周衛(wèi)東, 陳貴春, 萬春浩

(中國石油大學(xué)石油工程學(xué)院,山東青島 266580)

基于各向異性彈性力學(xué),結(jié)合流體力學(xué)理論,建立水力深穿透射孔條件下各向異性地層中垂直裂縫擴(kuò)展的力學(xué)模型,基于最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則建立裂縫擴(kuò)展路徑的計(jì)算方法,利用牛頓迭代法求解數(shù)值模型,并通過算例驗(yàn)證模型及求解方法的正確性。結(jié)果表明:裂縫轉(zhuǎn)向半徑隨著射孔長度及射孔角度的增加而增大,隨著壓裂液黏度及排量的增加而增大;對(duì)稱布孔方式優(yōu)于單側(cè)布孔方式,裂縫轉(zhuǎn)向半徑隨著彈性模量各向異性差值的增加而增大,隨著彈性模量的增大而增加。

水力深穿透射孔; 水力壓裂; 裂縫擴(kuò)展形態(tài); 彈性模量; 各向異性

水力深穿透射孔技術(shù)是一項(xiàng)新的油氣井增產(chǎn)技術(shù)[1-3],其工作原理是在套管開小窗后利用水力鉆頭的高壓射流實(shí)現(xiàn)徑向鉆孔及水平鉆進(jìn),形成水平孔眼。與常規(guī)射孔技術(shù)相比,水力深穿透射孔技術(shù)所形成的孔眼深度大、孔徑大,降低了射孔壓實(shí)作用,有利于引導(dǎo)裂縫發(fā)展及油氣井增產(chǎn),因此在水力壓裂領(lǐng)域中具有廣闊的應(yīng)用前景。裂縫形態(tài)是影響油氣井單井產(chǎn)能的重要因素,而孔眼形態(tài)對(duì)裂縫的發(fā)展形態(tài)有重要的影響作用,如何優(yōu)化水力深穿透射孔參數(shù),引導(dǎo)裂縫發(fā)展,對(duì)油氣井增產(chǎn)效果意義重大。不少學(xué)者針對(duì)射孔對(duì)裂縫發(fā)展形態(tài)的影響展開了研究。Jeffery等[4-6]通過室內(nèi)試驗(yàn)研究了孔眼形態(tài)對(duì)裂縫形態(tài)的影響規(guī)律,但由于模型尺寸較小,難以應(yīng)用于實(shí)際。也有學(xué)者[7-11]通過數(shù)值模擬方法分析了射孔對(duì)裂縫發(fā)展形態(tài)的影響,但是研究均從各向同性彈性力學(xué)出發(fā),限制了研究成果的適用性,而且針對(duì)水力深穿透射孔技術(shù)所形成的深孔眼條件下的研究基本未涉及。鑒于此,筆者在前人研究的基礎(chǔ)上,依據(jù)各向異性彈性力學(xué)、流體力學(xué)等基本理論,建立各向異性地層中水力深穿透射孔條件下垂直裂縫發(fā)展形態(tài)的計(jì)算模型,并研究裂縫形態(tài)的影響因素,為水力深穿透射孔技術(shù)在壓裂作業(yè)中的應(yīng)用提供理論指導(dǎo)。

1 水力深穿透射孔條件下裂縫擴(kuò)展模型的建立

1.1 物理模型及基本假設(shè)

水力深穿透射孔技術(shù)可形成大直徑深孔。在孔眼的引導(dǎo)作用下,壓裂裂縫沿孔眼起裂并擴(kuò)展,形成雙翼彎曲縫?？紤]水力深穿透射孔技術(shù)在直井中應(yīng)用較多,為深入研究孔眼形態(tài)對(duì)近井壁裂縫形態(tài)的影響,沿水平方向截取單位厚度的地層為研究對(duì)象,建立水力深穿透射孔條件下直井垂直裂縫擴(kuò)展的平面應(yīng)變模型,如圖1所示。射孔方向與最大主應(yīng)力的夾角為β,水平最大主應(yīng)力為σH,水平最小主應(yīng)力為σh。

圖1 模型示意圖

為降低模型的復(fù)雜程度,假設(shè):壓裂液為不可壓縮牛頓流體,其壓力在高度方向上保持不變;不考慮巖石及壓裂液溫度對(duì)裂縫發(fā)展形態(tài)的影響;水泥環(huán)第一界面、第二界面膠結(jié)良好。

1.2 基本方程

(1)裂縫寬度表達(dá)式?？紤]裂縫邊界單元,令相對(duì)位移Δuj=uj(C+)-uj(C-),根據(jù)邊界元方法可以得到各向異性地層中裂縫面間的相對(duì)位移與應(yīng)力的關(guān)系[12-14]為

(1)

式中,Csdik為剛度矩陣單元,具體內(nèi)容見文獻(xiàn)[15];Tij為拉力的核函數(shù);nd為裂縫面外法線與α方向夾角的余弦;φm,l為第m個(gè)裂縫單元第l個(gè)節(jié)點(diǎn)的二次插值函數(shù);NC為裂縫單元個(gè)數(shù);pw,s為第w個(gè)裂縫單元s方向上的遠(yuǎn)場(chǎng)地應(yīng)力和縫內(nèi)壓力的合力;Δuml,j為第m個(gè)裂縫單元上下表面在第l個(gè)節(jié)點(diǎn)處j方向上的相對(duì)位移。

(2)壓降方程。對(duì)于牛頓型流體,壓降方程[16]為

(2)

式中,p為縫內(nèi)壓力;q為縫內(nèi)流量;h為裂縫高度;μ為流體黏度;wf為裂縫寬度。

(3)連續(xù)性方程。當(dāng)壓裂液流體通過裂縫的某一裂縫單元時(shí),根據(jù)質(zhì)量守恒原則,得

Vflow=ΔV+Vleak.

(3)

其中

式中,Vflow為裂縫單元的流量變化;ΔV為裂縫單元的體積變化;Vleak為濾失體積;l為裂縫單元長度;Cl為濾失系數(shù);ts(x)為縫長x位置處壓裂液開始濾失的時(shí)間。

2 水力深穿透射孔條件下裂縫擴(kuò)展數(shù)值模型的求解

2.1 各向異性地層中裂縫擴(kuò)展路徑計(jì)算

各向異性材料裂縫尖端應(yīng)力場(chǎng)計(jì)算公式與各向同性材料存在很大差別,故基于各向同性力學(xué)所推導(dǎo)的裂縫擴(kuò)展路徑計(jì)算方法并不適用于各向異性地層中,本文中基于各向異性彈性力學(xué)建立各向異性地層中裂縫擴(kuò)展路徑的求解方法。

對(duì)于各向異性材料,應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ和KⅡ可通過裂縫尖端的相對(duì)位移Δu1和Δu2求解[17],即

(4)

其中

式中,μ1、μ2、A11、A12、A21和A22為各向異性彈性體相關(guān)的材料參數(shù)[15,18]。

裂縫尖端應(yīng)力場(chǎng)可用應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ和KⅡ表示為

(5)

(6)

(7)

式中,σx′、σy′和τx′y′為以裂尖擴(kuò)展方向?yàn)閤′軸的局部坐標(biāo)系下的應(yīng)力;θ和r分別為任意一點(diǎn)距裂尖的極角和極徑。

極坐標(biāo)條件下裂縫尖端的周向應(yīng)力可表示為

σθ(θ)=σx′sin2θ-2τx′y′sinθcosθ+σy′cos2θ.

(8)

根據(jù)最大周向應(yīng)力理論,裂縫的擴(kuò)展角度為周向應(yīng)力達(dá)最大值的方向,因此可將擴(kuò)展路徑的求解問題轉(zhuǎn)換為最優(yōu)化問題,即

(9)

根據(jù)所求解的最大周向應(yīng)力的方位角,可求出裂縫的等效應(yīng)力強(qiáng)度因子的近似解[19-20],即

(10)

式中,σθ為最大周向應(yīng)力;Ke為等效應(yīng)力強(qiáng)度因子。

根據(jù)斷裂力學(xué),當(dāng)裂縫尖端的等效應(yīng)力強(qiáng)度因子大于巖石的Ⅰ型斷裂韌性時(shí),裂縫開始擴(kuò)展[21],由此可建立各向異性地層中裂縫擴(kuò)展的判斷準(zhǔn)則,即

Ke≥KIc.

(11)

式中,KIc為巖石的Ⅰ型斷裂韌性。

2.2 基本方程的離散化處理

式(1)可改寫為

(12)

由于矩陣Ass和Ann為可逆矩陣,化簡(jiǎn)式(12)可得到裂縫寬度與遠(yuǎn)場(chǎng)地應(yīng)力、縫內(nèi)壓力的關(guān)系式為

w=M-1N,

(13)

(14)

(15)

根據(jù)式(2)可求得壓降與流量的關(guān)系方程為

(16)

式中，qi,i+1為第i個(gè)裂縫單元流入第i+1個(gè)裂縫單元的流量。

式(3)可簡(jiǎn)化為

∑qijΔt/h=(wi,t+Δtli,t+Δt-wi,tli,t)+

(17)

2.3 模型的求解

式(17)構(gòu)成一組關(guān)于縫內(nèi)壓力、流量、裂縫寬度的方程組,為了便于求解,將式(13)、(16)代入式(17)中,則式(17)可化為

Ω(p)=0.

(18)

其中

p=[p1p2p3…pn]T,

Ω(p)=[Ω1(p)Ω2(p)Ω3(p) …Ωn(p)]T.

式(18)為復(fù)雜的非線性偏微分方程組,利用數(shù)值方法求解。牛頓迭代法是一種常用的非線性方程組求解方法,具有收斂速度快、編程簡(jiǎn)單等優(yōu)勢(shì)[22],因此在本文中采用該方法求解縫內(nèi)壓力分布,具體方法如下。

設(shè)pk為式(18)的第k次近似解,將Ω(p)在pk處進(jìn)行泰勒展開,可構(gòu)造牛頓迭代式:

(19)

式中,Ω′(pk)為Ω(p)的Jacobi矩陣在pk處的值。

在每一時(shí)間步內(nèi)從初始值p0出發(fā),通過式(19)反復(fù)迭代,當(dāng)精度滿足要求時(shí)停止。

由此,本文中提出裂縫形態(tài)的求解方法,具體過程如圖2所示。先假設(shè)一個(gè)時(shí)間步長,計(jì)算該時(shí)間步長下的縫內(nèi)壓力,求得裂縫尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子并判斷其是否滿足擴(kuò)展要求,若滿足,則根據(jù)所計(jì)算的裂縫擴(kuò)展方位角在裂縫尖端延伸一裂縫單元,進(jìn)入下一時(shí)間步的計(jì)算。

圖2 計(jì)算流程

2.4 模型驗(yàn)證

已有Adachi等[16]學(xué)者從各向同性彈性力學(xué)出發(fā)建立了考慮壓裂液濾失的平直雙翼裂縫擴(kuò)展數(shù)學(xué)模型。為便于驗(yàn)證上述裂縫擴(kuò)展模型及計(jì)算方法的正確性,計(jì)算參數(shù)取特殊情況:Ex=Ey,vxy=vyz=vxz,裂縫的起裂方向?yàn)樗阶畲笾鲬?yīng)力方向,則本模型可近似為基于濾失效應(yīng)的各向同性介質(zhì)中平直雙翼縫擴(kuò)展模型,將此條件下本文的計(jì)算結(jié)果與Adachi等[16]的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。計(jì)算參數(shù)為彈性模量為8 GPa,泊松比為0.3,流量為2 m3/min,濾失系數(shù)為8×10-5m/s0.5。

圖3為計(jì)算結(jié)果與Adachi等[16]模型的結(jié)果對(duì)比?？梢钥闯?基于本文模型所求解的縫口凈壓力、縫口寬度及裂縫半長的數(shù)值解與Adachi等[16]模型的計(jì)算結(jié)果吻合較好,說明本文模型可較準(zhǔn)確地模擬裂縫擴(kuò)展情形,因此可用于水力深穿透射孔條件下裂縫形態(tài)的分析。

圖3 計(jì)算結(jié)果與Adachi模型對(duì)比

3 近井壁裂縫形態(tài)的敏感性分析

為探討各向異性地層中水力深穿透射孔條件下裂縫形態(tài)的影響因素,取某儲(chǔ)層參數(shù)進(jìn)行影響因素分析。計(jì)算參數(shù)為:Ex=8.03 GPa,Ey=6.99 GPa,vxy=0.493,σH=11.12 MPa,σh=9.9 MPa,Q0=6 m3/min。

3.1 孔眼方向

為方便表述,定義孔眼方向?yàn)榭籽圯S線與最大水平井主應(yīng)力方向的夾角。圖4為裂縫縫內(nèi)壓力和裂縫寬度云圖。由圖4(a)可以看出,當(dāng)徑向孔眼方向與水平最大主應(yīng)力方向成一定角度時(shí),裂縫沿孔眼方向起裂并延伸一段距離后,在遠(yuǎn)場(chǎng)最大地應(yīng)力作用下逐漸轉(zhuǎn)向水平最大主應(yīng)力方向擴(kuò)展,形成彎曲縫。這是根據(jù)最小能量原理,裂縫沿阻力最小的方向擴(kuò)展,當(dāng)裂縫沿平行于水平最大主應(yīng)力方向擴(kuò)展時(shí),由于所克服的應(yīng)力為水平最小主應(yīng)力,擴(kuò)展阻力最小,所以裂縫的擴(kuò)展方向均由射孔方向逐漸轉(zhuǎn)向水平最大主應(yīng)力方向。

傳統(tǒng)的雙翼裂縫模型認(rèn)為,裂縫寬度在縫口處最大,并隨著與縫口距離的增大而減小。由圖4(b)可以看出,當(dāng)裂縫由射孔方向逐漸轉(zhuǎn)向水平最大主應(yīng)力方向擴(kuò)展時(shí),裂縫寬度呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì)。這是由于裂縫張開時(shí)所克服的阻力為最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力的合力,裂縫與水平最大主應(yīng)力方向的夾角越大,水平最小主應(yīng)力占總正應(yīng)力的分量越小,裂縫的寬度隨之減小。當(dāng)水力深穿透射孔的射孔角度過大時(shí),裂縫寬度過小,易出現(xiàn)堵縫內(nèi)壓力過高、砂堵等復(fù)雜情況,為了提高深穿透射孔輔助壓裂的施工效率,應(yīng)減小或避免近井壁彎曲裂縫等復(fù)雜情況。

圖5為其余參數(shù)不變的情況下,不同射孔角度條件下裂縫的發(fā)展形態(tài)。由圖5可以看出,裂縫的轉(zhuǎn)向半徑隨著射孔角度的增加而增大。這是由于當(dāng)射孔方向與水平最大主應(yīng)力方向夾角較小時(shí),裂縫延伸較小距離后即可轉(zhuǎn)向水平最大主應(yīng)力方向擴(kuò)展,因而轉(zhuǎn)向半徑較小,反之亦然。

圖4 裂縫寬度及縫內(nèi)壓力分布

圖5 不同孔眼方向下的裂縫發(fā)展形態(tài)

3.2 孔眼長度

圖6為其余參數(shù)不變時(shí),不同孔眼長度條件下的裂縫發(fā)展形態(tài)。由圖6可以看出,隨著孔眼長度的增大,裂縫轉(zhuǎn)向半徑增加。這是由于在長水平孔眼引導(dǎo)裂縫擴(kuò)展的作用下,裂縫沿偏離最大主應(yīng)力的方向延伸較長距離后才可逐漸轉(zhuǎn)向至水平最大主應(yīng)力方向,因此裂縫的轉(zhuǎn)向半徑隨射孔長度的增加而增大。

圖6 不同孔眼長度下的裂縫發(fā)展形態(tài)

3.3 彈性模量

圖7為其余參數(shù)不變時(shí),不同彈性模量條件下裂縫的發(fā)展形態(tài)。由圖7可以看出,隨著彈性模量的增大,裂縫的轉(zhuǎn)向半徑減小。這是由于當(dāng)彈性模量增大時(shí),由裂縫所產(chǎn)生的誘導(dǎo)應(yīng)力增加,對(duì)近井壁原始地應(yīng)力場(chǎng)產(chǎn)生了一定的影響,使近井壁區(qū)域的水平應(yīng)力差異性逐漸減小,裂縫更容易發(fā)生轉(zhuǎn)向。裂縫轉(zhuǎn)向半徑過小會(huì)導(dǎo)致壓裂液流動(dòng)阻力增大,不利于加砂改造。在煤層氣儲(chǔ)層等低彈性模量地層中,控制水力深穿透射孔方向并采用合理的壓裂施工設(shè)計(jì),顯得尤為重要。

圖7 不同彈性模量的裂縫發(fā)展形態(tài)

3.4 彈性模量各向異性

圖8為其余參數(shù)不變時(shí),彈性模量各向異性對(duì)近井壁裂縫形態(tài)的影響。由圖8可以看出,隨著垂直方向上彈性模量的增大,裂縫的轉(zhuǎn)向半徑增大。這是由于不同方向上彈性模量的變化改變了裂縫所產(chǎn)生的誘導(dǎo)應(yīng)力分布,減小了近井壁水平地應(yīng)力差,降低了裂縫轉(zhuǎn)向的阻力,因此轉(zhuǎn)向半徑隨著彈性模量各向異性比值的增加而增大。

圖8 不同彈性模量各向異性條件下的裂縫發(fā)展形態(tài)

3.5 孔眼數(shù)量

圖9為其余參數(shù)不變時(shí),單側(cè)布孔條件下的裂縫的縫內(nèi)壓力及寬度云圖。由圖9可以看出,縫口寬度并不是最大,井筒附近的裂縫寬度隨著與井眼距離的增加而增大,這與圖4(b)中對(duì)稱布孔條件下的裂縫寬度分布存在區(qū)別。一方面,過小的縫口寬度增大了壓裂液局部摩擦阻力,不利于支撐劑的運(yùn)移;另一方面,縫口寬度的減小不利于油氣運(yùn)移,會(huì)使單井產(chǎn)量降低,因此單側(cè)布孔的水力深穿透射孔方式不利于油氣井增產(chǎn)。

圖9 單側(cè)布孔條件下裂縫寬度及縫內(nèi)壓力分布

圖10為其余參數(shù)不變時(shí),多孔眼條件下的近井壁裂縫形態(tài)。其中,4條徑向水平井孔眼與水平最大主應(yīng)力的夾角分別為45°、135°、225°和315°。由圖10可以看出,在壓裂液壓力作用下孔眼根部由于應(yīng)力集中而產(chǎn)生裂縫并擴(kuò)展,從而產(chǎn)生多裂縫的復(fù)雜情況,因此增加射孔孔眼的數(shù)量會(huì)增大發(fā)生多裂縫的可能性。

圖10 多孔眼條件下裂縫形態(tài)

3.6 排 量

圖11為其余參數(shù)不變時(shí),不同排量條件下裂縫的發(fā)展形態(tài)。由圖11可以看出,排量對(duì)裂縫發(fā)展形態(tài)有重要的影響,隨著排量的增大,裂縫轉(zhuǎn)向半徑增大。這是由于一方面隨著排量的增加,壓裂液的能量增加,使壓裂裂縫有足夠的能力克服遠(yuǎn)場(chǎng)地應(yīng)力擴(kuò)展,另一方面,隨著排量的增加,壓力波及范圍增大,減小了水平主應(yīng)力差,使裂縫更容易發(fā)生轉(zhuǎn)向。

圖11 不同排量下的裂縫發(fā)展形態(tài)

3.7 黏 度

圖12為其余參數(shù)不變時(shí),不同黏度條件下裂縫的發(fā)展形態(tài)。由圖12可以看出,隨著黏度的增加,裂縫轉(zhuǎn)向半徑增大。這是由于隨著黏度的增加,沿程摩阻增大,進(jìn)而引起縫內(nèi)壓力增加。當(dāng)縫內(nèi)壓力較大時(shí),裂縫所產(chǎn)生的誘導(dǎo)應(yīng)力場(chǎng)增強(qiáng),減小了一定范圍內(nèi)原始地應(yīng)力場(chǎng)的水平主應(yīng)力差,促使裂縫發(fā)生轉(zhuǎn)向,因此裂縫的轉(zhuǎn)向半徑隨著黏度的增加而增大。

圖12 不同黏度的裂縫發(fā)展形態(tài)

4 結(jié) 論

(1)基于各向異性彈性力學(xué)和邊界元方法,結(jié)合流體力學(xué)理論,建立了各向異性地層中水力深穿透射孔條件下垂直裂縫擴(kuò)展的平面應(yīng)變模型,通過最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則提出了裂縫擴(kuò)展路徑的計(jì)算方法,并通過牛頓迭代法建立了裂縫擴(kuò)展模型的數(shù)學(xué)求解方法,算例驗(yàn)證了所建立模型的正確性。

(2)裂縫轉(zhuǎn)向距離隨著彈性模量各向異性比值的增加而增大,裂縫轉(zhuǎn)向半徑隨著彈性模量的增大而增大。裂縫轉(zhuǎn)向半徑隨著射孔長度及射孔角度的增加而增大。單側(cè)布孔不利于壓裂作業(yè),孔眼數(shù)目過多易造成多裂縫的復(fù)雜情況。增大壓裂液的黏度及排量可增大壓裂裂縫的轉(zhuǎn)向半徑。

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(編輯 李志芬)

Numerical simulation of hydraulic deep jet perforation on fracture propagation and orientation

ZHONG Guanyu, WANG Ruihe, ZHOU Weidong, CHEN Guichun, WAN Chunhao

(SchoolofPetroleumEngineeringinChinaUniversityofPetroleum,Qingdao266580,China)

A fracture propagation model in the process of deep jet perforation was established based on the anisotropic elasticity theory and the principles of fluid mechanics in porous media, and a method for determining the propagation angle of the fractures was proposed referring to the maximum hoop stress theory. A Newton method was used to solve the numerical model, which has been verified by case studies. The results show that the radius of the reoriented fractures increases with the increase of the jet perforation length and jet angle, and it also increases with the increase of the pumping rate and viscosity of the fracturing fluid. Symmetric jet perforation is better than the perforation in one side. The fracture reorientation radius increases with the anisotropic ratio and the elastic modules, while it decreases with the increase of the stress difference.

hydraulic deep jet perforation; hydraulic fracture; fracture propagation morphology; elastic module; anisotropic

2016-02-29

國家“973”項(xiàng)目(2014CB239202)

仲冠宇(1987-)，男，博士研究生，研究方向?yàn)閹r石力學(xué)、水射流和水力壓裂。E-mail：zhongguanyu0606@163.com。

1673-5005(2016)05-0079-08

10.3969/j.issn.1673-5005.2016.05.009

F 407.22

:A

仲冠宇,王瑞和,周衛(wèi)東,等. 水力深穿透射孔對(duì)壓裂裂縫形態(tài)影響的數(shù)值模擬[J].中國石油大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,40(5):79-86.

ZHONG Guanyu, WANG Ruihe, ZHOU Weidong, et al. Numerical simulation of hydraulic deep jet perforation on fracture propagation and orientation[J].Journal of China University of Petroleum(Edition of Natural Science),2016,40(5):79-86.